[dario_oasis]

Disculpen me podrían decir si este ejercicío o lo hice bien o si me equivoque en algo, decirme en que?desde ya muchas gracias!

\( f:R^3\rightarrow{R}/F(x,y,z)=(x,x+y,z) \)
determinar el flujo de f atravez de la superficie cerrada \( s:z=1+x^2+y^2;z=5 \)




s1:      \( x=ucosv \)          \( 0\leq{u}\geq{}1 \)
       
         \( y=usenv \)           \( 0\leq{v}\leq{2\pi} \)
       
       \(  z=1+u^2 \)



\( tu=(cosv,senv,2u) \)
\( (-usenv,ucosv,0) \)

\( \overrightarrow{N}=tuxtv=(2u^2cosv,-2u^2senv,ucos^2v+usen^2v \)
\( =(2u^2cosv,-2u^2senv,u \)
\( F[r(u,v)]=(ucosv,ucosv+usenv,1+u^2) \)
\( F.N=(2u^3\cancel{cos^2v}-2u^3cosvsenv-2u^3\cancel{senv^2}+u+u^3) \)

\( =(-2u^3-2u^3cosvsenv+u+u^3) \)
\( =(-u^3-2u^3cosvsenv+u) \)

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{2\pi0}(-u^3-2u^3cosvsenv+u)dvdu \)

\( \displaystyle\int_{0}^{1}v.(-u^3+u)-2u^3\displaystyle\frac{sen^2v}{2} |_0^{2\pi}du \)
\( =2\pi(\displaystyle\frac{-u^4}{4}+\displaystyle\frac{u^2}{2} |_0^1=2\pi(-1/4+1/2 \)=
\( 1/4.2\pi=1/2\pi \)

\( \displaystyle\int_{}^{}\int_{}^{}FN ds=1/2\pi \)
S1


S2=
                 \( x=ucosv \)         \( 0\leq{u}\geq{}1 \)
                 \( y=usenv \)           \( 0\leq{v}\leq{2\pi} \)
                  \( z=5 \)
      \( r(u,v)=(ucosv,usenv,5) \)

       \( tv=(-usenv,ucosv,0) \)
       \( tu=(cosv,senv,0) \)
        \( \overrightarrow{N}=tuxyv=(0,0,-usen^2v+ucos^2v) \)

       \( \overrightarrow{N}=(0,0,u) \)

       \( F[r(u,v](ucosv,ucosv+usenv,5) \)
\( F.N=(5U) \)
\( \Rightarrow{\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}}=5 \)
    S2

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}5u dvdu= \)

\( \displaystyle\int_{0}^{1}5u |_0^{2\pi}du=5\displaystyle\int_{0}^{1}u{2\pi}du= \)

\( 5.2\pi[\displaystyle\frac{u^2}{2}] |_0^1=10\pi[1/2]=5\pi \)

\( \displaystyle\int_{}^{}+\displaystyle\int_{}^{}=1/2\pi+5\pi=11/2\pi \)
 S1    S2

[dario_oasis]

Me ayudan?M dicen si lo resolví bien?

[delmar]

Hola

Has acertado en varias cosas; pero no esta bien resuelto.

La superficie S es la reunión de dos superficies \( S=S_1\cup{S_2} \), donde \( S_1 \) es  la parte del paraboloide que esta debajo de z=5 y \( S_2 \) es un círculo de radio 2 que esta en el plano z=5, es la tapa del paraboloide (intersección entre el paraboloide y el plano), esto se puede verificar. Esto lo has captado. En realidad el u,v,z son las coordenadas cilíndricas de los puntos de \( S_1 \), se corresponden con \( r, \theta, z \), hasta ahí esta correcto; el error esta en el dominio de estos parámetros, u varía desde cero hasta u=2, puntos de la tapa del paraboloide (intersección paraboloide y plano z=5). En consecuencia \( 0\leq{u}\leq{2} \). Este error trae sus consecuencias en el desarrollo.

\( \vec{r_u} \) es correcto. \( \vec{r_v} \) es correcto. \( \vec{N} \) es incorrecto, hay un error en un signo, \( \vec{N}=(-2u^2 \cos v \  \vec{i}-2u^2 \sen v \  \vec{j}+u \ \vec{k}),\qquad F(r(u,v)) \) es correcto, a partir de ahí, haz tus correcciones.


Saludos

[dario_oasis]

Disculpa no me poDri as pasar el gráfico como quedaría si no es mucho pedir? Y u es de 0 a 2 porque es De radio 2 no es cierto?

[delmar]

Ahí va lo adjunto :




Es conveniente que identifiques las intersecciones del paraboloide con el plano z=5 y también con los planos coordenados, y=0, x=0

Saludos

[dario_oasis]

Disculpa muchas gracias por responder, me podrías decir si ahí me dio?

