[extralionel]

Hola de nuevo,
Tengo un ejercicio de examen que no se si tengo bien hecho, en el que me dan un endomorfismo y la matriz asociada a \( f \) en las bases, y me piden \( f(x,y,z) \)

\( e_1=(1,1,0) \)
\( e_2=(1,-1,0) \)
\(  e_3=(1,0,-1)  \)
\( u_1=(0,1,1)  \)
\( u_2=(1,0,1)  \)
\( u_3=(1,0,0) \)

Dándome como resultado:
\( f(x,y,z) = x(1,2,0) + y(1,0,2)+z(1,1,1) \)
No se si lo tengo bien ya que no encuentro nada por internet y solo tengo un ejercicio resulto en clase de ese tipo

[Luis Fuentes]

Hola

Hola de nuevo,
Tengo un ejercicio de examen que no se si tengo bien hecho, en el que me dan un endomorfismo y la matriz asociada a \( f \) en las bases, y me piden \( f(x,y,z) \)

\( e_1=(1,1,0) \)
\( e_2=(1,-1,0) \)
\(  e_3=(1,0,-1)  \)
\( u_1=(0,1,1)  \)
\( u_2=(1,0,1)  \)
\( u_3=(1,0,0) \)

Dándome como resultado:
\( f(x,y,z) = x(1,2,0) + y(1,0,2)+z(1,1,1) \)

No se puede saber si está bien sino dices cuál es la matriz asociada dada y exactamente respecto a qué bases está dada.

No se si lo tengo bien ya que no encuentro nada por internet y solo tengo un ejercicio resulto en clase de ese tipo

A mi estas cosas me dejan perplejo; ¿no tienes unos apuntes?; o mejor, ¿no te han dado alguna bibliografía que consultar?.

Apuntes:

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL1/pdfs/TEORIA3-3.pdf
http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL1/pdfs/TEORIA3-4.pdf

Ejercicios resueltos:

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL1/pdfs/NOHECHO3-3-2018-19.pdf
http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL1/pdfs/SOL3-4-2018-19.pdf

Saludos.

[extralionel]

Hola, no tengo ninguna bibliografia que nos haya dado el profesor :S
Respecto a lo de la matriz asociada es esta
\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{2}&{0}&{1}\\{0}&{2}&{1}\end{bmatrix}
 Y f(x,y,z) que obtengo es la matriz asociada, por lo que deduzco que está mal, ya que me piden f(x,y,z) de la otra base u

[manooooh]

Hola

No tengo ninguna bibliografia que nos haya dado el profesor :S

¿Apuntes, notas, definiciones? ¿Cómo estudiaste para el examen?

Respecto a lo de la matriz asociada es esta
\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{2}&{0}&{1}\\{0}&{2}&{1}\end{bmatrix}
 Y f(x,y,z) que obtengo es la matriz asociada, por lo que deduzco que está mal, ya que me piden f(x,y,z) de la otra base u

¿O sea que \( U=\{(0,1,1),(1,0,1),(1,0,0)\} \)? ¿O sea que te están pidiendo la expresión analítica de una transformación lineal en la base \( U \) dada una matriz asociada en otra base (la \( \{e_1,e_2,e_3\} \))?

¿Qué forman \( e_1,e_2 \) y \( e_3 \)? Lo normal sería que esos vectores son los que forman la base canónica \( E=\{e_1,e_2,e_3\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} \), así que por mi parte no puedo decirte mucho más si no nos especificás bien bien qué es cada cosa.

De todas maneras, ¿leíste los ejercicios propuestos por Luis? ¿Los entendés, te cuestan, no entendés nada?

Saludos

[extralionel]

Hola,
Acabo de leer lo que me ha enviado Luís, y creo que he resuelto lo que me pedia el ejercicio f(x,y,z) en base U. Dandome como resultado f(x,y,z) = x(2,1,2) + y(0,0,1) + z(0,0,0)

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,
Acabo de leer lo que me ha enviado Luís, y creo que he resuelto lo que me pedia el ejercicio f(x,y,z) en base U. Dandome como resultado f(x,y,z) = x(2,1,2) + y(0,0,1) + z(0,0,0)

Sigue sin estar claro exactamente el dato que da el ejercicio y exactamente lo que pide. ¿Puedes escribir al pie de la letra el enunciado?.

