Hola
O sea, que la solución a la primera parte del ejercicio sería:
\( (x+\sqrt[ ]{x})y'=y \) ecuación original
\( \displaystyle\frac{1}{y}y'=\displaystyle\frac{1}{x+\sqrt[ ]{x}} \) reescribir en forma de ODE
\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{y}dy=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{x+\sqrt[ ]{x}}dx \) integrar cada lado de la ecuación
\( ln(y)+c2=2.ln(\sqrt[ ]{x}+1)+c1 \)
\( ln(y)=2.ln(\sqrt[ ]{x}+1)+c1 \) combinar constantes
Aplicar las condiciones iniciales:
\( ln(4)=2.ln(\sqrt[ ]{1}+1)+c1 \) \( y(1)=4 \)
Aislar c1:
\( ln(4)=2.ln(\sqrt[ ]{1}+1)+c1 \)
\( 2.ln(\sqrt[ ]{1}+1)+c1=ln(4) \)
\( 2.ln(2)+c1=ln(4) \)
\( 2.ln(2)+c1-2.ln(2)=ln(4)-2.ln(2) \) restar \( 2.ln(2) \) de ambos lados
\( 2.ln(2)-2.ln(2)=c1 \)
\( c1=0 \)
Sustituir \( c1=0 \) en \( y=2.ln(\sqrt[ ]{x}+1)+c1 \):
\( ln(y)=2.ln(\sqrt[ ]{x}+1)+c1 \)
\( ln(y)=2.ln(\sqrt[ ]{x}+1) \) \( c1=0 \)
Aislar y:
\( ln(y)=2.ln(\sqrt[ ]{x}+1) \)
\( ln(y)=ln((\sqrt[ ]{x}+1)^2) \)
\( y=(\sqrt[ ]{x}+1)^2 \) los logaritmos tienen la misma base
Comprobación: comprobar las soluciones aplicando las condiciones iniciales
\( y(1)=4 \) condición inicial dada en el enunciado
\( y=(\sqrt[ ]{x}+1)^2 \)
\( 4=(\sqrt[ ]{1}+1)^2 \)
\( 4=4 \)
Conclusión: la solución final para \( (x+\sqrt[ ]{x})y'=y, y(1)=4 \) es:
\( y=(\sqrt[ ]{x}+1)^2 \)
Bien. Siendo un poco más molesto, toda función se caracteriza por su dominio, codominio y regla de correspondencia.
Creo que ya solucioné la segunda parte del ejercicio.
No necesitamos el número de pasos.
Sí se necesita. Como dije, si no conocemos el número de pasos \( n \) no podemos saber cada cuánto nos tenemos que mover (desplazamiento a izquierda o a derecha).
Como ya tenemos la solución general: \( y(x)=(\sqrt[ ]{x}+1)^2 \), y nos piden la solución en x=1.5, solo hay que sustituir x=1.5 en la solución general:
Un pequeño matiz: al ser un PVI la solución general es la función con su constante arbitraria, mientras que en la
solución particular se considera la constante como ya calculada.
\( y(x)=(\sqrt[ ]{x}+1)^2 \) solución general
\( y(1.5)=(sqrt(1.5)+1)^2 \) sustituir x=1.5 en la solución general
\( y(1.5)=4.9494\approx{5} \) solución aproximada para x=1.5
Bien, pero ahí no has aplicado del todo el método de Euler, sino que sustituiste directamente.
La Wikipedia lo dice así:
\( \begin{array}{|c|c|c|}
\hline\dfrac{dy}{dx}&x&y\\\hline &x_0&y_0\\\hline f(x_0,y_0)=\dfrac{y_0}{x_0+\sqrt{x_0}}&x_1=x_0+h&y_1=y_0+h\cdot f(x_0,y_0)\\\hline f(x_1,y_1)=\dfrac{y_1}{x_1+\sqrt{x_1}}&x_2=x_1+h&y_2=y_1+h\cdot f(x_1,y_1)\\\hline f(x_2,y_2)=\dfrac{y_2}{x_2+\sqrt{x_2}}&x_3=x_2+h&y_3=y_2+h\cdot f(x_2,y_2)\\\hline
\end{array} \)
Consideremos
\( (x+\sqrt{x})y'=y\implies y'=\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)=\dfrac y{x+\sqrt x} \)
con \( n=1 \) como proponés (nos desplazamos una unidad a derecha, podríamos haber elegido \( n=-1 \)), entonces
\( h=\dfrac{x_1-x_0}n=\dfrac{1.5-1}1=0.5 \).
Ahora hay que armar la tabla:
\( \begin{array}{|c|c|c|}
\hline\dfrac{dy}{dx}&x&y\\\hline &1&4\\\hline f(1,4)=\dfrac{4}{1+\sqrt{1}}=2&x_1=1+0.5=1.5&y_1=4+0.5\cdot f(1,4)=\boxed5\\\hline f(1.5,5)=\dfrac{5}{1.5+\sqrt{1.5}}=1.83&x_2=1.5+0.5=2&y_2=5+0.5\cdot f(1.5,5)=5.92\\\hline
\end{array} \)
Como el número de pasos es "chico", podemos aproximar mejor el resultado aumentando la cantidad de pasos, como por ejemplo \( n=5 \). Luego \( h=\dfrac{1.5-1}5=0.1 \). Ahora la tabla:
\( \begin{array}{|c|c|c|}
\hline\dfrac{dy}{dx}&x&y\\\hline &1&4\\\hline f(1,4)=2&x_1=1.1&y_1=4.2\\\hline f(1.1,4.2)=1.95&x_2=1.2&y_2=4.4\\\hline f(1.2,4.4)=1.97&x_3=1.3&y_3=4.6\\\hline f(1.3,4.6)=1.89&x_4=1.4&y_4=4.79\\\hline f(1.4,4.79)=1.85&x_5=1.5&y_5=\boxed{4.98\approx4.9494\dots}\\\hline
\end{array} \)
Es decir, a medida que aumentamos el número de pasos estamos más cerca del resultado.
Pero ya te digo, no conocemos \( n \).
Saludos
P.D. De todas maneras,
la ecuación diferencial tiene solución exacta. Es raro que te pidan utilizar el método de Euler; eso se usa para EDOs no resolubles, aunque por ahí podrían habértelo mandado como práctica
.
