Hola
Es que no necesitas saber exactamente quien es el conjunto \( A \). Sólo necesitas saber que tiene al menos cuatro subconjuntos que llamamos \( X,Y,Z,T \). Es decir \( A \) es un conjunto tal que existen al menos cuatro subconjuntos \( X,Y,Z,T\subset A \).
Esa información es suficiente para resolver por completo el ejercicio.
Aunque no sea necesario, me hubiera gustado saber quién era \( A \). Si tenemos \( \mathcal P(M) \), creo que tenemos forma de saber algunos de los elementos de \( M \). P.e. si \( \mathcal P(M)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},M,\ldots\} \) es porque \( M=\{1,2\} \), ¿no?
De todas formas, ahora creo que lo veo.
(b) Que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es una cota inferior de \( F, \) es decir, que para cualquier \( B\in F \) se tiene que \( X\cap Y\cap Z\cap T\subset B \).
Pero es claramente cierto también. Los posibles valores de \( B \) son \( X,Y,Z,T \) y la intersección \( X\cap Y\cap Z\cap T \) está contenida en cualquiera de los conjuntos que se intersecan.
(c) Que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es el último elemento de las cotas inferiores. Es decir si \( B\in {\cal P}(A) \) es una cota inferior de \( F \) entonces \( B\subset X\cap Y\cap Z\cap T \).
Ahora si \( B \) es cota inferior de \( F \) para todo \( C\in F \) se tiene que \( B\subset C \). Entonces como \( X,Y,Z,T\in F \) se tiene que \( B\subset X, B\subset Y, B\subset Z, B\subset T \) y por tanto \( B\subset X\cap Y\cap Z\cap T. \)
¡En (b) demostraste \( X\cap Y\cap Z\cap T\subset B \) y en (c), \( B\subset X\cap Y\cap Z\cap T \)! Por tanto \( B=X\cap Y\cap Z\cap T \)
.
Mmm... para el supremo
:
Primero te dicen donde vas a trabajar. Vas a trabajar en el conjunto de partes de un cierto conjunto \( {\cal P}(A) \) con la relación de orden inclusión \( \subset \).
Después te dicen que consideres un subconjunto de ese conjunto de partes; en concreto uno formado por cuatro elementos, por cuatro subconjuntos de \( A \):
\( F=\{X,Y,Z,T\} \)
Y bajo todas estas condiciones te piden que analices si es cierto que:
i) que \( F \) está acotado.
ii) que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es el ínfimo de \( F. \)
iii) que \( X\cup Y\cup Z\cup T \) es el supremo de \( F. \)
Dado que si se cumplen (ii) y (iii) entonces automáticamente el conjunto está acotado (por tener ínfimo y supremo) nos ceñimos a estudiar esas dos condiciones.
Comencemos por
(iii). Para ver que
\( X\cup Y\cup Z\cup T \) es el
supremo de \( F \) hay que ver que:
(a)
\( X\cup Y\cup Z\cup T \) es un elemento de \( {\cal P}(A) \), es decir,
\( X\cup Y\cup Z\cup T \) es un subconjunto de \( A \).
Cierto, porque \( X,Y,Z,T\subset A \) y la
unión de subconjuntos de \( A \) es un subconjunto de \( A \).
(b) Que \( X\cap Y\cap Z\cap T \) es una cota
superior de \( F, \) es decir, que para cualquier \( B\in F \) se tiene que
\( X\cup Y\cup Z\cup T\subset B \).
Pero es claramente cierto también. Los posibles valores de \( B \) son \( X,Y,Z,T \) y la
unión \( X\cup Y\cup Z\cup T \) está contenida en cualquiera de los conjuntos que se
unen.
(c) Que
\( X\cup Y\cup Z\cup T \) es el
primer elemento de las cotas
superiores. Es decir si \( B\in {\cal P}(A) \) es una cota
superior de \( F \) entonces
\( B\subset X\cup Y\cup Z\cup T \).
Ahora si \( B \) es cota
superior de \( F \) para todo \( C\in F \) se tiene que \( B\subset C \). Entonces como \( X,Y,Z,T\in F \) se tiene que \( B\subset X, B\subset Y, B\subset Z, B\subset T \) y por tanto
\( B\subset X\cup Y\cup Z\cup T \).
¿Es correcto?
Lo que me llama la atención es que no es cierto que en general \( A\cup B\subset A \) (o \( B \)), por lo que no sé si sólo cambiando "ínfimo" por "supremo", "\( X\cap Y\cap Z\cap T \)" por "\( X\cup Y\cup Z\cup T \)",
"último" por "primero" e "inferior" por "superior" se solucione
.
Gracias y saludos
Agregado