\( f:R^3\rightarrow{R}/F(x,y,z)=(x,x+y,z) \)
determinar el flujo de f atravez de la superficie cerrada \( s:z=1+x^2+y^2;z=5 \)




s1:      \( x=ucosv \)          \( 0\leq{u}\geq{}1 \)
       
         \( y=usenv \)           \( 0\leq{v}\leq{2\pi} \)
       
       \(  z=1+u^2 \)



\( tu=(cosv,senv,2u) \)
\( (-usenv,ucosv,0) \)

\( \overrightarrow{N}=tuxtv=(-2u^2cosv,-2u^2senv,ucos^2v+usen^2v \)
\( =(-2u^2cosv,-2u^2senv,u \)
\( F[r(u,v)]=(ucosv,ucosv+usenv,1+u^2) \)
\( F.N=(-2u^3\cancel{cos^2v}-2u^3cosvsenv-2u^3\cancel{senv^2}+u+u^3) \)

\( =(-2u^3-2u^3cosvsenv+u+u^3) \)
\( =(-u^3-2u^3cosvsenv+u) \)

\( \displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi0}(-u^3-2u^3cosvsenv+u)dvdu \)

\( \displaystyle\int_{0}^{2}v.(-u^3+u)-2u^3\displaystyle\frac{sen^2v}{2} |_0^{2\pi}du \)
\( =2\pi(\displaystyle\frac{-u^4}{4}+\displaystyle\frac{u^2}{2} |_0^2=2\pi(-4+2)/tex]=
[tex]-2.2\pi=-4\pi \)

\( \displaystyle\int_{}^{}\int_{}^{}FN ds=-4\pi \)
S1


S2=
                 \( x=ucosv \)         \( 0\leq{u}\geq{}1 \)
                 \( y=usenv \)           \( 0\leq{v}\leq{2\pi} \)
                  \( z=5 \)
      \( r(u,v)=(ucosv,usenv,5) \)

       \( tv=(-usenv,ucosv,0) \)
       \( tu=(cosv,senv,0) \)
        \( \overrightarrow{N}=tuxyv=(0,0,-usen^2v+ucos^2v) \)

       \( \overrightarrow{N}=(0,0,u) \) acá tengo una duda no se si va u o -u, poDri as indicarmelo?

       \( F[r(u,v](ucosv,ucosv+usenv,5) \)
\( F.N=(5U) \)
\( \Rightarrow{\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}}=5 \)
    S2

\( \displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}5u dvdu= \)

\( \displaystyle\int_{0}^{2}5u |_0^{2\pi}du=5\displaystyle\int_{0}^{2}u{2\pi}du= \)

\( 5.2\pi[\displaystyle\frac{u^2}{2}] |_0^2=10\pi[1/2]=5\pi \)

\( \displaystyle\int_{}^{}+\displaystyle\int_{}^{}=-4\pi+5\pi=\pi \)
 S1    S2

[delmar]

Todavía esta incorrecto. El integrando para el flujo por \( S_1 \) es correcto; pero en los límites de integración hay un error, que ya lo hecho notar u varía desde cero hasta 2 ¿Cuáles son los parámetros (u,v) de los puntos del paraboloide que están en el plano z=5?. En la parametrización de \( S_2 \) también u varía desde cero hasta 2.

Saludos

[dario_oasis]

Me decís si ahí está bien corregido?desde ya te ag radesco

Disculpa muchas gracias por responder, me podrías decir si ahí me dio?

\( f:R^3\rightarrow{R}/F(x,y,z)=(x,x+y,z) \)
determinar el flujo de f atravez de la superficie cerrada \( s:z=1+x^2+y^2;z=5 \)




s1:      \( x=ucosv \)          \( 0\leq{u}\geq{}1 \)
       
         \( y=usenv \)           \( 0\leq{v}\leq{2\pi} \)
       
       \(  z=1+u^2 \)



\( tu=(cosv,senv,2u) \)
\( (-usenv,ucosv,0) \)

\( \overrightarrow{N}=tuxtv=(-2u^2cosv,-2u^2senv,ucos^2v+usen^2v \)
\( =(-2u^2cosv,-2u^2senv,u \)
\( F[r(u,v)]=(ucosv,ucosv+usenv,1+u^2) \)
\( F.N=(-2u^3\cancel{cos^2v}-2u^3cosvsenv-2u^3\cancel{senv^2}+u+u^3) \)

\( =(-2u^3-2u^3cosvsenv+u+u^3) \)
\( =(-u^3-2u^3cosvsenv+u) \)

\( \displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi0}(-u^3-2u^3cosvsenv+u)dvdu \)

\( \displaystyle\int_{0}^{2}v.(-u^3+u)-2u^3\displaystyle\frac{sen^2v}{2} |_0^{2\pi}du \)
\( =2\pi(\displaystyle\frac{-u^4}{4}+\displaystyle\frac{u^2}{2} |_0^2=2\pi(-4+2)/tex]=
[tex]-2.2\pi=-4\pi \)

