[manooooh]

Hola feriva, buenos días

Viene impuesto de fábrica, es condición del enunciado del teorema de Euler (y también del pequeño teorema de Fermat, que es un caso particular).

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euler

¡Qué interesante, gracias!

Todavía sigo esperando que explícita o implícitamente alguien haga alusión a la fórmula \( x_0=a^{\phi(n)-1}b \). Me parece una fórmula muy bonita, pero no la encontré por ningún lado, aunque esté lo del teorema de Euler.

¿Tienen enlaces para compartir donde aparezca esa fórmula? ¿Cómo se dedujo?

He revisado varios enlaces y nada, no aparece, lo que me extraña.

Saludos

[manooooh]

Hola

A mi me gustaría que el estudiante entendiese que es indiferente, dado que estamos buscando UNA solución particular. Fíjate que el poner mod \( n \) o no no tiene nada que ver con tomar un respresentante entre \( 0 \) y \( n-1 \).

Tan correcto es:

\( x\equiv 129 \) mod \( 5 \) como \( x\equiv 4 \) mod \( 5 \)

Otra cosa es que se más manejable considerar respresentantes lo más pequeños posibles.

Igualmente si pones:

\( x_0\equiv 4 \) mod \( 5 \)

me gustaría que el estudiante supiese que ahí decimos que \( x_0 \) es cualquier número de la forma \( 4+5k \), mientras que si pones \( x_0=4 \), entonces decimos que \( x_0 \) es ese número y no otro.

Claro. A fin de cuentas lo que se pide es la solución general. Mi pregunta es, ¿vale la pena restringirlo o no? Porque ahora me doy cuenta que restringiendo la solución principal es un trabajo más, ya que si \( x_0=295020 \) y trabajamos con los enteros módulo \( 28 \) hay que hacer un trabajo in tanto pesado.

De todas formas, creo que la respuesta debe ser hallar la solución general y no solamente la principal. Con respecto a esto el profesor escribió:

""No hay soluciones particulares y generales, sino "PRINCIPALES" son las clases de equivalencia, que cada una tiene infinitos elementos. Esas deben dar, las clases.""

Ahí estás diciendo que hay que hallar la solución general, ¿verdad?

(Igual creo que lo común es solamente hallar la principal, pero bueno, es una apreciación personal).

Pero eso es diferente. Ahí lo que usamos es que si tenemos \( ax\equi b\pmod n \) y \( d=mcd(a,n) \) divide a \( b \) (en otro caso no tiene solución la ecuación), ésta equivale a:

\( (a/d)x\equiv (b/d)\pmod (n/d) \)

Sisi, claro. Es lo que usaste para resolver la ecuación. Lo que digo es que dividir por un número a ambos miembros solamente parece más difícil que aplicar lo que aplicaste. Pensé que iba a ser incluso más fácil, pero me quedo con tu resolución.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Todavía sigo esperando que explícita o implícitamente alguien haga alusión a la fórmula \( x_0=a^{\phi(n)-1}b \). Me parece una fórmula muy bonita, pero no la encontré por ningún lado, aunque esté lo del teorema de Euler.

¿Tienen enlaces para compartir donde aparezca esa fórmula? ¿Cómo se dedujo?

Es consecuencia directa del Teorema de Euler. Si \( a,n \) son coprimos:

\( a^{\varphi(n)}=1 \) mod \( n \)

Por tanto si  \( x_0=a^{\varphi(n)-1}b \):

\( ax_0=aa^{\varphi(n)-1}b=a^{\varphi(n)}b=b \) mod \( n \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Ahí estás diciendo que hay que hallar la solución general, ¿verdad?

Depende de si nos interesa, de si nos la piden. De manera precisa para evitar equívocos el problema se puede enunciar así:

Halla todos los \( x\in \mathbb{Z} \) tales que \( ax\equiv b\pmod n \)

ó

Hallar todos los \( x\in \mathbb{Z}_n \) (o los \( x\pmod n \)) tales que \( ax\equiv b\pmod n \)

Referido a la ecuación \( 2x\equiv 2\pmod 4 \) en el primer caso las soluciones serían \( 1,3 \) y en el segundo \( \{1+3k|k\in  \mathbb{Z}\} \)

Saludos.

