Autor Tema: Demostrar que \(\forall n\in\Bbb N:6\cdot7^n+10\cdot3^n\) es múltiplo de \(4\)

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26 Diciembre, 2018, 09:25 am
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manooooh

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Hola!

Demostrar que \(\forall n\in\Bbb N:6\cdot7^n+10\cdot3^n\) es múltiplo de \(4\) por inducción justificando las propiedades utilizadas.



El enunciado es equivalente a probar por inducción que para todo \(n\in\Bbb N\) existe \(k\in\Bbb Z\) tal que se tiene que \(6\cdot7^n+10\cdot3^n=4k\). Se cumple para \(n=1\) pues \(6\cdot7^1+10\cdot3^1=72=4\cdot18\). Ahora sea cierta la fórmula para \(n\) y para algunos \(k_1,k_2\in\Bbb Z\). Entonces \(6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}\) se puede expandir como \(42\cdot7^n+3\cdot10\cdot3^n\), y como por hipótesis \(10\cdot3^n=4k_1-6\cdot7^n\), tenemos que \(42\cdot7^n+3(4k_1-6\cdot7^n)\). Expandiendo el producto, \(42\cdot7^n+12k_1-18\cdot7^n\), de donde \(24\cdot7^n+12k_1\), y sacando factor común se llega a que \(4(6\cdot7^n+3k_1)\). Como \(6\cdot7^n+3k_1\) es un número entero, concluimos que \(4k_2\), y esto prueba que \(6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}=4k_2\).



¿Es correcto?

Mi duda es qué diferencia (si hubiese) hay con un enunciado que pida justificar lo mismo pero que la expresión sea divisible por \( 4 \). Creo que no hay ninguna diferencia.

Gracias!
Felices fiestas

26 Diciembre, 2018, 10:18 am
Respuesta #1

feriva

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Hola!

Demostrar que \(\forall n\in\Bbb N:6\cdot7^n+10\cdot3^n\) es múltiplo de \(4\) por inducción justificando las propiedades utilizadas.



El enunciado es equivalente a probar por inducción que para todo \(n\in\Bbb N\) existe \(k\in\Bbb Z\) tal que se tiene que \(6\cdot7^n+10\cdot3^n=4k\). Se cumple para \(n=1\) pues \(6\cdot7^1+10\cdot3^1=72=4\cdot18\). Ahora sea cierta la fórmula para \(n\) y para algunos \(k_1,k_2\in\Bbb Z\). Entonces \(6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}\) se puede expandir como \(42\cdot7^n+3\cdot10\cdot3^n\), y como por hipótesis \(10\cdot3^n=4k_1-6\cdot7^n\), tenemos que \(42\cdot7^n+3(4k_1-6\cdot7^n)\). Expandiendo el producto, \(42\cdot7^n+12k_1-18\cdot7^n\), de donde \(24\cdot7^n+12k_1\), y sacando factor común se llega a que \(4(6\cdot7^n+3k_1)\). Como \(6\cdot7^n+3k_1\) es un número entero, concluimos que \(4k_2\), y esto prueba que \(6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}=4k_2\).



¿Es correcto?

Mi duda es qué diferencia (si hubiese) hay con un enunciado que pida justificar lo mismo pero que la expresión sea divisible por \( 4 \). Creo que no hay ninguna diferencia.

Gracias!
Felices fiestas

Buenos días, manooooh.

Por encima se ve bien, pero yo creo se puede decir más claro.

Hipótesis: \( 6\cdot7^{n}+10\cdot3^{n}=4k
  \)

Cierta para n=1

entonces

\( 6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}
  \)

\( 7\cdot6\cdot7^{n}+3\cdot10\cdot3^{n}
  \)

como \( 7=3+4
  \)

escribimos

\( {\color{blue}3\cdot6\cdot7^{n}}+4\cdot6\cdot7^{n}+{\color{blue}3\cdot10\cdot3^{n}}
  \)

Ahora, sacando factor común 3, la suma azul es múltiplo de cuatro por hipótesis. Como el otro sumando lo es, ya está.

Saludos.

26 Diciembre, 2018, 10:25 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola feriva, ¿cómo ha pasado la Navidad buen hombre?