\( \displaystyle\int_{}^{}\int_{}^{}FN ds=-4\pi \)
S1


S2=
                 \( x=ucosv \)         \( 0\leq{u}\geq{}1 \)
                 \( y=usenv \)           \( 0\leq{v}\leq{2\pi} \)
                  \( z=5 \)
      \( r(u,v)=(ucosv,usenv,5) \)

       \( tv=(-usenv,ucosv,0) \)
       \( tu=(cosv,senv,0) \)
        \( \overrightarrow{N}=tuxyv=(0,0,-usen^2v+ucos^2v) \)

       \( \overrightarrow{N}=(0,0,u) \) acá tengo una duda no se si va u o -u, poDri as indicarmelo?

       \( F[r(u,v](ucosv,ucosv+usenv,5) \)
\( F.N=(5U) \)
\( \Rightarrow{\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}}=5 \)
    S2

\( \displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}5u dvdu= \)

\( \displaystyle\int_{0}^{2}5u |_0^{2\pi}du=5\displaystyle\int_{0}^{2}u{2\pi}du= \)

\( 5.2\pi[\displaystyle\frac{u^2}{2}] |_0^2=10\pi[2]=20\pi \)

\( \displaystyle\int_{}^{}+\displaystyle\int_{}^{}=-4\pi+20\pi=16\pi \)
 S1    S2

[Luis Fuentes]

Hola

\( f:R^3\rightarrow{R}/F(x,y,z)=(x,x+y,z) \)
determinar el flujo de f atravez de la superficie cerrada \( s:z=1+x^2+y^2;z=5 \)




s1:      \( x=ucosv \)          \( 0\leq{u}\geq{}1 \)
       
         \( y=usenv \)           \( 0\leq{v}\leq{2\pi} \)
       
       \(  z=1+u^2 \)



\( tu=(cosv,senv,2u) \)
\( (-usenv,ucosv,0) \)

\( \overrightarrow{N}=tuxtv=(-2u^2cosv,-2u^2senv,ucos^2v+usen^2v \)
\( =(-2u^2cosv,-2u^2senv,u \)

Debes de orientar el vector normal hacia fuera tomando: \( (2u^2cosv,2u^2senv,-u) \).

\( F[r(u,v)]=(ucosv,ucosv+usenv,1+u^2) \)
\( F.N=(-2u^3\cancel{cos^2v}-2u^3cosvsenv-2u^3\cancel{senv^2}+u+u^3) \)

\( =(-2u^3-2u^3cosvsenv+u+u^3) \)
\( =(-u^3-2u^3cosvsenv+u) \)

\( \displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi0}(-u^3-2u^3cosvsenv+u)dvdu \)

\( \displaystyle\int_{0}^{2}v.(-u^3+u)-2u^3\displaystyle\frac{sen^2v}{2} |_0^{2\pi}du \)
\( =2\pi(\displaystyle\frac{-u^4}{4}+\displaystyle\frac{u^2}{2} |_0^2=2\pi(-4+2)/tex]=
[tex]-2.2\pi=-4\pi \)

\( \displaystyle\int_{}^{}\int_{}^{}FN ds=-4\pi \)
S1

Con el cambio de orientación del vector normal te queda en realidad \( 4\pi \).

S2=
                 \( x=ucosv \)         \( 0\leq{u}\geq{}1 \)
                 \( y=usenv \)           \( 0\leq{v}\leq{2\pi} \)
                  \( z=5 \)
      \( r(u,v)=(ucosv,usenv,5) \)

       \( tv=(-usenv,ucosv,0) \)
       \( tu=(cosv,senv,0) \)
        \( \overrightarrow{N}=tuxyv=(0,0,-usen^2v+ucos^2v) \)

       \( \overrightarrow{N}=(0,0,u) \) acá tengo una duda no se si va u o -u, poDri as indicarmelo?

Orientado hacia fuera, es decir hacia arriba: positivo.

       \( F[r(u,v](ucosv,ucosv+usenv,5) \)
\( F.N=(5U) \)
\( \Rightarrow{\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}}=5 \)
    S2

\( \displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}5u dvdu= \)

\( \displaystyle\int_{0}^{2}5u |_0^{2\pi}du=5\displaystyle\int_{0}^{2}u{2\pi}du= \)

\( 5.2\pi[\displaystyle\frac{u^2}{2}] |_0^2=10\pi[2]=20\pi \)

\( \displaystyle\int_{}^{}+\displaystyle\int_{}^{}=-4\pi+20\pi=16\pi \)
 S1    S2

Con la corrección indicada es \( \color{red}+4\pi\color{black}+20\pi=24\pi \).

Saludos.

[dario_oasis]

Disculpa siempre que es normal va orientada hacia afuerA?ósea se le cambia el signo?