[manooooh]

Hola

Muchas gracias Luis, súper claro. Era tan fácil como hacer \( x=x_0 \) en \( ax\equiv b\pmod n \), pero yo como de costumbre, no lo sé razonar.

¿Cuál de las dos alternativas que presentás es la que se ajusta al enunciado? ¿La primera?

Pero entonces en vez de un "ó" debés escribir otra cosa, porque no son equivalentes (la primera nos pide hallar la solución principal y en la segunda, la solución general).

Referido a la ecuación \( 2x\equiv 2\pmod 4 \) en el primer caso las soluciones serían \( 1,3 \) y en el segundo \( \{1+3k|k\in  \mathbb{Z}\} \)

Creo que la solución principal es un subconjunto de las soluciones generales. En ese caso, deberías escribir \( \{1,3\} \), pero entiendo que no lo hiciste por razones de simplicidad (y no porque sos inconsistente).

Saludos

Editado

[Luis Fuentes]

Hola

¿Cuál de las dos alternativas que presentás es la que se ajusta al enunciado? ¿La primera?

Si el enunciado no lo especifica.. pues depende del convenio que tengas con el que plantea el problema.

Respecto a eso en realidad ten en cuenta que las matemáticas no se usan para "resolver ejercicios". Es decir cuando uno use las matemáticas de verdad querrás resolver esa ecuación en congruencias para aplicarlo a un contexto concreto y serán las necesidades de ese contexto la que nos dictarán, si nos interesa una solución en los enteros o salvo módulo o todas las soluciones o lo que sea.

Pero entonces en vez de un "ó" debés escribir otra cosa, porque no son equivalentes (la primera nos pide hallar la solución principal y en la segunda, la solución general).

Si, son enunciados distintos.

Creo que la solución principal es un subconjunto de las soluciones generales. En ese caso, deberías escribir \( \{1,3\} \), pero entiendo que no lo hiciste por razones de simplicidad (y no porque sos inconsistente).

Si, no me fijé mucho. 

Sinceramente a veces si soy inconsistente...

Saludos.

[manooooh]

Hola

Si el enunciado no lo especifica.. pues depende del convenio que tengas con el que plantea el problema.

Respecto a eso en realidad ten en cuenta que las matemáticas no se usan para "resolver ejercicios". Es decir cuando uno use las matemáticas de verdad querrás resolver esa ecuación en congruencias para aplicarlo a un contexto concreto y serán las necesidades de ese contexto la que nos dictarán, si nos interesa una solución en los enteros o salvo módulo o todas las soluciones o lo que sea.

Lo tendré presente, gracias.

Con respecto al contexto sólo puedo decirte que nos debemos guiar en esto:

""No hay soluciones particulares y generales, sino "PRINCIPALES" son las clases de equivalencia, que cada una tiene infinitos elementos. Esas deben dar, las clases.""

Con esa cita el profesor dijo, en otras palabras, que busquemos la solución general, ¿verdad?

Si, son enunciados distintos.

He tenido nuevamente un lapsus, a ver si es cierto o no. Con los enunciados distintos me refiero a estos dos:

Halla todos los \( x\in \mathbb{Z} \) tales que \( ax\equiv b\pmod n \)

ó

Hallar todos los \( x\in \mathbb{Z}_n \) (o los \( x\pmod n \)) tales que \( ax\equiv b\pmod n \)

Referido a la ecuación \( 2x\equiv 2\pmod 4 \) en el primer caso las soluciones serían \( 1,3 \) y en el segundo \( \{1+3k|k\in  \mathbb{Z}\} \)

Te pregunté si la primera opción se trataba de hallar la solución principal y la segunda era la general, pero ahora tengo dudas de si los papeles deben invertirse, pero tu ejemplo dice lo contrario, así que no sé si vos, yo o ambos nos equivocamos. Incluso me atrevería a decir SÍ son enunciados equivalentes (en ambos están escribiendo hallar la solución particular, pero entonces va en contra de lo que pide nuestro enunciado).

