Autor Tema: En un conjunto ordenado ¿un conjunto acotado tiene ínfimo y supremo cumple esto?

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28 Enero, 2019, 10:02 pm
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manooooh

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Hola!

Probar o refutar la siguiente proposición. "Considerar el conjunto ordenado \( (\mathcal P(A),\subseteq) \). Sea \( F\subseteq\mathcal P(A) \). Si \( F=\{X,Y,Z,T\} \), entonces \( F \) está acotado siendo \( X\cap Y\cap Z\cap T \) el ínfimo y \( X\cup Y\cup Z\cup T \) el supremo".



En primer lugar, un par ordenado NO es un conjunto, por lo que ya el enunciado estaría un tanto incoherente, por lo que considero que debería decirse "Considerar el sistema ordenado \( (\mathcal P(A),\subseteq) \)", ¿de acuerdo?

Por otro lado, yo creo que la proposición es falsa, pero no sé cómo probarlo con un contraejemplo:

Tomemos \( A=F \), entonces \( \mathcal P(A)=\{\varnothing,\{X\},\{Y\},\{Z\},\{T\},\{X,Y\},\{X,Z\},\{X,T\},\{Y,Z\},\{Y,T\},\{Z,T\},\{X,Y,Z\},\{X,Y,T\},\{X,Z,T\},\{Y,Z,T\},A\} \). Se cumple que \( F\subseteq\mathcal P(A) \), y además es claro que \( F \) está acotado, sin embargo no sé cómo calcular \( X\cap Y\cap Z\cap T \), ¿será el vacío? Lo mismo para la unión, ¿será \( F \)? En esos casos la respuesta sería verdadera ???.

Gracias!
Saludos

29 Enero, 2019, 02:46 am
Respuesta #1

Masacroso

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El ejercicio está bien definido, no te están diciendo que es un par ordenado sino un conjunto (parcialmente) ordenado. \( \mathcal P(A) \) es un conjunto parcialmente ordenado por la relación de inclusión, dado un \( A \) cualquiera. Por otra parte es imposible la igualdad \( A=F \) ya que \( A\in\mathcal P(A) \) pero entonces \( A\not\subset\mathcal P(A) \) y sin embargo \( F\subset \mathcal P(A) \).

En principio te da igual si \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es vacío o no, sólo tienes que verificar si es el ínfimo de \( F \) o no lo es.

Ahora llamemos \( I:= X\cap Y\cap Z\cap T \), entonces tienes que ver si \( I \) es una cota inferior de \( F \), es decir si \( I\subset R \) para todo \( R\in F \) y si además es la mayor de todas las cotas de \( F \), es decir, si \( H \) fuese una cota inferior de \( F \) cualquiera entonces \( H\subset I \).

Para el caso del supremo la forma de proceder es análoga.

29 Enero, 2019, 06:55 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola Masacroso, muchas gracias

El ejercicio está bien definido, no te están diciendo que es un par ordenado sino un conjunto (parcialmente) ordenado. \( \mathcal P(A) \) es un conjunto parcialmente ordenado por la relación de inclusión, dado un \( A \) cualquiera. Por otra parte es imposible la igualdad \( A=F \) ya que \( A\in\mathcal P(A) \) pero entonces \( A\not\subset\mathcal P(A) \) y sin embargo \( F\subset \mathcal P(A) \).

De acuerdo. No me quedó muy en claro por qué si \( A\in\mathcal P(A) \) entonces \( A\not\subset\mathcal P(A) \).

En principio te da igual si \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es vacío o no, sólo tienes que verificar si es el ínfimo de \( F \) o no lo es.

De acuerdo.



¿Podrías indicarme si el enunciado es equivalente a probar la siguiente implicación?:

Sean \( p=F\subseteq\mathcal P(A) \) y \( q=x\subseteq y \) y además \( z\subseteq x \). Entonces se debe probar lo siguiente: \[p\implies q\iff\exists y,z\in F\,\forall x\in F:F\subseteq\mathcal P(A)\implies x\subseteq y\wedge z\subseteq x.\] Sin embargo, no soy capaz de utilizar la hipótesis para llegar a la tesis.



Ahora llamemos \( I:= X\cap Y\cap Z\cap T \), entonces tienes que ver si \( I \) es una cota inferior de \( F \), es decir si \( I\subset R \) para todo \( R\in F \) y si además es la mayor de todas las cotas de \( F \), es decir, si \( H \) fuese una cota inferior de \( F \) cualquiera entonces \( H\subset I \).

Uy, qué lío para mí :-\. No he logrado captar lo que querías decir, perdón.



Las definiciones con que cuento en mis apuntes son:

Decimos que un conjunto está acotado si lo está acotado superior e inferiormente. Sean \( (A,\preceq) \) sistema ordenado y \( \varnothing\neq B\subseteq A \).

\( s\in A \) es cota superior de \( B \) si y sólo si para todo \( x\in B \), \( x\preceq s \).

\( i\in A \) es cota inferior de \( B \) si y sólo si para todo \( x\in B \), \( i\preceq x \).

\( p\in A \) es supremo de \( B \) si y sólo si \( p \) es el primer elemento del conjunto de cotas superiores.

\( q\in A \) es ínfimo de \( B \) si y sólo si \( q \) es el último elemento del conjunto de cotas inferiores.



Aquí, \( \preceq{=}\subseteq \), \( A=\mathcal P(A) \) y \( B=F \). ¿Hasta aquí de acuerdo?

Lo que ocurre es que eso no me concuerda con la definición de cota superior e inferior de Wikipedia (lamentablemente en español, en la versión de inglés no se hace referencia), ya que allí sólo habla de un conjunto (el \( A \)), mientras que en mis definiciones se toma un subconjunto del sistema ordenado (análogo para la cota inferior) ???. ¿Ambas definiciones son correctas?

Si está mal, ¿cómo se podría traducir el enunciado en una implicación? Quizás así lo pueda ver más fácil.

Saludos

CORREGIDO

29 Enero, 2019, 10:49 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

¿Podrías indicarme si el enunciado es equivalente a probar la siguiente implicación?:

Sean \( p=F\subseteq\mathcal P(A) \) y \( q=x\subseteq y \) y además \( z\subseteq x \).

