[mgranadosgg]

Hola. Quisiera que alguien me ayude. gracias de antemano.

Tengo problemas con la solución aproximada de Euler. La primera parte la tengo resuelta.

ENUNCIADO
--------------
Resolver el problema de valor inicial \( (x+\sqrt[ ]{x})y'=y \) \( y(1)=4 \). ¿Cuál sería la solución aproximada que da la regla de Euler en \( x=1.5 \)?

[manooooh]

Hola

Tengo problemas con la solución aproximada de Euler. La primera parte la tengo resuelta.

ENUNCIADO
--------------
Resolver el problema de valor inicial \( (x+\sqrt[ ]{x})y'=y \) \( y(1)=4 \). ¿Cuál sería la solución aproximada que da la regla de Euler en \( x=1.5 \)?

¿Qué número de pasos estás considerando? Si no hay ninguno no se puede resolver porque no sabemos cada cuánto nos tenemos que mover.

Podés mirar el ejemplo que propone Wikipedia. Cualquier duda volvé a preguntar.

Saludos

EDIT. ¡Se puede resolver sin hacer aproximaciones numéricas (aunque claro que si te lo piden así está mal esto)!

Tenemos \[\frac{y'}y=\frac1{x+\sqrt x},\quad x+\sqrt x\neq0\to x\neq0\\\ln|y|=\int\frac{dx}{x+\sqrt x},\] haciendo \( \sqrt x=u \) la integral sale fácil, es \( \ln(\sqrt x+1)^2 \) (verificar), luego \[y:\Bbb R\setminus\{0\}\to\Bbb R\mid y(x)=k\ln(\sqrt x+1)^2\] (verificar). Como \( y(1)=4\implies 2^2k=4\implies k=1 \), así que \( y_P(x)=(\sqrt x+1)^2\implies y(1.5)=\cdots \)

[mgranadosgg]

Hola. Gracias de antemano.

Voy a escribir aquí la solución del ejercicio hasta donde lo tengo hecho, por si sirve de algo.


Solución
---------

Estrategia de resolución:

1.- Encontrar la solución general de la ecuación
2.- Determinar la constante de integración "c"
3.- Sustituir "c" en la solución general

Entonces:

paso 1
--------

Se llama p.v.i. a encontrar una solución \( y=f(x) \) de la ecuación que pase por un punto dado

\( (x+\sqrt[ ]{x})y'=y \)           ecuación original

\( y'=\displaystyle\frac{y}{(x+\sqrt[ ]{x})} \)        reescribir ecuación

\( \displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{1}{(x+\sqrt[ ]{x})}*y \)        separar variables

\( ydy=\displaystyle\frac{1}{(x+\sqrt[ ]{x})}*dx \)           reordenar

\( \displaystyle\int_{}^{}ydy=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{(x+\sqrt[ ]{x})}*dx \)           preparar la integral

\( \displaystyle\frac{y^2}{2}=2*log(\sqrt[ ]{x}+1)+c \)            integrar: solución general


paso 2
-------

\( y^2=4*log(\sqrt[ ]{x}+1)+c \)           simplificar: multiplicar por 2

\( 4^2=4*log(\sqrt[ ]{1}+1)+c \)           aplicar condición: \( y(1)=4 \)

\( 8=4*log(2)+c \)

\( c=8-4*log(2) \) o también \( c=8-log(16) \)


paso 3
-------

Por último, sustituir la constante de integración \( c=8-log(16) \) en la solución general simplificada, y se tiene:

\( y^2=4*log(\sqrt[ ]{x}+1)+c \)            solución general simplificada

\( y^2=4*log(\sqrt[ ]{x}+1)+(8-log(16)) \)              sustitución: \( c=8-log(16) \) en la solución general

o también, \( y^2-4*log(\sqrt[ ]{x}+1)=8-log(16) \)               solución general


Hasta aquí he llegado. Las referencias bibliográficas que estoy consultando, para la siguiente parte, son:

Larson 6.1. página 408
Zill 9.2. página 405
apuntes, etc.

Muchas gracias.

[Abdulai]

.....
\( \displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{1}{(x+\sqrt[ ]{x})}*y \)        separar variables

\( ydy=\displaystyle\frac{1}{(x+\sqrt[ ]{x})}*dx \)           reordenar
......

Al reordenar queda:  \( \dfrac{dy}{y}=\displaystyle\frac{1}{(x+\sqrt[ ]{x})}\;dx \)           

[mgranadosgg]

hola. Muchas gracias.

Entonces, desde ese paso, sería:

\( \displaystyle\frac{dy}{y}=\displaystyle\frac{1}{(x+\sqrt[ ]{x})}dx \)        repordenar: y pasa al primer miembro dividiendo

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dy}{y}=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{(x+\sqrt[ ]{x})}dx \)                 preparar la integral

\( log(y)=2*log(\sqrt[ ]{x}+1)+c \)                  integrar: solución general


paso 2
-------

c=log(y)-2*log(\sqrt[ ]{x}+1)             Despejar c


paso 3
-------

\( log(y)=2*log(\sqrt[ ]{x}+1)+c \)       solución general

\( log(y)=2*log(\sqrt[ ]{x}+1)+log(y)-2*log(\sqrt[ ]{x}+1) \)           sustituir c en la solución general

[manooooh]

Hola

\( log(y)=2*log(\sqrt[ ]{x}+1)+c \)                  integrar: solución general

Al tener un PVI tenemos que ajustarnos a lo que él diga como condición inicial. Como dice \( y(1)=4 \), ¿dónde podemos ver a \( y \) "sola", "aislada" en \( \log(y)=2\cdot\log(\sqrt[ ]{x}+1)+c \)? Si no fuera el caso de un problema de valor inicial podríamos dejar la respuesta así, pero sino no podemos. Tenemos que seguir un poco más.