Para evitarme confusiones, ¿podrías indicar si efectivamente son enunciados equivalentes o si son distintos, qué es lo que pide cada uno, por favor?

Sinceramente a veces si soy inconsistente...

Como todos. Lo que creo que no es correcto es que sigas la corriente del usuario que pregunta si sabés que está siendo inconsistente; al mínimo error que detectes debés avisarle inmediatamente y hacérselo entender, y hasta que no lo entienda no se sigue con la pregunta (otros usuarios querrán ayudar también, pero cada uno puede escribir y omitir lo que quiera).

Gracias.
Saludos

[feriva]

Hola feriva, buenos días

Viene impuesto de fábrica, es condición del enunciado del teorema de Euler (y también del pequeño teorema de Fermat, que es un caso particular).

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euler

¡Qué interesante, gracias!

Todavía sigo esperando que explícita o implícitamente alguien haga alusión a la fórmula \( x_0=a^{\phi(n)-1}b \). Me parece una fórmula muy bonita, pero no la encontré por ningún lado, aunque esté lo del teorema de Euler.

¿Tienen enlaces para compartir donde aparezca esa fórmula? ¿Cómo se dedujo?

He revisado varios enlaces y nada, no aparece, lo que me extraña.

Saludos

Hola otra vez, manooooh.

Bueno, ya sabes que estas cosas me las sé (las que me śe) informalmente, a modo de curioso, pero esa fórmula te va a servir, por ejemplo, para hallar el inverso de una manera menos pesada que por el algoritmo de Euclides (en mi opinión es menos pesada, aunque para ello hay que descomponer los números en primos, y si la factorización es difićil...)

Supongo que hay muchos enlaces, no sé decirte ahora ninguno en concreto.

A la vez, el inverso sirve, entre otras utilidades, para resolver ecuaciones diofánticas mediante la identidad de Bézout; que es de lo más interesante desde el punto de vista puramente práctico, en cuanto a hacer cuentas.

Por ilustrar con un ejemplo, supón que tienes esta congruencia

\( 2x\equiv1(mod\,9)
  \).

“x” es tal que multiplicado por 2 deja resto 1; por eso se llama inverso, parecido a lo que pasa en el álgebra corriente \( a\dfrac{1}{a}=1
  \), sólo que con restos y el signo de equivalencia. Pero aquí, para que exista el inverso, el módulo y el 2 tienen que ser coprimos, que lo son en este caso. Es un ejemplo tan sencillo que casi se ve a primera vista que si x= 5, entonces 2x=10 y 10-9=1; el inverso es x=5.

Pero para hallarlo más en general podemos usar la función phi (tenemos una congruencia adecuada, con esos dos copirmos)

\( 2^{\varphi(9)}\equiv1(mod\,9)
  \).

Y phi de 9, según la fórmula para calcularla y sabiendo que sólo tenemos un primo distinto, el 3, es \( 9(1-\dfrac{1}{3})
 =6 \); entonces ya escribimos: \( 2^{6}\equiv1(mod\,9)
  \).

Como puedes ver ahora, “x” es dos a la cinco, es decir, dejamos el 2 que había y lo otro lo transformamos en otro factor \( 2\cdot2^{5}\equiv1(mod\,9)
  \) ; con lo que \( 2^{5}=32\equiv5(mod9)
  \).

Cosas teóricas y más generales... eso ya no sé decirte; pero doctores tiene la Iglesia

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Con respecto al contexto sólo puedo decirte que nos debemos guiar en esto:

""No hay soluciones particulares y generales, sino "PRINCIPALES" son las clases de equivalencia, que cada una tiene infinitos elementos. Esas deben dar, las clases.""

Con esa cita el profesor dijo, en otras palabras, que busquemos la solución general, ¿verdad?