"f(x,y,z) en base U" no tiene una interpretación clara; no se sabe si \( (x,y,z) \) representan las coordenadas de un vector en la base \( U \), o quizá a que se exprese su imagen en la base \( U \) o ambas coas u otra cosa.

Saludos.

[extralionel]

Sigue sin estar claro exactamente el dato que da el ejercicio y exactamente lo que pide. ¿Puedes escribir al pie de la letra el enunciado?.

Se tiene un endomorfismo de \( \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 \) con la matriz asociada respecto a \( f \) y a las bases canónicas, entonces me piden \( f(x,y,z) \). Enunciado: Sea \( f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 \) un endomorfismo tal que \( A \) es la matriz asociada a \( f \) en las bases \( e_1 \), \( e_2 \), \( e_3 \) y \( u_1 \),\( u_2 \),\( u_3 \), encuentre \( f(x,y,z) \)


Saludos.

[feriva]

Hola,
Acabo de leer lo que me ha enviado Luís, y creo que he resuelto lo que me pedia el ejercicio f(x,y,z) en base U. Dandome como resultado f(x,y,z) = x(2,1,2) + y(0,0,1) + z(0,0,0)

Hola.
¿Con un vector de ceros ahí?

Tienes que dar todos los datos, si no, no te lo pueden corregir., no te pueden decir si está bien o no. El problema tiene que decir, entre otras cosas, si el tipo de transformación es de \( \mathbb{R}^{3}\Rightarrow\mathbb{R}^{3}  \) o lo que sea, eso siempre aparece en este tipo de ejercicios.

Hasta donde se puede entender, tienes unas bases y una matriz asociada a algo.

Si \( E
  \) es una base y \( U
  \) es otra, y “v” (en base canónica) es un cierto vector, se pueden plantear las igualdades

\( Ev_{E}=Uv_{U}
  \), donde los “v” con sus subíndices (los subíndices se ven más grandes que las letras principales, no sé si es mi navegador) son los vectores “v” respecto de la matriz de la base E y la base U; con distintas cordenadas, pero es el mismo vector “v” (llamo a las matrices igual que a las bases, para escribir menos).

Si, por ejemplo, multiplicas por la inversa de U en los dos lados, te queda esto

\( U^{-1}Ev_{E}=U^{-1}Uv_{U}
  \)

\( U^{-1}Ev_{E}=Iv_{U}
  \) donde I es la matriz identidad; la de la base canónica, entonces en definitiva tenemos \( U^{-1}Ev_{E}=v_{U}
  \).

Y ahí hallarías las coordenadas de \( v_{u}
  \); o sea, la matriz \( (U^{-1}E)
  \) transforma \( v_E \) en \( v_U \) mediante esa matriz; que es la matriz asociada a la transformación lineal.

Pero también podríamos haber hecho otra cosa, multiplicar a ambos lados por la inversa de E

\( E^{-1}Ev_{E}=E^{-1}Uv_{U}
  \) o sea

\( v_{E}=(E^{-1}U)v_{U}
  \)

y la matriz ahora es distinta; y transforma en otra sentido.

Por tanto, para que te puedan ayudar, tienes que decir de cuántas dimensiones es el espacio de partida y de cuántas el de llegada, cuáles son los vectores que hay que transformar (respecto de la base que parten) cuáles son los vectores en qué se transforman (en qué base tienen que quedar...) y todo lo que ponga en el enunciado.

¿Editaste tu última respuesta o es que no la había visto yo?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Con este enunciado:

Enunciado: Sea \( f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 \) un endomorfismo tal que \( A \) es la matriz asociada a \( f \) en las bases \( e_1 \), \( e_2 \), \( e_3 \) y \( u_1 \),\( u_2 \),\( u_3 \), encuentre \( f(x,y,z) \)

 y entendiendo que es esta la matriz:

Respecto a lo de la matriz asociada es esta
\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{2}&{0}&{1}\\{0}&{2}&{1}\end{bmatrix}

 y con estos datos:

\( e_1=(1,1,0) \) \( e_2=(1,-1,0) \) \(  e_3=(1,0,-1)  \)
\( u_1=(0,1,1)  \) \( u_2=(1,0,1)  \) \( u_3=(1,0,0) \)

 ya se puede resolver el problema.
 