 Entonces se debe probar lo siguiente: \[p\implies q\iff\exists y,z\in F\,\forall x\in F:F\subseteq\mathcal P(A)\implies x\subseteq y\wedge z\subseteq x.\]

¡¿Pero por qué nadie querría escribir el enunciado de esa manera críptica, antinatural e hiperformalizada?!.

Además está mal desde el principio. No se a que viene ese "\( p \) implica \( q \)".

A lo largo de mi respuesta analizaré el enunciado sin caer en semejante galimatías.

Citar
Las definiciones con que cuento en mis apuntes son:

Decimos que un conjunto está acotado si lo está acotado superior e inferiormente. Sean \( (A,\preceq) \) sistema ordenado y \( \varnothing\neq B\subseteq A \).

\( s\in A \) es cota superior de \( B \) si y sólo si para todo \( x\in B \), \( x\preceq s \).

\( i\in A \) es cota inferior de \( B \) si y sólo si para todo \( x\in B \), \( i\preceq x \).

\( p\in A \) es supremo de \( B \) si y sólo si \( p \) es el primer elemento del conjunto de cotas superiores.

\( q\in A \) es supremo de \( B \) si y sólo si \( q \) es el último elemento del conjunto de cotas inferiores.

Están bien (salvo una errata al final: donde pusiste supremo es ínfimo).

Citar
Aquí, \( \preceq{=}\subseteq \), \( A=\mathcal P(A) \) y \( B=F \). ¿Hasta aquí de acuerdo?

De acuerdo.

Citar
Lo que ocurre es que eso no me concuerda con la definición de cota superior e inferior de Wikipedia (lamentablemente en español, en la versión de inglés no se hace referencia), ya que allí sólo habla de un conjunto (el \( A \)), mientras que en mis definiciones se toma un subconjunto del sistema ordenado (análogo para la cota inferior) ???. ¿Ambas definiciones son correctas?

La de la Wikipedia no me gusta; la definicion general es la que se hace para un subconjunto del sistema ordenadao. En la Wikipedia solo considera el caso en el que el subconjunto es precisamente todo el sistema. No me gusta.

Citar
Si está mal, ¿cómo se podría traducir el enunciado en una implicación? Quizás así lo pueda ver más fácil.

Sinceramente no entiendo la obsesión por verlo como una implicación ni porque te confunde tanto.

Primero te dicen donde vas a trabajar. Vas a trabajar en el conjunto de partes de un cierto conjunto \( {\cal P}(A) \) con la relación de orden inclusión \( \subset \).

Después te dicen que consideres un subconjunto de ese conjunto de partes; en concreto uno formado por cuatro elementos, por cuatro subconjuntos de \( A \):

\( F=\{X,Y,Z,T\} \)

Y bajo todas estas condiciones te piden que analices si es cierto que:

i) que \( F \) está acotado.
ii) que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es el ínfimo de \( F. \)
iii) que \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es el supremo de \( F. \)

Dado que si se cumplen (ii) y (iii) entonces automáticamente el conjunto está acotao (por tener ínfimo y supremo) nos ceñimos a estudiar esas dos condiciones.

Comencemos por (ii). Para ver que  \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es el ínfimo de \( F \) hay que ver que:

(a) \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es un elemento de \( {\cal P}(A) \), es decir, \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es un subconjunto de \( A \).

Cierto, porque \( X,Y,Z,T\subset A \) y la interescción de subconjuntos de \( A \) es un subconjunto de \( A \).

(b) Que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es una cota inferior de \( F, \) es decir, que para cualquier \( B\in F \) se tiene que \( X\cap Y\cap Z\cap T\subset B \).

Pero es claramente cierto también. Los posibles valores de \( B \) son \( X,Y,Z,T \) y la intersección \( X\cap Y\cap Z\cap T \) está contenida en cualquiera de los conjuntos que se intersecan.

(c) Que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es el último elemento de las cotas inferiores. Es decir si \( B\in {\cal P}(A) \) es una cota inferior de \( F \) entonces \( B\subset X\cap Y\cap Z\cap T \).

Ahora si \( B \) es cota inferior de \( F \) para todo \( C\in F \) se tiene que \( B\subset  C \). Entonces como \( X,Y,Z,T\in F \) se tiene que \( B\subset X, B\subset Y, B\subset Z, B\subset T \) y por tanto \( B\subset X\cap Y\cap Z\cap T. \)

Una vez que entiendas esto, intenta lo análogo para el supremo.

Saludos.

30 Enero, 2019, 01:17 am
Respuesta #4

manooooh

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Hola

¡¿Pero por qué nadie querría escribir el enunciado de esa manera críptica, antinatural e hiperformalizada?!.

Porque pensé que era más natural. ¿No creés que todo enunciado debería ser capaz de poder traducirse a un razonamiento matemático con simbolitos?

Además está mal desde el principio. No se a que viene ese "\( p \) implica \( q \)".

Oh, pensé que el enunciado era del tipo "\( p\implies q \)". ¿Qué estructura lógica tiene asociada, sino?

La de la Wikipedia no me gusta; la definicion general es la que se hace para un subconjunto del sistema ordenadao. En la Wikipedia solo considera el caso en el que el subconjunto es precisamente todo el sistema. No me gusta.

Si escribiste a propósito "Sistema" te pido por favor no lo hagas. Quiero saber si técnicamente es más correcto o no hablar para este ejercicio de "Sistema ordenado" o "Conjunto ordenado". Objetividad, por favor.



No entiendo el grueso de la prueba que presentás. Me siento molesto conmigo mismo.

Primero te dicen donde vas a trabajar. Vas a trabajar en el conjunto de partes de un cierto conjunto \( {\cal P}(A) \) con la relación de orden inclusión \( \subset \).

Después te dicen que consideres un subconjunto de ese conjunto de partes; en concreto uno formado por cuatro elementos, por cuatro subconjuntos de \( A \):

\( F=\{X,Y,Z,T\} \)

Y bajo todas estas condiciones te piden que analices si es cierto que:

i) que \( F \) está acotado.
ii) que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es el ínfimo de \( F. \)
iii) que \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es el supremo de \( F. \)

Dado que si se cumplen (ii) y (iii) entonces automáticamente el conjunto está acotao (por tener ínfimo y supremo) nos ceñimos a estudiar esas dos condiciones.