Pues no lo se. ¿Por qué no le preguntas a él? Sinceramente no se si hay un criterio unificado para saber a que llamamos solución principal o particular o general. Es decir algún autor podría llamar solución particular a cualquier número entero que cumpla la ecuación y general a la expresión de todas las soluciones enteras que la cumplen. Por eso insisto en enteder el fondo de las cosas más que el nombre que se le da.

Te pregunté si la primera opción se trataba de hallar la solución principal y la segunda era la general,

Es que yo en que nombre se le da no me voy a meter. Desconozco las denominaciones más usuales en estos casos.

pero ahora tengo dudas de si los papeles deben invertirse, pero tu ejemplo dice lo contrario, así que no sé si vos, yo o ambos nos equivocamos. Incluso me atrevería a decir SÍ son enunciados equivalentes (en ambos están escribiendo hallar la solución particular, pero entonces va en contra de lo que pide nuestro enunciado).

En un caso las soluciones son elementos de \( Z_n \); en el otro las soluciones son elementos de \( Z \). Es decir en el primer caso las soluciones son clases de equivalencia, en el segundo números enteros. Son cosas distintas.

Para evitarme confusiones, ¿podrías indicar si efectivamente son enunciados equivalentes o si son distintos, qué es lo que pide cada uno, por favor?

 ¿Enunciados equivalentes? Depende de a que llames equivalente. Son distintos. Pero íntimamente relacionados, de manera que si conocemos la solución de uno es inmediata la del otro.

 Por ejemplo en la ecuación \( 2x\equiv 2\pmod 4 \):

- Las soluciones en \( Z_4 \) son DOS: \( [1],[3] \).
- Las soluciones en \( \mathbb{Z} \) son infinitas: todos los enteros de la forma \( 1+2k \) con \( k\in \mathbb{Z} \).

 ¿Están relacionadas? Totalmente. Las infinitas soluciones son precisamente la unión de los elementos de las dos clases que corresponden a las dos soluciones de la primera versión del problema.

Como todos.

 Cuando dije que muchas veces era inconsistente era una broma; ¡claro qué lo soy, pero me refiría incluso más allá de las matemáticas!. Inconsistente en la vida... Era un comentario frívolo...
 

Lo que creo que no es correcto es que sigas la corriente del usuario que pregunta si sabés que está siendo inconsistente; al mínimo error que detectes debés avisarle inmediatamente y hacérselo entender, y hasta que no lo entienda no se sigue con la pregunta (otros usuarios querrán ayudar también, pero cada uno puede escribir y omitir lo que quiera).

 Con esto no se que me has querido decir. Parecería que me estuvieses indicando sobre como debo de responder y actuar en el foro. Y  casi parece que otros usuarios "pueden escribir y omitir lo que quieran".. y ¿yo puedo?.    En fin, no tiene importancia. Yo intento ayudar dentro de mis posibilidades con la mejor de las intenciones. También tengo días mejores y peores y momentos de mayor y menor lucidez y lagunas y miserias...  ¡La vida...!.

Saludos.

[manooooh]

Hola

Si \( m \) es coprimo con \( n \) entonces equivale a:

\( am^{-1}x\equiv bm^{-1}\pmod n \)

donde \( m^{-1} \) es el inverso de \( m \) en \( Z_n \), es decir, verifica \( mm^{-1}\equiv 1 \) mod \( n \).

¿La operación asociada es siempre el producto de clases de equivalencia?

Porque por ejemplo utilizando esta "división" si tenemos que \( 2x\equiv2\pmod{15} \), entonces elijo \( m=2 \), ya que \( \gcd(2,15)=1 \) y \( m^{-1}=8 \) pues \( 2\cdot8=16\equiv1\pmod{15} \). Así que la ecuación se reduce a

\( 16x\equiv16\pmod{15}\implies x\equiv1\pmod{15}, \)

¿de acuerdo?

Podría haber elegido otro \( m \) pero este era el óptimo para resolver la ecuación.

Saludos