Hola!
En mi mente tengo establecido lo siguiente, que sé que no es cierto en general:
Sea la ecuación de congruencia \( ax\equiv b\pmod n \). Entonces la solución principal es
\( x_0=a^{\varphi(n)-1}b\pmod n, \)
donde \( \varphi(n) \) es la función de Euler.
También sé que la solución general es \( x=x_0+(n/d)k \), donde \( k\in\Bbb Z \).
Sin embargo, con este ejemplo falla (*):
\( 2x\equiv2\pmod4. \)
Primero, ¿tiene solución? Sí, porque por una conocida propiedad, \( d=\gcd(2,4)=2 \) y \( 2\mid4 \), por lo que existe solución principal y son \( 2 \).
Sin embargo, cuando trato de hallar \( x_0 \) me encuentro con que vale \( 0 \):
\( \varphi(4)=2 \), entonces
\( x_0=2^{2-1}2=4\equiv0\pmod4. \)
Por tanto, la solución general es
\( x=0+(4/2)k=2k,\;k\in\Bbb Z, \)
pero esto es FALSO porque si por ejemplo \( k=1 \) tenemos \( x=2 \), donde \( 2\cdot2=4\equiv0\not\equiv4\pmod4 \).
En realidad, donde yo escribí
\( x_0=a^{\varphi(n)-1}b\pmod n \)
vi que se escribe
\( x_0=a^{\varphi(n)-1}b, \)
pero como a veces escribir esta 2da forma está mal he concluido que la correcta sería la 1ra. ¿Por qué lo hice? Consideremos este ejemplo donde yo particularmente no conozco otra forma que NO sea la mencionada más arriba:
\( 2x+5\equiv7\pmod{15}. \)
Podemos restar \( 5 \) a ambos miembros, entonces \( 2x\equiv2\pmod{15} \). Luego aplicamos la definición de solución particular:
\( x_0=a^{\varphi(n)-1}b\pmod n, \)
o sea
\( x_0=2^{\varphi(15)-1}2\pmod{15}=2^72=256\pmod{15}=1\pmod{15}. \)
Luego la solución general es \( x=x_0+(n/d)k=1+15k \), \( k\in\Bbb Z \) (esto en realidad no importa para esta pregunta que planteo).
Como ven, por un lado funciona y por el otro no... ¿qué está ocurriendo? ¿Qué condiciones me faltan para asegurar que la solución principal SIEMPRE será \( x_0=a^{\varphi(n)-1}b\pmod n \)?
¿Acaso será imponer que \( \gcd(a,n)=1=(a,n) \) (o sea que el máximo común divisor entre \( a \) y \( n \) sea \( 1 \), lo que implica que \( a \) y \( n \) son coprimos)?
Gracias!
Saludos
P.D. Otra duda. Si tenemos \( ax\equiv b\pmod x \) y queremos dividir a toda la ecuación por \( m \) (por cuestiones de simplicidad), ¿qué condiciones nos aseguran que \( ax\equiv b\pmod x \) es equivalente a \( \frac amx\equiv\frac bm\pmod x \)? ¿Que \( m\in\Bbb Z\setminus\{0\} \), \( \frac am,\frac bm\in\Bbb Z \) y que \( \gcd(a,n)=1 \) (\( a \) y \( n \) sean coprimos)?
(*) ¡Acabo de darme cuenta que también falla eliminando \( \pmod n \)! Si quitamos \( \pmod n \), llegamos a que \( x_0=4 \), lo que sería \( x=4+2k \), pero esto también es falso, porque si por ejemplo \( k=0 \) entonces \( x=4\implies 2\cdot4=8\equiv0\not\equiv2\pmod4 \). ¿También falla la fórmula que les propongo? ¿Está mal o faltan condiciones?