¿Por qué "Dado que si se cumplen (ii) y (iii) entonces automáticamente el conjunto está acotado (por tener ínfimo y supremo)"? Yo pensé que la condición para que un conjunto esté acotado es que posea cota superior e inferior ???.

¿No es que "\( F\subseteq\mathcal P(A) \)" es la hipótesis y la tesis es "\( F \) está acotado"? ¿Qué estructura es, entonces?

Comencemos por (ii). Para ver que  \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es el ínfimo de \( F \) hay que ver que:

(a) \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es un elemento de \( {\cal P}(A) \), es decir, \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es un subconjunto de \( A \).

Cierto, porque \( X,Y,Z,T\subset A \) y la interescción de subconjuntos de \( A \) es un subconjunto de \( A \).

(b) Que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es una cota inferior de \( F, \) es decir, que para cualquier \( B\in F \) se tiene que \( X\cap Y\cap Z\cap T\subset B \).

Pero es claramente cierto también. Los posibles valores de \( B \) son \( X,Y,Z,T \) y la intersección \( X\cap Y\cap Z\cap T \) está contenida en cualquiera de los conjuntos que se intersecan.

(c) Que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es el último elemento de las cotas inferiores. Es decir si \( B\in {\cal P}(A) \) es una cota inferior de \( F \) entonces \( B\subset X\cap Y\cap Z\cap T \).

Ahora si \( B \) es cota inferior de \( F \) para todo \( C\in F \) se tiene que \( B\subset  C \). Entonces como \( X,Y,Z,T\in F \) se tiene que \( B\subset X, B\subset Y, B\subset Z, B\subset T \) y por tanto \( B\subset X\cap Y\cap Z\cap T. \)

Me perdí completamente.

No entiendo por qué hay que comprobar que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es un elemento de \( {\cal P}(A) \) ni su demostración. Tampoco el enunciado y demostración de (b), ni sé cómo se ha definido \( A \).

De (c) no entiendo la demostración, pero sí su enunciado (ya que se desprende de la definición de "Supremo" que diste por válida).

¿Por qué de "\( q\in A \) es supremo de \( B \) si y sólo si \( q \) es el último elemento del conjunto de cotas inferiores" se desprenden 3 items? ¿Acaso mi definición es incompleta?

Gracias y saludos

30 Enero, 2019, 08:42 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Porque pensé que era más natural. ¿No creés que todo enunciado debería ser capaz de poder traducirse a un razonamiento matemático con simbolitos?

Si, se puede. Pero en la mayoría de los casos no sirve para nada. Sólo para hacer más críptica la notación y complicar su compresión.

Oh, pensé que el enunciado era del tipo "\( p\implies q \)".

Pero independientemente de que sea de ese tipo o no, lo que digo es que la "p" concreta que tu escribiste y la "q" concreta que tu escribiste no viene a cuento.

Citar
¿Qué estructura lógica tiene asociada, sino?

Pues tienes unas hipótesis (tu "p"):

Citar
Vas a trabajar en el conjunto de partes de un cierto conjunto \( {\cal P}(A) \) con la relación de orden inclusión \( \subset \).

Después te dicen que consideres un subconjunto de ese conjunto de partes; en concreto uno formado por cuatro elementos, por cuatro subconjuntos de \( A \):

\( F=\{X,Y,Z,T\} \)

y una tesis (tu "q"):

Citar
i) que \( F \) está acotado.
ii) que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es el ínfimo de \( F. \)
iii) que \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es el supremo de \( F. \)

Citar
Si escribiste a propósito "Sistema" te pido por favor no lo hagas. Quiero saber si técnicamente es más correcto o no hablar para este ejercicio de "Sistema ordenado" o "Conjunto ordenado". Objetividad, por favor.

Te sorprendería saber con la ingenuidad que mis neuronas eligieron la palabra "sistema"; igualmente podrían haber elegido "conjunto". DA IGUAL. Sabemos perfectamente de que estamos hablando. Y puede que haya autores que prefieran llamarle sistema ordenado y otros conjunto ordenado.


Hasta aquí mi respuesta a las preguntas sobre este tema que considero secundarias o terciarias o casi irrelevantes. Lo importante es que entiendas lo que viene ahora; y en todo caso una vez entendido eso te pares si quieres en las inquietudes que manifestaste antes.


Citar
No entiendo el grueso de la prueba que presentás. Me siento molesto conmigo mismo.

No pasa nada por no entender las cosas. Nadie nace aprendido.

Citar
¿Por qué "Dado que si se cumplen (ii) y (iii) entonces automáticamente el conjunto está acotado (por tener ínfimo y supremo)"? Yo pensé que la condición para que un conjunto esté acotado es que posea cota superior e inferior ???.

Es cierto que un conjunto está acotado si y sólo si tiene cota superior e inferior. Pero es que por definición el supremo es una cota superior y el ínfimo es una cota inferior, luego si tiene ínfimo y supremo automáticamente tiene cota inferior y superior y está acotado.

Es cierto que también podría no tener supremo ni ínfimo y aun así estar acotado; pero dado que los apartados (ii) y (iii) me obligan a estudiar la existencia de ínfimo y supremo, los analizo primero porque si existen ya tengo resuelta la acotación. Si no existen todavía debería analizar si el conjunto es o no acotado.

Citar
¿No es que "\( F\subseteq\mathcal P(A) \)" es la hipótesis y la tesis es "\( F \) está acotado"? ¿Qué estructura es, entonces?

Parte de la hipótesis es también quien es \( F \). Es el conjunto  \( \{X,Y,Z,T\} \).

Citar
Me perdí completamente.

No entiendo por qué hay que comprobar que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es un elemento de \( {\cal P}(A) \) ni su demostración,

Queremos comprobar que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es ínfimo. Según la definición que tu has escrito:

Citar
\( q\in A \) es ínfimo de \( B \) si y sólo si \( q \) es el último elemento del conjunto de cotas inferiores.

