Hola:
Si \( F_r=\mu gm \) es la única fuerza constante que detiene la bola el trabajo de la fuerza de rozamiento es
\( W=F_r\Delta x \)
la longitud hasta llegar la velocidad de rodadura resulta de
\( \dfrac{V_i^2-V_{cm}^2}{2a}=\dfrac{V_i^2-V_{cm}^2}{2\mu g}=\Delta x \) por cinemática
Si , pero por cinemática de traslación, es decir, el desplazamiento de la esfera si esta no rota, solo se desliza.( esa no es la longitud hasta llegar a la rodadura, es solo la distancia recorrida por el centro de masas (la traslación por deslizamiento) hasta llegar a la rodadura.
sale aplicando cinemática también que \( \omega=\dfrac{v_{CM}}{R} \)
Pero esta relación es en el caso de rodadura pura, sin deslizamiento , en ese caso la fuerza de rozamiento no realiza trabajo pues el punto de contacto de la esfera con el piso esta en reposo respecto a este
En general \( v_p=v_{cm}-\omega R \)
evidentemente cuando esto se coloca en la ecuación de la conservación del energía cinetica
\( \dfrac 12 mv_i^2=\dfrac 12 mv_{CM}^2+\dfrac 12 I \omega^2 + \mu gm \cdot \dfrac{V_i^2-V_{cm}^2}{2\mu g} \)
deja a la velocidad angular en 0 pues claro toda la fuerza se gasto en frenar el CM y no para acelerar la rotación,
En efecto, por tanto no hay rotación solo traslación, ya que el trabajo calculado es solo el trabajo de la fuerza de fricción en el desplazamiento deslizado.
luego para que eso suceda la desaceleración del CM tiene que ser mayor , es decir perder mas energía cinética, para que parte vaya a la rotación y parte se pierde por calor... pero que parte y que parte
Esto no estoy seguro si lo entiendo completamente, pero la energía cinética del centro de masas es la que se calculó, lo que ocurre es que falta añadir la parte del trabajo que hace la fuerza de rozamiento en el punto "p" por rotación.
Si consideramos dos sistemas de referencia uno fijo al piso y otro ligado al centro de masas. La velocidad respecto al piso , sera la del centro de masas respecto a este y la del punto"p" respecto al centro de masas, es decir lo que puse: \( v_p=v_{cm}-\omega R \) teniendo que \( dx_p=v_{cm}dt-\omega Rdt \)
En este caso cuando empieza a haber rodadura , el trabajo debido al giro se opone al trabajo que se hace por el deslizamiento, aumentando este a medida que aumenta la velocidad angular y disminuye el trabajo total realizado por Fr ( por unidad de tiempo, lógicamente), al final en rodadura pura, el punto "p" es el eje instantáneo de rotación y por ello la velocidad de CM es \( \omega R \) y la del punto diametralmente opuesto es \( \omega 2R \)
Pero en todo caso si ha habido pérdida de energía mecánica en forma de calor, que es el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento
El trabajo de aceleracion hecho por la fuerza de rozamiento es \( M\theta \) donde \( \theta=\dfrac{ \omega^2}{2\alpha} \) y \( M =F_r R \) cuando haces cuentas la energía cinetica de rotación es igual a la energía cinetica perdida por el centro de masa...y no has podido calcular el calor... luego reitero si no sabes experimentalmente cuanto calor se pierde. toda la caída de energía cinetica de traslación se convierte en Energía cinética de rotación, quedando la solución tal cual ya la presente.
Si te fijas todo este calculo se basa en que \( \alpha=-\dfrac{a}{R} \) por eso la energía se conserva.
si quieres perder calor entonces \( \alpha=-K\% \dfrac{a}{R} \) con \( K\in (0,100)\% \) pero es un dato experimental que no provee el problema.
Saludos
No, eso solo es cierto si se conserva la energía, que no es el caso. La pérdida de energía cinética del centro de masa es \( \Delta Ec_{CM}=\displaystyle\frac{12}{49}MV^2_o \)
La pérdida por calor , ya la calculo JCB y es el trabajo de la fuerza de rozamiento.
Lo curioso y creo que es lo que puede confundir, es que la pérdida de energía mecánica desde deslizamiento puro hasta rodadura pura, no depende del coeficiente de rozamiento.
Lo que si depende del coeficiente de rozamiento es el tiempo trascurrido hasta que la esfera rueda sin deslizamiento, que será menor cuanto mayor sea este.
Saludos.