Hipótesis: \( 6\cdot7^{n}+10\cdot3^{n}=4k
  \)

Cierta para n=1

entonces

\( 6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}
  \)

\( 7\cdot6\cdot7^{n}+3\cdot10\cdot3^{n}
  \)

como \( 7=3+4
  \)

escribimos

\( {\color{blue}3\cdot6\cdot7^{n}}+4\cdot6\cdot7^{n}+{\color{blue}3\cdot10\cdot3^{n}}
  \)

Ahora, sacando factor común 3, la suma azul es múltiplo de cuatro por hipótesis. Como el otro sumando lo es, ya está.

Mucho más sencillo. No sabía dónde meterme el \( 7\cdot6\cdot7^n+3\cdot10\cdot3^n \) jajaja. ¡Gracias!

En cuanto al "texto" de la prueba, me guié en base a lo que Carlos Ivorra escribió aquí:

La verdad es que el enunciado parece que deba entenderse como que espera que lo resuelvas así, mediante un rosario de propiedades con sus nombres respectivos, pero, en sentido estricto, "justificar" no es lo mismo que "ponerle un nombre". Que \( C\cap C^c=\emptyset \) se justifica observando que un \( x \) no puede estar a la vez en un conjunto y en su complementario, por definición de complementario, y eso es una justificación sin necesidad de ponerle un nombre.

Él tiene la particularidad de que quitando todo el resto del mensaje la cita quede perfectamente coherente, no necesita de los otros párrafos. :)

Saludos

26 Diciembre, 2018, 10:28 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Demostrar que \(\forall n\in\Bbb N:6\cdot7^n+10\cdot3^n\) es múltiplo de \(4\) por inducción justificando las propiedades utilizadas.



El enunciado es equivalente a probar por inducción que para todo \(n\in\Bbb N\) existe \(k\in\Bbb Z\) tal que se tiene que \(6\cdot7^n+10\cdot3^n=4k\). Se cumple para \(n=1\) pues \(6\cdot7^1+10\cdot3^1=72=4\cdot18\). Ahora sea cierta la fórmula para \(n\) y para algunos \(k_1,\color{red}k_2\color{black}\in\Bbb Z\).

No se porque haces intervenir en la hipótesis de inducción un segundo entero \( k_2\in \Bbb Z \). Simplemente es que para \( n \) existe un \( k_1 \) entero tal que:

\( 6\cdot7^n+10\cdot3^n=4k_1 \)


Citar
Entonces \(6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}\) se puede expandir como \(42\cdot7^n+3\cdot10\cdot3^n\), y como por hipótesis \(10\cdot3^n=4k_1-6\cdot7^n\), tenemos que \(42\cdot7^n+3(4k_1-6\cdot7^n)\). Expandiendo el producto, \(42\cdot7^n+12k_1-18\cdot7^n\), de donde \(24\cdot7^n+12k_1\), y sacando factor común se llega a que \(4(6\cdot7^n+3k_1)\). Como \(6\cdot7^n+3k_1\) es un número entero, concluimos que \(4k_2\), y esto prueba que \(6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}=4k_2\).

La redacción de la frase en rojo es extraña. ¿Concluimos que... el nombre de una variable?. Directamente pondría concluimos que:

\( 6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}=4k_2 \) con \( k_2=6\cdot 7^n+3k_1 \) entero

Salvando estos detalles en esencia está bien lo que haces.

Citar
Mi duda es qué diferencia (si hubiese) hay con un enunciado que pida justificar lo mismo pero que la expresión sea divisible por \( 4 \). Creo que no hay ninguna diferencia.

Ninguna.

Citar
Felices fiestas

Igualmente.

Saludos.

26 Diciembre, 2018, 10:34 am
Respuesta #4

manooooh

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Hola Luis, extrañaba leerte

No se porque haces intervenir en la hipótesis de inducción un segundo entero \( k_2\in \Bbb Z \). Simplemente es que para \( n \) existe un \( k_1 \) entero tal que:

\( 6\cdot7^n+10\cdot3^n=4k_1 \)


Citar
Entonces \(6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}\) se puede expandir como \(42\cdot7^n+3\cdot10\cdot3^n\), y como por hipótesis \(10\cdot3^n=4k_1-6\cdot7^n\), tenemos que \(42\cdot7^n+3(4k_1-6\cdot7^n)\). Expandiendo el producto, \(42\cdot7^n+12k_1-18\cdot7^n\), de donde \(24\cdot7^n+12k_1\), y sacando factor común se llega a que \(4(6\cdot7^n+3k_1)\). Como \(6\cdot7^n+3k_1\) es un número entero, concluimos que \(4k_2\), y esto prueba que \(6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}=4k_2\).

