Hola
Por aclarar más.
Un autovector es una clase de vectores linealmente dependientes que puedes expresar en función de una variable o varias variables a modo de parámetros y darle el valor arbitrario que sea. El vector (-1,0,1) lo puedes escribir en función de beta, por ejemplo así \( (\beta,0,-\beta)
\), y entonces \( x=\beta;y=0;z=-\beta
\). Sí podrías usar el vector en función de una variable y darle el valor arbitrario después, cuando ya tienes montado el sistema; pero en este caso no procede, porque te están dando un representante concreto y sería complicarse la vida.
Con todos los respetos, yo diría por enredar mas.
Lo que está ahí escrito es como mínimo impreciso, y siendo estricto está mal. Un autovector no es una clase de vectores; un autovector es un vector cumpliendo una cierta condición (\( a\vec u=\lambda \vec u \), si nos referimos a autovector de una matriz). Cosa distinta es que cualquier múltiplo de un autovector también sea un autovector. Pero no tiene demasiad trascendencia eso en este ejercicio.
Respecto lo que has dicho al final para obtener b, no lo termino de entender, dim \( V_2 \) siempre dará 2 independientemente de el valor de b, y eso es lo que me desconcierta.
EDIT: Lo único que se me ha pasado por la cabeza ha sido hacer la adjunta de \begin{bmatrix}{3}&{3}\\{b}&{-3}\end{bmatrix} y obtener que b = a = 3
No se muy bien de donde te sacas esa adjunta ni lo que pretendes con ello.
Lo que te dice martiniano es lo siguiente (está basado en la teoría de diagonalización de endomorfismos que suponemos conoces para poder responder al ejercicio):
Para que un endomorfismo sea diagonalizable en \( \mathbb{R} \) tiene que cumplir:
- Todos sus autovalores son reales.
- La multiplicidad algebraica de cada autovalor \( \lambda_i \) coincide con la geométrica. La algebraica es la multiplicidad del autovalor como raíz del polinomio característico; la multiplicidad geométrica es el número de autovectores independientes asociados a él; equivalentemente \( dim(V)-rango(A-\lambda_i Id). \)
Entonces como sabemos que tu endomorfismo es diagonalizable (lo dice el enunciado) intentamos aplicar estas condiciones para poder hallar \( b \) (previamente y con la primera ecuación que propuso martiniano sabes que \( a=3 \)).
Comenzamos hallando el polinomio característico:
\( p_A(\lambda)=det(A-\lambda Id)=(2-\lambda)^2(-1-\lambda) \)
Sus autovalores son sus raíces, es decir:
\( \lambda_1=2 \) con multiplicidad algebraica \( 2 \)
\( \lambda_2=-1 \) con multiplicidad algebraica \( 1 \)
Sabemos (otro resultado teórico) que si la multiplicidad algebraica es 1 la geométrica también. Entonces nos preocupamos de estudiar cuando la multiplicidad geométrica de \( \lambda_1=2 \) coincide con la algebraica, es decir, cuando es dos.
Tenemos que analizar entonces cuando:
\( 3-rango(A-2Id)=2 \)
Termina...
Saludos.