Sabiendo que \( 2\cdot\log(\sqrt[ ]{x}+1)=\log(\sqrt[ ]{x}+1)^2 \), elevando ambos miembros a la \( 10 \) tenemos

\( y=(\sqrt x+1)^2\cdot\underbrace{10^c}_{k}\quad\therefore\quad\mathrm{S.G.}: y:\Bbb R\setminus\{0\}\to\Bbb R\mid y(x)=k(\sqrt x+1)^2,\quad k\in\Bbb R. \)

Luego

(...) Como \( y(1)=4\implies 2^2k=4\implies k=1 \), así que \( y_P(x)=(\sqrt x+1)^2\implies y(1.5)=\cdots \)

Saludos

[mgranadosgg]

Hola. Gracias de antemano.

O sea, que la solución a la primera parte del ejercicio sería:

\( (x+\sqrt[ ]{x})y'=y \)              ecuación original

\( \displaystyle\frac{1}{y}y'=\displaystyle\frac{1}{x+\sqrt[ ]{x}} \)           reescribir en forma de ODE

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{y}dy=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{x+\sqrt[ ]{x}}dx \)          integrar cada lado de la ecuación

\( ln(y)+c2=2.ln(\sqrt[ ]{x}+1)+c1 \)

\( ln(y)=2.ln(\sqrt[ ]{x}+1)+c1 \)                          combinar constantes


Aplicar las condiciones iniciales:

\( ln(4)=2.ln(\sqrt[ ]{1}+1)+c1 \)                       \( y(1)=4 \)


Aislar c1:

\( ln(4)=2.ln(\sqrt[ ]{1}+1)+c1 \)

\( 2.ln(\sqrt[ ]{1}+1)+c1=ln(4) \)

\( 2.ln(2)+c1=ln(4) \)

\( 2.ln(2)+c1-2.ln(2)=ln(4)-2.ln(2) \)                 restar \( 2.ln(2) \) de ambos lados

\( 2.ln(2)-2.ln(2)=c1 \)

\( c1=0 \)


Sustituir \( c1=0 \) en \( y=2.ln(\sqrt[ ]{x}+1)+c1 \):

\( ln(y)=2.ln(\sqrt[ ]{x}+1)+c1 \)

\( ln(y)=2.ln(\sqrt[ ]{x}+1) \)                     \( c1=0 \)


Aislar y:

\( ln(y)=2.ln(\sqrt[ ]{x}+1) \)

\( ln(y)=ln((\sqrt[ ]{x}+1)^2) \)

\( y=(\sqrt[ ]{x}+1)^2 \)                         los logaritmos tienen la misma base


Comprobación: comprobar las soluciones aplicando las condiciones iniciales

\( y(1)=4 \)                 condición inicial dada en el enunciado

\( y=(\sqrt[ ]{x}+1)^2 \)

\( 4=(\sqrt[ ]{1}+1)^2 \)

\( 4=4 \)


Conclusión: la solución final para \( (x+\sqrt[ ]{x})y'=y, y(1)=4 \) es:

\( y=(\sqrt[ ]{x}+1)^2 \)

[mgranadosgg]

Hola. Gracias de antemano.

¿Cómo se resolvería la segunda parte del ejercicio?: ¿Cuál sería la solución aproximada que da la regla de Euler en x=1.5?

Como el enunciado no especifica nada, quizá se podría considerar que n=1 pasos de tamaño h=1.5. En tal caso, sería:

\( y(n+1)=yn+h(xn+yn) \)

\( y(0)=y0+h(x0+y0) \)

\( y(0)=4+1.5(1+4)=11.5 \)

¿podría ser?

[mgranadosgg]

Probé un programa en c y me devolvió esto:


Enter the initial condition for y: 4
Enter the initial condition for x: 1
Enter the value of x for which y is required (y(xn))): 1.5
Enter the step-width h: 1.5
x               y               y'              hy'             y+hy'
__________________________________________________________________________
1.000000        4.000000        -6.000000       -9.000000       -5.000000
2.500000        -5.000000
__________________________________________________________________________
The value of y is -5.000000

[mgranadosgg]

Creo que ya solucioné la segunda parte del ejercicio.


no necesitamos el número de pasos.

Como ya tenemos la solución general: \( y(x)=(\sqrt[ ]{x}+1)^2 \), y nos piden la solución en x=1.5, solo hay que sustituir x=1.5 en la solución general:

\( y(x)=(\sqrt[ ]{x}+1)^2 \)             solución general

\( y(1.5)=(sqrt(1.5)+1)^2 \)       sustituir x=1.5 en la solución general

\( y(1.5)=4.9494\approx{5} \)    solución aproximada para x=1.5



Muchas gracias.