Hola
Hay que entender ese integral. Lo que te dan, es el integral de línea (a lo largo de una línea C, en este caso la elipse) de un campo vectorial \( \vec{F}(x,y,z) \). En otras palabras lo que te dan es : \( \displaystyle\int_{C}^{} \ \vec{F}(x,y,z) \ \cdot{ \ d\vec{r}} \)
De una manera muy simplificada; pero práctica, si \( \vec{F}(x,y,z)=F_x\vec{i}+F_y \vec{j}+F_z \vec{k} \) y si \( \vec{r}(t)=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\Rightarrow{d\vec{r}=dx\vec{i}+dy\vec{j}+dz\vec{k}} \) en consecuencia se tiene, que el producto interno \( \vec{F}(x,y,z) \ \cdot{ \ d\vec{r}}=F_x \ dx+F_y \ dy+F_z \ dz \), por lo tanto :
\( \displaystyle\int_{C}^{} \ \vec{F}(x,y,z) \ \cdot{ \ d\vec{r}}=\displaystyle\int_{C}^{} \ F_x \ dx+F_y \ dy+F_z \ dz \), donde \( F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z) \)
En este caso :
\( F_x(x,y,z)=e^{(x+2y)} \ cos(3z-1)+2y^2 \)
\( F_y(x,y,z)=2e^{(x+2y)} \ cos(3z-1)+4xy \)
etc
Hay tipos de campos vectoriales, esencialmente conservativos o no conservativos.
En los conservativos existe una campo escalar \( \phi(x,y,z) \) tal que \( \nabla \phi=\vec{F} \), esto equivale :
a) A que el integral de línea entre dos puntos no depende de la trayectoria, solamente depende del punto inicial y el final.
b) A que el integral para toda línea cerrada es cero
c) \( \frac{{\partial F_x}}{{\partial y}}=\frac{{\partial F_y}}{{\partial x}}, \ \frac{{\partial F_x}}{{\partial z}}=\frac{{\partial F_z}}{{\partial x}}, \ \frac{{\partial F_y}}{{\partial z}}=\frac{{\partial F_z}}{{\partial y}} \)
He puesto en negrita la condición b), por que si esa condición se cumple, el integral de línea cerrado a lo largo de la elipse sería un caso particular y sería cero. Una manera de averiguar si se cumple b) es averiguando si se cumple c), entiendo que esas derivadas son desagradables; pero al desarrollarlas son sencillas, así que eso es lo que tienes que hacer, por otra parte esas expresiones equivalen a que el rotacional sea cero.
Saludos
