[natydlv]

Hola compañeros les dejo este ejercicio para ver si lo estoy trabajando bien...

Hallar una ley que permita calcular en forma general la suma \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}= \)
Luego demostrar por inducción.

\( n=1 : \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=1 \)
\( n=2 : \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=5 \)
\( n=3 : \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=11 \)

por lo tanto la ley general seria: \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=n^2+(n-1) \)

[Juan Pablo Sancho]

Para \( n=4 \) tenemos:
Editado   :
\( 1\cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + 4 \cdot 4! = \color{red} 119  \color {black}  \)
\(  4^2 + 3  = 19  \)



Te pongo este hilo:

Suma factorial

[manooooh]

Hola

Hallar una ley que permita calcular en forma general la suma \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}= \)
Luego demostrar por inducción.

\( n=1 : \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=1 \)
\( n=2 : \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=5 \)
\( n=3 : \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=11 \)

por lo tanto la ley general seria: \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=n^2+(n-1) \)

No. Fijate que para \( n=3 \) tenemos que

\( \displaystyle\sum_{i=1}^3i\cdot i!=1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!=1+4+18=23\neq11. \)

Inevitablemente mientras más ejemplos hagas la fórmula saldrá más a la vista, aunque claro, luego hay que probarlo por inducción.

Seguí el consejo de Juan Pablo Sancho.

Saludos

[natydlv]

Ok

\( n=1 : \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=1 \)
\( n=2 : \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=5 \)
\( n=3 : \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=23 \)
\( n=4 : \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=96 \)

por lo tanto la ley general seria: \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=(n+1)!-1 \)

veamos la demostración que no logro terminar

\( n = 1 : \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=2!-1\Rightarrow{1=1} \)

supongo \( n=k : \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=(k+1)!-1 \)

quiero llegar a \( n=k+1 : \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=(k+2)!-1 \)

demuestro...

\( n=k+1 : \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}{i\cdot{i!}}=\displaystyle\sum_{i=1}^k{i\cdot{i!}}+\displaystyle\sum_{i=k}^{k+1}{i\cdot{i!}} \)

\( =(k+1)!-1 + (k+1)\cdot{(k+1)!} \)

y de aquí ya no se como continuar

[manooooh]

Hola

\( n=4 : \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=96 \)

No. Observá si tenemos \( n \) y queremos hallar el consecuente, o sea \( n+1 \), a través de la fórmula que nos dan, basta observar que

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}i\cdot i!=\sum_{i=1}^{n}i\cdot i!+(n+1)\cdot(n+1)!, \)

donde el primer sumando es el término anterior; o sea, no hace falta calcularlo de vuelta.

Si \( n=4 \), entonces

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{4}i\cdot i!=\displaystyle\sum_{i=1}^{3}i\cdot i!+4\cdot4!=\underbrace{23}_{\text{De}\\\text{antes}}+4\cdot24=23+96=119\neq96. \)

No te olvides de que es un sumatorio, o sea vas sumando cosas, formando una cierta progresión.

Con esto mente:

supongo \( n=k : \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=(k+1)!-1 \)

quiero llegar a \( n=k+1 : \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{i!}}=(k+2)!-1 \)

demuestro...

\( n=k+1 : \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}{i\cdot{i!}}=\displaystyle\sum_{i=1}^k{i\cdot{i!}}+\displaystyle\sum_{i=k}^{k+1}{i\cdot{i!}} \)

\( =(k+1)!-1 + (k+1)\cdot{(k+1)!} \)

y de aquí ya no sé cómo continuar

¡Vas muy bien!

Necesitás de dos propiedades; la primera es muy fácil, se trata del factor común:

\( {\color{red}(k+1)!}-1 + (k+1)\cdot{\color{red}(k+1)!}={\color{red}(k+1)!}(1+(k+1))-1=(k+1)!(k+2)-1, \)

y acordate que \( m!=m(m-1)! \). En tu caso, \( m=k+2 \), así que... .

Saludos

[natydlv]

Gracias por la ayuda, aunque si bien entiendo lo del factor común no entiendo lo del m!=k+2

[manooooh]

Hola

(...) no entiendo lo del \( m!=k+2 \)

Yo no dije \( m!=k+2 \) sino \( m=k+2 \). Es como un cambio de variables.

Te di la ayuda de que como es un hecho que \( m!=m\cdot(m-1)! \) (¿te lo permiten usar?), entonces eso mismo podés aplicar a nuestro caso que es \( (k+2)\cdot(k+1)! \) Fijate:

\( {\color{red}m}\cdot{\color{magenta}(m-1)!}\qquad{\color{red}(k+2)}\cdot{\color{magenta}(k+1)!} \)

¿Podés concluir?

Saludos

[feriva]

aunque si bien entiendo lo del factor común no entiendo lo del m!=k+2

Hola.

k+1 y k+2 son números consecutivos, como 4 y 5 si hacemos k=3; entonces podemos escribir:

\( (k+1)!=1\cdot2\cdot3\cdot4
  \)

Ahora, como k+2 es el siguiente a k+1, o sea, k+2=5, entonces

\( {\color{magenta}(k+2)(k+1)!}=5(1\cdot2\cdot3\cdot4)=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=5!
  \),

pero como \( 5=k+2 \), finalmente escribimos

\( (k+2)(k+1)!={\color{magenta}(k+2)!}
  \).

Donde aquí el 5 viene a ser la “m” que dice manooooh, m=k+2.

Saludos y buenas noches.

[natydlv]

Creo que ya entendí, ese \( (k+1)! \) es en realidad \( (k+2-1)! \) entonces ahí si se ve el \( m!=m\cdot{(m-1)!} \) pero no estoy segura si es propiedad o definición de factorial.

[Juan Pablo Sancho]

Te pongo la solución sólo cambiando un poco lo anterior.

Spoiler

En nuestro caso tenemos que para \(  k= 1  \) es cierto \(  1 \cdot 1! = 1 = 2! -1  \).
Lo suponemos cierto para \(  k= n-1 \geq 1  \) (vamos que \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} i\cdot i! = n! -1  \) entonces para \(  k= n > 1  \) tenemos:
\( \displaystyle \sum_{i=1}^n i \cdot i! = \sum_{i=1}^{n-1} i \cdot i! + \sum_{i=n}^{n} i \cdot i! =  \)
\( \displaystyle = \sum_{i=1}^{n-1} i \cdot i! + n \cdot n! = n! - 1 + n \cdot n! = \)
\( \displaystyle = n! \cdot (1+n) - 1 = (n+1)! - 1  \)

[cerrar]

Editado
Perdón no me fijé bien en la contestación de manooooh.

Hola
Necesitás de dos propiedades; la primera es muy fácil, se trata del factor común:

\( {\color{red}(k+1)!}-1 + (k+1)\cdot{\color{red}(k+1)!}={\color{red}(k+1)!}(1+(k+1))-1=(k+1)!(k+2)-1, \)

y acordate que \( m!=m(m-1)! \). En tu caso, \( m=k+2 \), así que... .

Saludos