Hola
Luis, extrañaba leerte
No se porque haces intervenir en la hipótesis de inducción un segundo entero \( k_2\in \Bbb Z \). Simplemente es que para \( n \) existe un \( k_1 \) entero tal que:
\( 6\cdot7^n+10\cdot3^n=4k_1 \)
Entonces \(6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}\) se puede expandir como \(42\cdot7^n+3\cdot10\cdot3^n\), y como por hipótesis \(10\cdot3^n=4k_1-6\cdot7^n\), tenemos que \(42\cdot7^n+3(4k_1-6\cdot7^n)\). Expandiendo el producto, \(42\cdot7^n+12k_1-18\cdot7^n\), de donde \(24\cdot7^n+12k_1\), y sacando factor común se llega a que \(4(6\cdot7^n+3k_1)\). Como \(6\cdot7^n+3k_1\) es un número entero, concluimos que \(4k_2\), y esto prueba que \(6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}=4k_2\).
La redacción de la frase en rojo es extraña. ¿Concluimos que... el nombre de una variable?. Directamente pondría concluimos que:
\( 6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}=4k_2 \) con \( k_2=6\cdot 7^n+3k_1 \) entero
¡Allí utilizás \( k_2 \)!
Divido en dos \( k \) porque puede ocurrir que \( k_1\neq k_2 \). En teoría, lo que pretendía escribir es:
\( \forall n\in\Bbb N\;\exists k_1,k_2\in\Bbb Z:6\cdot7^n+10\cdot3^n=4k_1\implies6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}=4k_2 \).
Parto del miembro izquierdo de la tesis y llego, a través de la hipótesis al miembro derecho. No veo por qué tenemos que usar:
\( \forall n\in\Bbb N\;\exists k\in\Bbb Z:6\cdot7^n+10\cdot3^n=4k\implies6\cdot7^{n+1}+10\cdot3^{n+1}=4k \)
ya que \( k \) no es siempre igual a \( 6\cdot7^n+3k \), ¡parece una ecuación! Por eso distingo.
Y si te referís a usar como variables \( k \) y \( k_1 \) pues me parece un tanto confuso, ya que daría a entender que \( k_1 \) se "deriva"de \( k \).
Felices fiestas
