Hola a tod@s.
Este ejercicio, es idéntico al del asunto “Distancia hasta entrar en rodadura”, con la única excepción que en el actual, consideramos a una esfera, y en el citado, considerábamos a un cilindro.
En primer lugar, para que se produzca la rodadura debe existir rozamiento, pues de lo contario, la esfera siempre estaría deslizando y nunca empezaría a rodar.
1) Dinámica de traslación. La única fuerza horizontal presente, es la de rozamiento.
\( \sum{F_x}=ma \),
\( \mu mg=ma \),
\( a=\mu g \).
Y también \( v=v_0-at=v_0-\mu gt \) (1). Esta es la velocidad del cdm de la esfera.
2) Dinámica de rotación.
\( \sum{M}=I\alpha \), siendo la fuerza de rozamiento, la única que provoca un momento alrededor del cdm de la esfera,
\( F_rR=\dfrac{2}{5}mR^2\alpha \),
\( \mu mgR=\dfrac{2}{5}mR^2\alpha \),
\( \alpha=\dfrac{5\mu g}{2R} \). Y también
\( \omega=\alpha t=\dfrac{5\mu g}{2R}t \) (2).
3) Tiempo transcurrido hasta el inicio de la rodadura.
La velocidad del punto de contacto (P) con el suelo, puede expresarse como \( v_p=v-\omega R \).
Substituyendo (1) y (2),
\( v_p=v_0-\mu gt-\dfrac{5\mu g}{2R}tR=v_0-\dfrac{7}{2}\mu gt \).
El comienzo de la rodadura pura (sin deslizamiento), se produce cuando la velocidad del punto de contacto (P) con el suelo pasa a ser nula.
\( v_p=v_0-\dfrac{7}{2}\mu gt=0 \),
\( t=\dfrac{2v_0}{7\mu g} \) (3).
4) Finalmente, substituyendo (3) en (1),
\( v=v_0-\mu g\dfrac{2v_0}{7\mu g}=\dfrac{5}{7}v_0 \).
Saludos cordiales,
JCB.
