Hola
Porque pensé que era más natural. ¿No creés que todo enunciado debería ser capaz de poder traducirse a un razonamiento matemático con simbolitos?
Si, se puede. Pero en la mayoría de los casos no sirve para nada. Sólo para hacer más críptica la notación y complicar su compresión.
Oh, pensé que el enunciado era del tipo "\( p\implies q \)".
Pero independientemente de que sea de ese tipo o no, lo que digo es que la "p" concreta que tu escribiste y la "q" concreta que tu escribiste no viene a cuento.
¿Qué estructura lógica tiene asociada, sino?
Pues tienes unas hipótesis (tu "p"):
Vas a trabajar en el conjunto de partes de un cierto conjunto \( {\cal P}(A) \) con la relación de orden inclusión \( \subset \).
Después te dicen que consideres un subconjunto de ese conjunto de partes; en concreto uno formado por cuatro elementos, por cuatro subconjuntos de \( A \):
\( F=\{X,Y,Z,T\} \)
y una tesis (tu "q"):
i) que \( F \) está acotado.
ii) que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es el ínfimo de \( F. \)
iii) que \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es el supremo de \( F. \)
Si escribiste a propósito "Sistema" te pido por favor no lo hagas. Quiero saber si técnicamente es más correcto o no hablar para este ejercicio de "Sistema ordenado" o "Conjunto ordenado". Objetividad, por favor.
Te sorprendería saber con la ingenuidad que mis neuronas eligieron la palabra "sistema"; igualmente podrían haber elegido "conjunto". DA IGUAL. Sabemos perfectamente de que estamos hablando. Y puede que haya autores que prefieran llamarle sistema ordenado y otros conjunto ordenado.
Hasta aquí mi respuesta a las preguntas sobre este tema que considero secundarias o terciarias o casi irrelevantes. Lo importante es que entiendas lo que viene ahora; y en todo caso una vez entendido eso te pares si quieres en las inquietudes que manifestaste antes.
No entiendo el grueso de la prueba que presentás. Me siento molesto conmigo mismo.
No pasa nada por no entender las cosas. Nadie nace aprendido.
¿Por qué "Dado que si se cumplen (ii) y (iii) entonces automáticamente el conjunto está acotado (por tener ínfimo y supremo)"? Yo pensé que la condición para que un conjunto esté acotado es que posea cota superior e inferior 
.
Es cierto que un conjunto está acotado si y sólo si tiene cota superior e inferior. Pero es que por definición el supremo es una cota superior y el ínfimo es una cota inferior, luego si tiene ínfimo y supremo automáticamente tiene cota inferior y superior y está acotado.
Es cierto que también podría no tener supremo ni ínfimo y aun así estar acotado; pero dado que los apartados (ii) y (iii) me obligan a estudiar la existencia de ínfimo y supremo, los analizo primero porque si existen ya tengo resuelta la acotación. Si no existen todavía debería analizar si el conjunto es o no acotado.
¿No es que "\( F\subseteq\mathcal P(A) \)" es la hipótesis y la tesis es "\( F \) está acotado"? ¿Qué estructura es, entonces?
Parte de la hipótesis es también quien es \( F \). Es el conjunto \( \{X,Y,Z,T\} \).
Me perdí completamente.
No entiendo por qué hay que comprobar que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es un elemento de \( {\cal P}(A) \) ni su demostración,
Queremos comprobar que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es ínfimo. Según la definición que tu has escrito:
\( q\in A \) es ínfimo de \( B \) si y sólo si \( q \) es el último elemento del conjunto de cotas inferiores.
Tiene que cumplirse en primer lugar que \( q\in A \), es decir, que nuestro candidato a ínfimo sea un elemento de nuestro conjunto ordenado. En nuestro caso nuestro candidato a ínfimo es \( X\cap Y\cap Z\cap T \) y el conjunto ordenado es \( {\cal P}(A) \).
Ese conjunto es el conjunto de partes de \( A \), es decir, el conjunto de subconjuntos de \( A \). Por tanto tenemos que probar que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es un subconjunto de \( A \). Pero \( X,Y,Z,T \) son subconjuntos de \( A \) y la intersección de subconjuntos de \( A \) vuelve a ser un subconjunto de \( A \).
Si todavía no entiende esta parte, detalla al máximo hasta donde has entendido y que es lo que no comprendes.
Tampoco el enunciado y demostración de (b), ni sé cómo se ha definido \( A \).
Cuando dices que no se cómo se ha definido \( A \) no se si te refieres al \( A \) que has usado en tu repaso de las definiciones de supremo e ínfimo, que no es otra cosa que el conjunto ordenado donde estamos trabajando o el \( A \) de este ejercicio que es un conjunto cualquiera del que no sabemos nada (más que tiene al menos cuatro subconjuntos, porque \( F \) tiene cuatro elementos).
Sea como sea el conjunto ordenado donde estamos trabajando es \( P(A) \) donde \( A \) es un conjunto cualquiera.
Entonce en tu definición de ínfimo dices que \( q \) debe de ser "el último elemento del conjunto de cotas inferiores". Eso implica en primer lugar que es una cota inferior. Por eso digo que hay que probar que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) (que es nuestro candidato a ínfimo) es una cota inferior de \( F \). ¿Qué significa que es cota inferior? Que es "menor o igual" que cualquier elemento de \( F \). Entrecomillo "menor o igual" porque se refiere a la relación de orden que tenemos que en este caso es \( \subset \) (para mi ese símbolo incluye la posibilidad de igualdad).
Entonces tenemos que probar que \( X\cap Y\cap Z\cap T\subset K \) donde \( K \) es cualquier elemento de \( F \). Pero \( F \) tiene cuatro elementos, es decir, \( K=X,Y,T \) ó \( Z \).
De (c) no entiendo la demostración, pero sí su enunciado (ya que se desprende de la definición de "Supremo" que diste por válida).
Mejor entiende primero los dos puntos anteriores y luego revisa este.
¿Por qué de "\( q\in A \) es supremo de \( B \) si y sólo si \( q \) es el último elemento del conjunto de cotas inferiores" se desprenden 3 items? ¿Acaso mi definición es incompleta?
No es incompleta; simplemente he desmenuzado que significa.
Saludos.