Tiene que cumplirse en primer lugar que \( q\in A \), es decir, que nuestro candidato a ínfimo sea un elemento de nuestro conjunto ordenado. En nuestro caso nuestro candidato a ínfimo es  \( X\cap Y\cap Z\cap T \) y el conjunto ordenado es \( {\cal P}(A) \).
Ese conjunto es el conjunto de partes de \( A \), es decir, el conjunto de subconjuntos de \( A \). Por tanto tenemos que probar que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es un subconjunto de \( A \). Pero \( X,Y,Z,T \) son subconjuntos de \( A \) y la intersección de subconjuntos de \( A \) vuelve a ser un subconjunto de \( A \).

Si todavía no entiende esta parte, detalla al máximo hasta donde has entendido y que es lo que no comprendes.

Citar
Tampoco el enunciado y demostración de (b), ni sé cómo se ha definido \( A \).

Cuando dices que no se cómo se ha definido \( A \) no se si te refieres al \( A \) que has usado en tu repaso de las definiciones de supremo e ínfimo, que no es otra cosa que el conjunto ordenado donde estamos trabajando o el \( A \) de este ejercicio que es un conjunto cualquiera del que no sabemos nada (más que tiene al menos cuatro subconjuntos, porque \( F \) tiene cuatro elementos).

Sea como sea el conjunto ordenado donde estamos trabajando es \( P(A) \) donde \( A \) es un conjunto cualquiera.

Entonce en tu definición de ínfimo dices que \( q \) debe de ser "el último elemento del conjunto de cotas inferiores". Eso implica en primer lugar que es una cota inferior. Por eso digo que hay que probar que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) (que es nuestro candidato a ínfimo) es una cota inferior de \( F \). ¿Qué significa que es cota inferior? Que es "menor o igual" que cualquier elemento de \( F \). Entrecomillo "menor o igual" porque se refiere a la relación de orden que tenemos que en este caso es \( \subset \) (para mi ese símbolo incluye la posibilidad de igualdad).

Entonces tenemos que probar que  \( X\cap Y\cap Z\cap T\subset K \) donde \( K \) es cualquier elemento de \( F \). Pero \( F \) tiene cuatro elementos, es decir, \( K=X,Y,T \)  ó \( Z \).

Citar
De (c) no entiendo la demostración, pero sí su enunciado (ya que se desprende de la definición de "Supremo" que diste por válida).

Mejor entiende primero los dos puntos anteriores y luego revisa este.

Citar
¿Por qué de "\( q\in A \) es supremo de \( B \) si y sólo si \( q \) es el último elemento del conjunto de cotas inferiores" se desprenden 3 items? ¿Acaso mi definición es incompleta?

No es incompleta; simplemente he desmenuzado que significa.

Saludos.

31 Enero, 2019, 01:56 am
Respuesta #6

manooooh

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Hola

Si, se puede. Pero en la mayoría de los casos no sirve para nada. Sólo para hacer más críptica la notación y complicar su compresión.

¿Seguro? Entonces la respuesta del siguiente enlace es considerada una minoría: Si \(R\) es una relación antisimétrica entonces \(R^{-1}\) también lo es, lo cual me sorprende, porque pensé que siempre era conveniente escribirlo en forma de implicación. Gracias.

Es cierto que un conjunto está acotado si y sólo si tiene cota superior e inferior. Pero es que por definición el supremo es una cota superior y el ínfimo es una cota inferior, luego si tiene ínfimo y supremo automáticamente tiene cota inferior y superior y está acotado.

Es cierto que también podría no tener supremo ni ínfimo y aun así estar acotado; pero dado que los apartados (ii) y (iii) me obligan a estudiar la existencia de ínfimo y supremo, los analizo primero porque si existen ya tengo resuelta la acotación. Si no existen todavía debería analizar si el conjunto es o no acotado.

Lo entendí perfecto, estudiamos primero si tiene ínfimo y supremo (satisface (i)), y si no tiene, queda estudiar si \( X\cap Y\cap Z\cap T \) y \( X\cup Y\cup Z\cup T \) son cotas inferior y superior, respectivamente (también satisface (i)). Súper claro :aplauso:.

Queremos comprobar que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es ínfimo. Según la definición que tu has escrito:

Citar
\( q\in A \) es ínfimo de \( B \) si y sólo si \( q \) es el último elemento del conjunto de cotas inferiores.

Tiene que cumplirse en primer lugar que \( q\in A \), es decir, que nuestro candidato a ínfimo sea un elemento de nuestro conjunto ordenado. En nuestro caso nuestro candidato a ínfimo es  \( X\cap Y\cap Z\cap T \) y el conjunto ordenado es \( {\cal P}(A) \).
Ese conjunto es el conjunto de partes de \( A \), es decir, el conjunto de subconjuntos de \( A \). Por tanto tenemos que probar que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es un subconjunto de \( A \). Pero \( X,Y,Z,T \) son subconjuntos de \( A \) y la intersección de subconjuntos de \( A \) vuelve a ser un subconjunto de \( A \).

Si todavía no entiende esta parte, detalla al máximo hasta donde has entendido y que es lo que no comprendes.

No había entendido por qué \( X,Y,Z,T \) son subconjuntos de \( A \), pero luego lo entendí gracias a:

Cuando dices que no se cómo se ha definido \( A \) no se si te refieres al \( A \) que has usado en tu repaso de las definiciones de supremo e ínfimo, que no es otra cosa que el conjunto ordenado donde estamos trabajando o el \( A \) de este ejercicio que es un conjunto cualquiera del que no sabemos nada (más que tiene al menos cuatro subconjuntos, porque \( F \) tiene cuatro elementos).

Sea como sea el conjunto ordenado donde estamos trabajando es \( P(A) \) donde \( A \) es un conjunto cualquiera.

(Preguntaba quién era \( A \) en el ejercicio -ahora sé que es cualquier conjunto con al menos cuatro elementos-, no en la definición). O sea \( A=\{\{X\},\{Y\},\{Z\},\{T\},\ldots\} \).

Sin embargo, no entiendo muy bien por qué la intersección de subconjuntos de \( A \) vuelve a ser un subconjunto de \( A \) (creo que porque como \( A \) es cualquier conjunto no me cierra). ¿Es equivalente a \( A\cap B\subseteq A \)?

Si es equivalente a ese enunciado, lo entiendo para la intersección, ¿y cuando tenga que realizar la misma prueba pero para la unión? ::) no es cierto en general que \( A\cup B\subseteq A \) ???.