 Lo que te dan es la matriz asociada respecto de la base canónica \( \{u_1,u_2,u_3\} \) en el espacio inicial y la base \( B=\{u_1,u_2,u_3\} \) en el espacio final.

 Y te piden la imagen de un vector cualquiera \( (x,y,z) \), \( f(x,y,z). \) Fíjate que esos \( x,y,z \) son simplemente las componentes de un vector como elemento de \( \mathbb{R}^3 \) o equivalentemente sus coordenadas en la base canónica.

 Por definición la matriz dada es aquella cuyas columnas son las imágenes de los vectores de la base de partida, es decir, de la base \( C=\{e_1,e_2,e_3\} \) expresada en la base de llegada \( B=\{u_1,u_2,u_3\} \), es decir sabemos que:

\( f(1,0,0)=f(e_1)=(1,2,0)_B=1\cdot u_1+2\cdot u_2+0\cdot u_3=u_1+2u_2=(0,1,1)+2(1,0,1)=(2,1,3) \)
\( f(0,1,0)=f(e_2)=(1,0,2)_B=1\cdot u_1+0\cdot u_2+2\cdot u_3=u_1+2u_3=(0,1,1)+2(1,0,0)=(2,1,1) \)
\( f(0,0,1)=f(e_3)=(1,1,1)_B=1\cdot u_1+1\cdot u_2+1\cdot u_3=u_1+u_2+u_3=(0,1,1)+(1,0,1)+(1,0,0)=(2,1,2) \)

 Finalmente:

\( f(x,y,z)=f(xe_1+ye_2+ze_3)=xf(e_1)+yf(e_2)+zf(e_3)=\\=x(2,1,3)+y(2,1,1)+z(2,1,2)=(2x+2y+2z,x+y+z,3x+y+2z) \)

 También podría resolverse matricialmente mediante las matrices de cambio de base. El dato es que:

\( F_{BC}=\begin{pmatrix}{1}&{1}&{1}\\{2}&{0}&{1}\\{0}&{2}&{1}\end{pmatrix} \)

 Tenemos que:

\( F_{CC}=M_{CB}F_{BC}=\begin{pmatrix}{0}&{1}&{1}\\{1}&{0}&{0}\\{1}&{1}&{0}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{1}&{1}\\{2}&{0}&{1}\\{0}&{2}&{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{2}&{2}&{2}\\{1}&{1}&{1}\\{3}&{1}&{2}\end{pmatrix} \)

y

\( f\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=F_{CC}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x+2y+2z\\x+y+z\\3x+y+2z\\\end{pmatrix} \)

Saludos.
Lo que está en rojo arriba no corresponde a la solución del problema propuesto. Entendí (porque es la notación) usual que la base \( \{e_1,e_2,e_3\} \) era la base canónica, pero no me di cuenta de que en realidad en el ejercicio la considera una base diferente:

\( e_1=(1,1,0) \) \( e_2=(1,-1,0) \) \(  e_3=(1,0,-1)  \)

Lo vuelvo a resolver más adelante.

[manooooh]

Hola

Lo que está en rojo arriba no corresponde a la solución del problema propuesto. Entendí (porque es la notación) usual que la base \( \{e_1,e_2,e_3\} \) era la base canónica, pero no me di cuenta de que en realidad en el ejercicio la considera una base diferente:

\( e_1=(1,1,0) \) \( e_2=(1,-1,0) \) \(  e_3=(1,0,-1)  \)

Lo había escrito aquí:

¿Qué forman \( e_1,e_2 \) y \( e_3 \)? Lo normal sería que esos vectores son los que forman la base canónica \( E=\{e_1,e_2,e_3\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} \), así que por mi parte no puedo decirte mucho más si no nos especificás bien bien qué es cada cosa.

Es raro, pero es válido .

Saludos