La redacción de la frase en rojo es extraña. ¿Concluimos que... el nombre de una variable?. Directamente pondría concluimos que:

\( 6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}=4k_2 \) con \( k_2=6\cdot 7^n+3k_1 \) entero

¡Allí utilizás \( k_2 \)!

Divido en dos \( k \) porque puede ocurrir que \( k_1\neq k_2 \). En teoría, lo que pretendía escribir es:

\( \forall n\in\Bbb N\;\exists k_1,k_2\in\Bbb Z:6\cdot7^n+10\cdot3^n=4k_1\implies6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}=4k_2 \).

Parto del miembro izquierdo de la tesis y llego, a través de la hipótesis al miembro derecho. No veo por qué tenemos que usar:

\( \forall n\in\Bbb N\;\exists k\in\Bbb Z:6\cdot7^n+10\cdot3^n=4k\implies6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}=4k \)

ya que \( k \) no es siempre igual a \( 6\cdot7^n+3k \), ¡parece una ecuación! Por eso distingo.

Y si te referís a usar como variables \( k \) y \( k_1 \) pues me parece un tanto confuso, ya que daría a entender que \( k_1 \) se "deriva"de \( k \).

Felices fiestas

26 Diciembre, 2018, 10:49 am
Respuesta #5

feriva

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Hola feriva, ¿cómo ha pasado la Navidad buen hombre?


Bien, gracias, espero que tú también :)


El múltiplo genérico de un número “a” lo puedes escribir así \( \overset{\bullet}{a}
  \) (el punto más pequeño en realidad, yo lo pongo gordo para que se vea). Con eso, si alguna vez tienes que hablar de muchos múltiplos de un número que no son particularmente el mismo, te evitas letras “kas”. En este caso usarías \( \overset{.}{4}
  \).

26 Diciembre, 2018, 11:06 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Divido en dos \( k \) porque puede ocurrir que \( k_1\neq k_2 \). En teoría, lo que pretendía escribir es:

\( \forall n\in\Bbb N\;\exists k_1,k_2\in\Bbb Z:6\cdot7^n+10\cdot3^n=4k_1\implies6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}=4k_2 \).

No está bien escrito. Lo que tienes que probar es que \( \forall n\in\Bbb N \):

\( \exists k_1\in\Bbb Z:6\cdot7^n+10\cdot3^n=4k_1\implies\exists k_2\in\Bbb Z\,6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}=4k_2 \).

Es decir \( k_1 \) es parte de la hipótesis y \( k_2 \) es parte de la tesis que quieres probar. Tal como lo redactas parece que \( k_1,k_2 \) fuesen partes de las hipótesis.

Saludos.

26 Diciembre, 2018, 11:11 am
Respuesta #7

manooooh

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Hola

Hola

Divido en dos \( k \) porque puede ocurrir que \( k_1\neq k_2 \). En teoría, lo que pretendía escribir es:

\( \forall n\in\Bbb N\;\exists k_1,k_2\in\Bbb Z:6\cdot7^n+10\cdot3^n=4k_1\implies6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}=4k_2 \).

No está bien escrito. Lo que tienes que probar es que \( \forall n\in\Bbb N \):

\( \exists k_1\in\Bbb Z:6\cdot7^n+10\cdot3^n=4k_1\implies\exists k_2\in\Bbb Z\,6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}=4k_2 \).

Es decir \( k_1 \) es parte de la hipótesis y \( k_2 \) es parte de la tesis que quieres probar. Tal como lo redactas parece que \( k_1,k_2 \) fuesen partes de las hipótesis.

Ok. Los escribí todo a la izquierda porque habíamos convenido en un hilo legendario que se prefiere que la declaración de variables sea a izquierda. Hoy quise hacerme el sabiondo haciendo así pero no resultó.

Entiendo tu punto, pero ahora debo conocer muy bien el contexto para poner ciertas variables a la izquierda, en medio o derecha de la proposición.



En cuanto a lo de \( k \) y \( k_1 \), ¿podriás ahondar más por favor?

Saludos

26 Diciembre, 2018, 11:18 am
Respuesta #8

feriva

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manooooh, he añadido una nota en azul en el último comentario, una curiosidad en cuanto a la notación, no sé si la has visto.

