[Hauss]

Hola necesito ayuda para demostrar que las siguientes dos definiciones son equivalentes por favor:

1.- Sea \( f(x)=c(x-a_{1})...(x-a_{n}) \). Decimos que \( a \) es raiz de \( f(x) \) de multiplicidad \( m \) si y solo si hay exactamente \( m \) indices \( i  \)para los cuales:
                               \(  a=a_{i} \)

2.-Sea \( f(x)\in{C[ x ]} \), \( f(x)>1 \), \( a \) es raiz de \( f(x) \) de multiplicidad \( m \) si y solo si \(  (x-a)^{m}  \) divide a f(x) y \(  (x-a)^{m+1}  \) no divide a f(x)


Por favor, gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Hola necesito ayuda para demostrar que las siguientes dos definiciones son equivalentes por favor:

1.- Sea \( f(x)=c(x-a_{1})...(x-a_{n}) \). Decimos que \( a \) es raiz de \( f(x) \) de multiplicidad \( m \) si y solo si hay exactamente \( m \) indices \( i  \)para los cuales:
                               \(  a=a_{i} \)

2.-Sea \( f(x)\in{C[ x ]} \), \( f(x)>1 \), \( a \) es raiz de \( f(x) \) de multiplicidad \( m \) si y solo si \(  (x-a)^{m}  \) divide a f(x) y \(  (x-a)^{m+1}  \) no divide a f(x)

¿Lo has intentado? Es bastante inmediato.

Si se cumple 1, es inmediato que \( (x-a)^m \) divide a \( f(x) \), pero \( (x-a)^{m+1} \) no; porque el factor \( (x-a) \) aparece exactamente (ni más ni menos) \( m \) veces en la factorización de \( f(x) \).

Si se cumple 2, dado que \( (x-a)^m \) divide a \( f(x) \), pero \( (x-a)^{m+1} \) no, se tiene que \( f(x)=(x-a)^mq(x) \) donde \( q(a)\neq 0 \). Por otra parte \( q(a) \) por ser un polinonomio de coeficientes complejos y por el teorema fundamental del álgebra se factoriza como producto de factores \( (x-a_i) \) donde todos los \( a_i\neq a \) ya que \( q(a)\neq 0 \).

Completa los detalles; alguna de las afirmaciones que hago son más o menos inmediatas dependiendo de los resultados previos sobre polinomios que te hayan explicado y puedas utilizar.

Saludos.

[Hauss]

Hola, si lo intente, solo que como es un si y solo si el regreso es el que se me complica

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, si lo intente, solo que como es un si y solo si el regreso es el que se me complica

¿Has leído mi indicación?¿Exactamente qué duda o complicación encuentras?.

Saludos.

CORREGIDO

[Hauss]

Claro, ahora ya me queda mas claro todo, no tengo ninguna duda al respecto, unicamente aclaraba que si lo intenté, siempre uso este medio cuando llevo mucho tiempo trabado en alguna demostración.
Muchas gracias.

[feriva]

Hola, Luis. Una pregunta sobre notación (por si no fuera bastante con manooooh) al hilo de esto

Si se cumple 1, es inmediato que \( (x-a)^m \) divide a \( f(x) \), pero \( (x-a)^{m+1} \) no; porque el factor \( (x-a) \) aparece exactamente (ni más ni menos) \( m \) veces en la factorización de \( f(x) \).

¿Se podría expresar así en la formalización de la demostración: \( i_{\max}=m  \)?

Es decir, ya sé que siempre nos dices que hay libertad en la notación mientras se entienda el fondo del asunto, pero me refiero a si podría no ser conveniente por algo, si podría confundirse lo que se trata de decir.

Saludos.

[manooooh]

Hola

Una pregunta sobre notación (por si no fuera bastante con manooooh) al hilo de esto (...)

Veo que al fin y al cabo alguien ha entendido el fondo de mis últimas preguntas .

¿Se podría expresar así en la formalización de la demostración: \( i_{\max}=m  \)?

Sabés que yo entiendo muy poco de matemáticas, así que ¿podrías indicar mejor a lo que querés llegar, por favor? No lo acabo de entender (quizás no entiendo el enunciado ni tampoco la prueba de Luis pero ya que estás hablando de eso pues te pregunto).

Estrictamente hablando, si no nos valemos del contexto habría que definir quién es \( i \): es un elemento que pertenece a un conjunto (de índices) bla bla.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

¿Se podría expresar así en la formalización de la demostración: \( i_{\max}=m  \)?

Como si te apetece llamar \( i_{feriva}=m \) o \( pepito=m \). No acabo de estar seguro que pretendes evocar con ese subíndice; desde luego ese nombre no evita que tengas que explicar su significado.

Saludos.

[feriva]

Hola

¿Se podría expresar así en la formalización de la demostración: \( i_{\max}=m  \)?

Como si te apetece llamar \( i_{feriva}=m \) o \( pepito=m \). No acabo de estar seguro que pretendes evocar con ese subíndice; desde luego ese nombre no evita que tengas que explicar su significado.

Saludos.

Sí, sí, claro, no me refería a ponerlo sin más, sino a utilizar esa expresión.

Gracias, Luis.

[feriva]

Veo que al fin y al cabo alguien ha entendido el fondo de mis últimas preguntas .

Buenos días manooooh. No sé si es porque entiendo el fondo o es que me has contagiado.

Sabés que yo entiendo muy poco de matemáticas, así que ¿podrías indicar mejor a lo que querés llegar, por favor? No lo acabo de entender (quizás no entiendo el enunciado ni tampoco la prueba de Luis pero ya que estás hablando de eso pues te pregunto).

Estrictamente hablando, si no nos valemos del contexto habría que definir quién es \( i \): es un elemento que pertenece a un conjunto (de índices) bla bla.

Saludos

Sí, si yo tuviera que usar eso en la demostración, explicaría que ese “máximo” ser refiere al índice de valor más alto, teniendo en cuenta que los índices son números naturales y tal.

Pero te hago una pregunta, ¿has intuido o supuesto a qué me refería? Éste podría ser un poco el experimento.

Saludos.