Entonce en tu definición de ínfimo dices que \( q \) debe de ser "el último elemento del conjunto de cotas inferiores". Eso implica en primer lugar que es una cota inferior. Por eso digo que hay que probar que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) (que es nuestro candidato a ínfimo) es una cota inferior de \( F \). ¿Qué significa que es cota inferior? Que es "menor o igual" que cualquier elemento de \( F \). Entrecomillo "menor o igual" porque se refiere a la relación de orden que tenemos que en este caso es \( \subset \) (para mi ese símbolo incluye la posibilidad de igualdad).

Entonces tenemos que probar que  \( X\cap Y\cap Z\cap T\subset K \) donde \( K \) es cualquier elemento de \( F \). Pero \( F \) tiene cuatro elementos, es decir, \( K=X,Y,T \)  ó \( Z \).

Ahora lo entiendo excepto el último párrafo. Entiendo que \( K \) es el elemento cualquiera y hay que probar que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es el "último elemento", o sea \( X\cap Y\cap Z\cap T\subset K \), pero no entiendo por qué \( K\in F \) (lo que supondría que \( K \) es alguno de los cuatro elementos, como dijiste) y no \( K\in A \) (o no sé si \( K\in\mathcal P(A) \)).

El (c), por tanto, aun no lo entiendo.

Saludos

31 Enero, 2019, 01:50 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Si, se puede. Pero en la mayoría de los casos no sirve para nada. Sólo para hacer más críptica la notación y complicar su compresión.

¿Seguro? Entonces la respuesta del siguiente enlace es considerada una minoría: Si \(R\) es una relación antisimétrica entonces \(R^{-1}\) también lo es, lo cual me sorprende, porque pensé que siempre era conveniente escribirlo en forma de implicación. Gracias.

No acabo de ver en el enlace que pones nada que tenga que ver con la pregunta que me hacías, de si se siempre se puede escribir un enunciadoy/o razonamiento con simbolitos. En el enlace el enunciado directamente, sin modificar ni enrevesar la cuestión,  te pide analizar la veracidad o no de una implicación "si... entonces...". Por lo demás que la solución la hayas escrito con más o menos simbolitos (cuestión de forma) no es lo que hace que esté bien o mal; lo que hace que esté bien es el razonamiento de fondo que usas.


Citar
(Preguntaba quién era \( A \) en el ejercicio -ahora sé que es cualquier conjunto con al menos cuatro elementos-, no en la definición). O sea \( A=\{\{X\},\{Y\},\{Z\},\{T\},\ldots\} \).

¡Ojo! \( A \) esos no son los elementos de \( A \). Ten en cuenta que \( X,Y,Z,T \) son elementos de \( {\cal P}(A) \), es decir de partes de \( A \); es decir son subconjuntos de \( A. \)

Por ejemplo podría ser \( A=\{1,2,3\} \):

\( A=\{1,2,3\} \) y \( X=\{1,2\},\quad Y=\emptyset,\quad Z=\{1\},\quad T=\{2\} \)

ó

\( A=\mathbb{R} \) y \( X=(0,+\infty),\quad Y=[5,4),\quad Z=\{1\},\quad T=(-1,4) \)

Creo que esta confusión puede repercutir en la comprensión de todo el ejercicio; cuanto lo tengas claro, revisa otra vez lo demás. Probablemente ahora lo entiendas mejor.

Saludos.

31 Enero, 2019, 03:18 pm
Respuesta #8

manooooh

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Hola

No acabo de ver en el enlace que pones nada que tenga que ver con la pregunta que me hacías, de si se siempre se puede escribir un enunciadoy/o razonamiento con simbolitos. En el enlace el enunciado directamente, sin modificar ni enrevesar la cuestión,  te pide analizar la veracidad o no de una implicación "si... entonces...". Por lo demás que la solución la hayas escrito con más o menos simbolitos (cuestión de forma) no es lo que hace que esté bien o mal; lo que hace que esté bien es el razonamiento de fondo que usas.

Que si en el enlace no se hubiera puesto en evidencia la estructura lógica del enunciado hubiera resultado mucho más difícil de comprender.

Igual me parece que ese tipo de cosas son más "Cálculos Auxiliares" que ponerlo de manifiesto en la prueba. Aunque me sigue pareciendo muy visual, porque sé de dónde debo partir, qué hipótesis hay y a dónde hay que llegar.

¡Ojo! \( A \) esos no son los elementos de \( A \). Ten en cuenta que \( X,Y,Z,T \) son elementos de \( {\cal P}(A) \), es decir de partes de \( A \); es decir son subconjuntos de \( A. \)

Por ejemplo podría ser \( A=\{1,2,3\} \):

\( A=\{1,2,3\} \) y \( X=\{1,2\},\quad Y=\emptyset,\quad Z=\{1\},\quad T=\{2\} \)

ó

\( A=\mathbb{R} \) y \( X=(0,+\infty),\quad Y=[5,4),\quad Z=\{1\},\quad T=(-1,4) \)

Creo que esta confusión puede repercutir en la comprensión de todo el ejercicio; cuanto lo tengas claro, revisa otra vez lo demás. Probablemente ahora lo entiendas mejor.

Cierto, ¡gracias!

¿No es que \( F \) es subconjunto de \( \mathcal P(A) \)? O sea \( \mathcal P(A)=\{\{X,Y,Z,T\},\ldots\} \), ¿verdad?

Entonces sería \( X,Y,Z,T\in A \).

Saludos

31 Enero, 2019, 04:59 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

¿No es que \( F \) es subconjunto de \( \mathcal P(A) \)? O sea \( \mathcal P(A)=\{\{X,Y,Z,T\},\ldots\} \), ¿verdad?

Cómo me dices "¿no es qué...?" no se si quieres confirmar que eso es así o que no es así.

Te digo como es correcto.

Lo correcto es que \( F \) es subcojunto de \( \mathcal P(A) \), es decir, los elementos de \( F \) son algunos elementos de \( \mathcal P(A) \), o lo que es lo mismo, son algunos subconjuntos de \( A \).

