Hola
Tenemos el problema:
Sea \( f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 \) un endomorfismo tal que \( A \) es la matriz asociada a \( f \) en las bases \( e_1 \), \( e_2 \), \( e_3 \) y \( u_1 \),\( u_2 \),\( u_3 \), encuentre \( f(x,y,z) \)
Donde:
\( A=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{2}&{0}&{1}\\{0}&{2}&{1}\end{bmatrix} \).
y
\( e_1=(1,1,0) \) \( e_2=(1,-1,0) \) \( e_3=(1,0,-1) \)
\( u_1=(0,1,1) \) \( u_2=(1,0,1) \) \( u_3=(1,0,0) \)
Lo más cómodo es resolverlo matricialmente. Si hallamos la matriz asociada en la base canónica \( F_{CC} \) tendremos que:
\( f\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=F_{CC}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} \)
Si embargo la matriz dada está respecto a la base \( D=\{e_1,e_2,e_3\} \) y la base \( B=\{u_1,u_2,u_3\} \) en la base de llegada:
\( F_{BD}=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{2}&{0}&{1}\\{0}&{2}&{1}\end{bmatrix} \).
Tenemos que:
\( F_{CC}=M_{CB}F_{BD}M_{DC}=M_{CB}F_{BD}M_{CD}^{-1} \)
Donde:
\( M_{CB}=\begin{pmatrix}{0}&{1}&{1}\\{1}&{0}&{0}\\{1}&{1}&{0}\end{pmatrix} \)
\( M_{CD}=\begin{pmatrix}{1}&{1}&{1}\\{1}&{-1}&{0}\\{0}&{0}&{-1}\end{pmatrix} \)
Operando resulta:
\( F_{CC}=\begin{pmatrix}2&0&0\\1&0&0\\2&1&0\\\end{pmatrix} \)
y
\( f\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=F_{CC}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x\\x\\2x+y\\\end{pmatrix} \)[/color]
es decir:
\( f(x,y,z)=(2x,x,2x+y) \)
Saludos.
P.D. Si manooooh vi que lo escribiste.... pero luego no me di cuenta de utilizarlo correctamente.