No olvides que también, para cualquier expresión o fórmula “x” puedes decir \( 4|x
  \) y con eso dices que es múltiplo de 4 ó lo del número que sea.

26 Diciembre, 2018, 11:25 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Ok. Los escribí todo a la izquierda porque habíamos convenido en un hilo legendario que se prefiere que la declaración de variables sea a izquierda. Hoy quise hacerme el sabiondo haciendo así pero no resultó.

Entiendo tu punto, pero ahora debo conocer muy bien el contexto para poner ciertas variables a la izquierda, en medio o derecha de la proposición.

No se a que hilo te refieres. De todas formas más allá de las reglas. ¿No te resulta natural entender que \( k_1 \) pertenece a la hipótesis y \( k_2 \) a la tesis?.

Citar
En cuanto a lo de \( k \) y \( k_1 \), ¿podriás ahondar más por favor?

No entiendo la duda; no sé a que te refieres.

Saludos.

26 Diciembre, 2018, 11:30 am
Respuesta #10

manooooh

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Hola

Hola feriva, ¿cómo ha pasado la Navidad buen hombre?


Bien, gracias, espero que tú también :)

Como siempre, ir a cenar a lo de mi prima y no hablar de matemáticas (ni ingeniería) :'( :laugh:.


El múltiplo genérico de un número “a” lo puedes escribir así \( \overset{\bullet}{a}
  \) (el punto más pequeño en realidad, yo lo pongo gordo para que se vea). Con eso, si alguna vez tienes que hablar de muchos múltiplos de un número que no son particularmente el mismo, te evitas letras “kas”. En este caso usarías \( \overset{.}{4}
  \).


Qué interesante y bonita notación. Espero que no haya casos donde se confunda con la derivada :laugh:.

Entonces indudablemente entendí mal en el momento que dije si Luis utilizaba un \( k \) genérico; hay que usar dos. Lo que preguntaba era si se refería a \( k \) y \( k_1 \) o a otra cosa.

Saludos

26 Diciembre, 2018, 11:34 am
Respuesta #11

manooooh

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Hola

No se porque haces intervenir en la hipótesis de inducción un segundo entero \( k_2\in \Bbb Z \). Simplemente es que para \( n \) existe un \( k_1 \) entero tal que:

\( 6\cdot7^n+10\cdot3^n=4k_1 \)

Esto me hacía dudar, ahora veo que te referías a la hipótesis y no a una prueba...

La duda por tanto fue solucionada; se utilizan dos variables (dejando de lado el error de ponerlas en la hipótesis, sino una ahí y otra en la tesis).

Saludos

26 Diciembre, 2018, 11:46 am
Respuesta #12

feriva

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Qué interesante y bonita notación. Espero que no haya casos donde se confunda con la derivada :laugh:.

¿Con las derivadas sucesivas, un punto, dos puntos, etc.? No creo que eso se use ya, eran lo que Newton llamaba fluxiones; y tengo entendido que murió hace mucho... :D

Venía en algún libro que yo tengo, pero ahora no sé cuál. De todas formas, he encontrado en internet un sitio donde la usan, aquí lo puedes ver

http://www.tinglado.net/?id=minimo-comun-multiplo-de-dos-o-mas-numeros-naturales

Ahora bien, como puede ser que no todo el mundo conozca la notación o no se acuerde, yo creo que en un examen es mejor que escribas “cuatro divide a...” con el símbolo éste |

Saludos|

23 Enero, 2019, 01:34 pm
Respuesta #13

filomates

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Hola. Aunque ya todo está más que explicado, me permito añadir una reflexión.
Supongo que se trata de demostrar esta propiedad por inducción completa, y por eso la haceis intervenir, pero se puede probar sin aplicarla.
 \(  6\cdot{7^n}+10\cdot{3^n}=2(3\cdot{7^n}+5\cdot{3^n})  \)
Pero tanto \( 3\cdot{7^n} \) como \( 5\cdot{3^n} \) son números impares y la suma de dos impares es un par.
Entonces \( 6\cdot{7^n}+10\cdot{3^n}=2\cdot{2k}=4k \)
Saludos a todos los compañeros/as del foro

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Yo amo los mundos sutiles, ingrávidos y gentiles, como pompas de jabón.
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