Está MAL poner que \( \mathcal P(A)=\{\{X,Y,Z,T\},\ldots\} \) porque entonces \( F \) sería un ELEMENTO de \( \mathcal P(A) \), es decir tendrías que \( F\in \mathcal P(A) \) (que NO es lo que dice el enunciado). Lo que dice el enunciado es que \( F \) es un subconjunto de \( \mathcal P(A) \), es decir, \( F\subset \mathcal P(A) \).

Entonces lo CORRECTO es que \( \mathcal P(A)=\{X,Y,Z,T,\ldots\} \).

Citar
Entonces sería \( X,Y,Z,T\in A \).

No. Lo que tenemos es \( F=\{X,Y,Z,T\}\subset \mathcal P(A) \); equivalentemente que \( X,Y,Z,T\in \mathcal P(A)
 \); equivalentemente que \( X,Y,Z,T\subset A. \)

Saludos.

31 Enero, 2019, 06:11 pm
Respuesta #10

manooooh

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Hola

(...) Lo que tenemos es \( F=\{X,Y,Z,T\}\subset \mathcal P(A) \); equivalentemente que \( X,Y,Z,T\in \mathcal P(A)
 \); equivalentemente que \( X,Y,Z,T\subset A. \)

De acuerdo. Entonces \( A=\{\{X\},\{Y\},\{Z\},\{T\},\ldots\} \).

Sin embargo, me cuesta entender por qué

Sin embargo, no entiendo muy bien por qué la intersección de subconjuntos de \( A \) vuelve a ser un subconjunto de \( A \) (creo que porque como \( A \) es cualquier conjunto no me cierra). ¿Es equivalente a \( A\cap B\subseteq A \)?

Si es equivalente a ese enunciado, lo entiendo para la intersección, ¿y cuando tenga que realizar la misma prueba pero para la unión? ::) no es cierto en general que \( A\cup B\subseteq A \) ???.

y

Ahora lo entiendo excepto el último párrafo. Entiendo que \( K \) es el elemento cualquiera y hay que probar que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es el "último elemento", o sea \( X\cap Y\cap Z\cap T\subset K \), pero no entiendo por qué \( K\in F \) (lo que supondría que \( K \) es alguno de los cuatro elementos, como dijiste) y no \( K\in A \) (o no sé si \( K\in\mathcal P(A) \)).

El (c), por tanto, aun no lo entiendo.

Saludos

31 Enero, 2019, 07:23 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

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De acuerdo. Entonces \( A=\{\{X\},\{Y\},\{Z\},\{T\},\ldots\} \).

¡No!. \( X,Y,Z,T \) son subconjuntos de \( A \). Lo que tu has escrito por ejemplo es que \( \{X\} \) es un elemento de \( A \), que es completamente diferente. Te remito a dos posibles ejemplos válidos que ya te di:

Por ejemplo podría ser:

\( A=\{1,2,3\} \) y \( X=\{1,2\},\quad Y=\emptyset,\quad Z=\{1\},\quad T=\{2\} \)

ó

\( A=\mathbb{R} \) y \( X=(0,+\infty),\quad Y=[5,4),\quad Z=\{1\},\quad T=(-1,4) \)

Citar
Sin embargo, me cuesta entender por qué

Sin embargo, no entiendo muy bien por qué la intersección de subconjuntos de \( A \) vuelve a ser un subconjunto de \( A \) (creo que porque como \( A \) es cualquier conjunto no me cierra). ¿Es equivalente a \( A\cap B\subseteq A \)?

Sigo pensando que no entiendes esto porque todavía no tienes claro que los conjuntos \( X,Y,Z,T \) son subconjuntos de \( A \).

Más allá del formalismo lo que digo es que si intersecas subconjuntos de un conjunto \( A \) el resultado sigue siendo un subconjunto de \( A \). Dicho de otra forma los elementos comunes a subconjuntos formados por elementos de \( A \)...¡son también elementos de \( A \)!.

Por ejemplo si \( A \) es el conjunto de alumnos de una clase, \( X \) son los alumnos de la clase varones, \( Y \) los alumnos de la clase rubios, \( Z \) los alumnos de la clase mayores de 18 años, la intersección \( X\cap Y\cap Z \) sigue estando formada por alumnos de esa clase (es un subconjunto de A); en particular serían los alumnos varones, rubios, mayores de 18 años.

Saludos.

31 Enero, 2019, 07:31 pm
Respuesta #12

manooooh

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Hola

¡No!. \( X,Y,Z,T \) son subconjuntos de \( A \). Lo que tu has escrito por ejemplo es que \( \{X\} \) es un elemento de \( A \), que es completamente diferente. (...)

¡Rayos!

Estoy de acuerdo que \( \mathcal P(A)=\{X,Y,Z,T,\ldots\} \), ¿y por quiénes está formado \( A \) en el ejercicio?

Saludos

31 Enero, 2019, 07:44 pm
Respuesta #13

Luis Fuentes

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Hola

¡Rayos!

Estoy de acuerdo que \( \mathcal P(A)=\{X,Y,Z,T,\ldots\} \), ¿y por quiénes está formado \( A \) en el ejercicio?

Es que no necesitas saber exactamente quien es el conjunto \( A \). Sólo necesitas saber que tiene al menos cuatro subconjuntos que llamamos \( X,Y,Z,T \). Es decir \( A \) es un conjunto tal que existen al menos cuatro subconjuntos \( X,Y,Z,T\subset A \).

Esa información es suficiente para resolver por completo el ejercicio.

Saludos.

31 Enero, 2019, 08:08 pm
Respuesta #14

manooooh

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Hola

Es que no necesitas saber exactamente quien es el conjunto \( A \). Sólo necesitas saber que tiene al menos cuatro subconjuntos que llamamos \( X,Y,Z,T \). Es decir \( A \) es un conjunto tal que existen al menos cuatro subconjuntos \( X,Y,Z,T\subset A \).

Esa información es suficiente para resolver por completo el ejercicio.

Aunque no sea necesario, me hubiera gustado saber quién era \( A \). Si tenemos \( \mathcal P(M) \), creo que tenemos forma de saber algunos de los elementos de \( M \). P.e. si \( \mathcal P(M)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},M,\ldots\} \) es porque \( M=\{1,2\} \), ¿no?

De todas formas, ahora creo que lo veo.

(b) Que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es una cota inferior de \( F, \) es decir, que para cualquier \( B\in F \) se tiene que \( X\cap Y\cap Z\cap T\subset B \).

Pero es claramente cierto también. Los posibles valores de \( B \) son \( X,Y,Z,T \) y la intersección \( X\cap Y\cap Z\cap T \) está contenida en cualquiera de los conjuntos que se intersecan.

(c) Que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es el último elemento de las cotas inferiores. Es decir si \( B\in {\cal P}(A) \) es una cota inferior de \( F \) entonces \( B\subset X\cap Y\cap Z\cap T \).

Ahora si \( B \) es cota inferior de \( F \) para todo \( C\in F \) se tiene que \( B\subset  C \). Entonces como \( X,Y,Z,T\in F \) se tiene que \( B\subset X, B\subset Y, B\subset Z, B\subset T \) y por tanto \( B\subset X\cap Y\cap Z\cap T. \)

¡En (b) demostraste \( X\cap Y\cap Z\cap T\subset B \) y en (c), \( B\subset X\cap Y\cap Z\cap T \)! Por tanto \( B=X\cap Y\cap Z\cap T \) ;D.



Mmm... para el supremo :-\:

Primero te dicen donde vas a trabajar. Vas a trabajar en el conjunto de partes de un cierto conjunto \( {\cal P}(A) \) con la relación de orden inclusión \( \subset \).

Después te dicen que consideres un subconjunto de ese conjunto de partes; en concreto uno formado por cuatro elementos, por cuatro subconjuntos de \( A \):

\( F=\{X,Y,Z,T\} \)

Y bajo todas estas condiciones te piden que analices si es cierto que:

i) que \( F \) está acotado.
ii) que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es el ínfimo de \( F. \)
iii) que \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es el supremo de \( F. \)

Dado que si se cumplen (ii) y (iii) entonces automáticamente el conjunto está acotado (por tener ínfimo y supremo) nos ceñimos a estudiar esas dos condiciones.

Comencemos por (iii). Para ver que  \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es el supremo de \( F \) hay que ver que:

(a) \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es un elemento de \( {\cal P}(A) \), es decir, \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es un subconjunto de \( A \).

Cierto, porque \( X,Y,Z,T\subset A \) y la unión de subconjuntos de \( A \) es un subconjunto de \( A \).

(b) Que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es una cota superior de \( F, \) es decir, que para cualquier \( B\in F \) se tiene que \( X\cup Y\cup Z\cup T\subset B \).

Pero es claramente cierto también. Los posibles valores de \( B \) son \( X,Y,Z,T \) y la unión \( X\cup Y\cup Z\cup T \) está contenida en cualquiera de los conjuntos que se unen.

(c) Que \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es el primer elemento de las cotas superiores. Es decir si \( B\in {\cal P}(A) \) es una cota superior de \( F \) entonces \( B\subset X\cup Y\cup Z\cup T \).

Ahora si \( B \) es cota superior de \( F \) para todo \( C\in F \) se tiene que \( B\subset  C \). Entonces como \( X,Y,Z,T\in F \) se tiene que \( B\subset X, B\subset Y, B\subset Z, B\subset T \) y por tanto \( B\subset X\cup Y\cup Z\cup T \).

¿Es correcto?



Lo que me llama la atención es que no es cierto que en general \( A\cup B\subset A \) (o \( B \)), por lo que no sé si sólo cambiando "ínfimo" por "supremo", "\( X\cap Y\cap Z\cap T \)" por "\( X\cup Y\cup Z\cup T \)", "último" por "primero" e "inferior" por "superior" se solucione ???.

Gracias y saludos

Agregado

31 Enero, 2019, 09:00 pm
Respuesta #15

manooooh

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Otra duda. Si \( X,Y,Z \) y \( T \) son elementos de un conjunto, ¿tiene sentido preguntarse por la unión (o intersección) de elementos y no de conjuntos?

Por ejemplo, \( A=\{1,2,3\} \). ¿Qué significa \( 1\cup2\cup3 \), a qué es equivalente? ¿No debería ser \( \{1\}\cup\{2\}\cup\{3\}=\{1,2,3\} \)?

Saludos

31 Enero, 2019, 09:06 pm
Respuesta #16

Luis Fuentes

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Hola

Aunque no sea necesario, me hubiera gustado saber quién era \( A \).

Pero eso es como si un enunciado del tipo:

 "Estudiar si esta afirmación es verdadera o falsa: dada una función derivable en todo punto \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) si se anula en dos puntos, entonces su derivada se anula al menos en uno",

dices que te gustaría saber quien es a la función \( f \). Pues no lo sabemos. Lo único relevante es que es derivable y se anula en dos puntos y la propiedad es cierta bajo esas condiciones. Uno puede ponerse ejemplos si eso le ayuda a entender la cuestión, igual que en el caso que nos ocupa te he puesto ejemplos concretos de conjuntos \( A \). Pero al final hay que estudiar la probabilidad con generalidad.

Citar
Si tenemos \( \mathcal P(M) \), creo que tenemos forma de saber algunos de los elementos de \( M \). P.e. si \( \mathcal P(M)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},M,\ldots\} \) es porque \( M=\{1,2\} \), ¿no?

No exactamente, sabríamos que \( M=\{1,2,\ldots\} \), es decir que \( 1,2 \) son elementos de \( M \) pero puede tener más.

Citar
¡En (b) demostraste \( X\cap Y\cap Z\cap T\subset B \) y en (c), \( B\subset X\cap Y\cap Z\cap T \)! Por tanto \( B=X\cap Y\cap Z\cap T \) ;D.

El \( B \) del apartado (b) y el \( B \) del apartado (c) son conjuntos diferentes.  ;D.

Citar
Primero te dicen donde vas a trabajar. Vas a trabajar en el conjunto de partes de un cierto conjunto \( {\cal P}(A) \) con la relación de orden inclusión \( \subset \).

Después te dicen que consideres un subconjunto de ese conjunto de partes; en concreto uno formado por cuatro elementos, por cuatro subconjuntos de \( A \):

\( F=\{X,Y,Z,T\} \)

Y bajo todas estas condiciones te piden que analices si es cierto que:

i) que \( F \) está acotado.
ii) que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es el ínfimo de \( F. \)
iii) que \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es el supremo de \( F. \)

Dado que si se cumplen (ii) y (iii) entonces automáticamente el conjunto está acotado (por tener ínfimo y supremo) nos ceñimos a estudiar esas dos condiciones.

Comencemos por (iii). Para ver que  \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es el supremo de \( F \) hay que ver que:

(a) \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es un elemento de \( {\cal P}(A) \), es decir, \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es un subconjunto de \( A \)

Cierto, porque \( X,Y,Z,T\subset A \) y la unión de subconjuntos de \( A \) es un subconjunto de \( A \).

Bien.

Citar
(b) Que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es una cota superior de \( F, \) es decir, que para cualquier \( B\in F \) se tiene que \( X\cup Y\cup Z\cup T\subset B \).

En vez de \( X\cap Y\cap Z\cap T \)  supongo que quisiste poner, \( X\cup Y\cup Z\cup T \).¡Y la interpretación de cota superior está mal!. La haces de al revés y eso deriva en todas tus dudas y errores posteriores. Que sea cota superior significa que para cualquier \( B\in F \) se cumple \( B\subset X\cup Y\cup Z\cup T \).

Ahora revisa lo demás.

Otra duda. Si \( X,Y,Z \) y \( T \) son elementos de un conjunto, ¿tiene sentido preguntarse por la unión (o intersección) de elementos y no de conjuntos?

Si, porque esos elementos son en particular conjuntos, subconjuntos de \( A \) en concreto.

Citar
Por ejemplo, \( A=\{1,2,3\} \). ¿Qué significa \( 1\cup2\cup3 \), a qué es equivalente? ¿No debería ser \( \{1\}\cup\{2\}\cup\{3\}=\{1,2,3\} \)?

Son cosas distintas. \( \{1\}\cup \{2\}\cup \{3\}=\{1,2,3\} \) eso no hay duda.

Ahora para saber quien es \( 1\cup 2\cup 3 \) tenemos que saber que conjunto están representando respectivamente los símbolos \( 1,2,3 \).

Saludos.

31 Enero, 2019, 09:20 pm
Respuesta #17

manooooh

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Hola

dices que te gustaría saber quien es a la función \( f \). Pues no lo sabemos. Lo único relevante es que es derivable y se anula en dos puntos y la propiedad es cierta bajo esas condiciones. Uno puede ponerse ejemplo si eso le ayuda a entender la cuestión, igual que en el caso que nos ocupa te he puesto ejemplos concretos de conjuntos \( A \). Pero al final hay que estudiar la probabilidad con generalidad.

De acuerdo. Pensé que ver cómo se ubicaban algunos de los elementos de \( A \) ayudaría a entender mejor el problema, pero en el ejemplo de la función \( f \) no tiene mucho sentido decir \( f=\{(0,y_0),(\sqrt2,y_1),\ldots\} \); no aporta nada en la solución.

El \( B \) del apartado (b) y el \( B \) del apartado (c) son conjuntos diferentes.  ;D.

Cierto. Uno pertenece a \( F \) y otro a \( \mathcal P(A) \). Mirá cómo poniendo la misma etiqueta a dos cosas distintas (p.e. \( x_0=1 \) y \( x_0=0 \)) hacés confundir a un usuario tonto :laugh: :laugh:.

En vez de \( X\cap Y\cap Z\cap T \)  supongo que quisiste poner, \( X\cup Y\cup Z\cup T \).¡Y la interpretación de cota superior está mal!. La haces de al revés y eso deriva en todas tus dudas y errores posteriores. Que sea cota superior significa que para cualquier \( B\in F \) se cumple \( B\subset X\cup Y\cup Z\cup T \).

Ahora revisa lo demás.

Es cierto:

Primero te dicen donde vas a trabajar. Vas a trabajar en el conjunto de partes de un cierto conjunto \( {\cal P}(A) \) con la relación de orden inclusión \( \subset \).

Después te dicen que consideres un subconjunto de ese conjunto de partes; en concreto uno formado por cuatro elementos, por cuatro subconjuntos de \( A \):

\( F=\{X,Y,Z,T\} \)

Y bajo todas estas condiciones te piden que analices si es cierto que:

i) que \( F \) está acotado.
ii) que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es el ínfimo de \( F. \)
iii) que \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es el supremo de \( F. \)

Dado que si se cumplen (ii) y (iii) entonces automáticamente el conjunto está acotado (por tener ínfimo y supremo) nos ceñimos a estudiar esas dos condiciones.

Comencemos por (iii). Para ver que  \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es el supremo de \( F \) hay que ver que:

(a) \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es un elemento de \( {\cal P}(A) \), es decir, \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es un subconjunto de \( A \).

Cierto, porque \( X,Y,Z,T\subset A \) y la unión de subconjuntos de \( A \) es un subconjunto de \( A \).

(b) Que \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es una cota superior de \( F, \) es decir, que para cualquier \( B\in F \) se tiene que \( B\subset X\cup Y\cup Z\cup T \).

Pero es claramente cierto también. Los posibles valores de \( B \) son \( X,Y,Z,T \) y cualquiera de los conjuntos que se unen está contenida en la unión \( X\cup Y\cup Z\cup T \).

(c) Que \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es el primer elemento de las cotas superiores. Es decir si \( B\in {\cal P}(A) \) es una cota superior de \( F \) entonces \( X\cup Y\cup Z\cup T\subset B \).

Ahora si \( B \) es cota superior de \( F \) para todo \( C\in F \) se tiene que \( B\subset  C \). Entonces como \( X,Y,Z,T\in F \) se tiene que \( X\subset B, Y\subset B, Z\subset B, T\subset B \) y por tanto \( X\cup Y\cup Z\cup T\subset B \).

Referencias:

  • Rojo para la primera modificación.
  • Verde para la segunda modificación.

Ahora para saber quien es \( 1\cup 2\cup 3 \) tenemos que saber que conjunto están representando respectivamente los símbolos \( 1,2,3 \).

Ahh, de acuerdo. O sea que cada elemento es de por sí un conjunto. Entendido. Gracias.

Saludos

01 Febrero, 2019, 07:39 am
Respuesta #18

Luis Fuentes

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