[Zeta]

Hola,

En el plano afín-euclídeo \( \mathbb{E}_2 \) con el plano vectorial euclídeo asociado \( V \), fijamos un triángulo rectángulo \( PQR \) con dos catetos de igual longitud, siendo \( P \) el vértice del ángulo recto. Probar que para cada recta vectorial de \( V \) existe una cónica de tipo parabólica en \( \mathbb{E}_2 \) que pasa por los vértices del triángulo y tiene eje con dirección \( U \).

A ver, en caso de que exista la parábola ya sabríamos que el subespacio asociado al valor \( \lambda = 0 \) es el de la recta \( U \), y el asociado al otro valor propio es el ortogonal. Ahora bien, ¿cómo sé que pasa por los tres vértices para cualquier \( U \)?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

En el plano afín-euclídeo \( \mathbb{E}_2 \) con el plano vectorial euclídeo asociado \( V \), fijamos un triángulo rectángulo \( PQR \) con dos catetos de igual longitud, siendo \( P \) el vértice del ángulo recto. Probar que para cada recta vectorial de \( V \) existe una cónica de tipo parabólica en \( \mathbb{E}_2 \) que pasa por los vértices del triángulo y tiene eje con dirección \( U \).

A ver, en caso de que exista la parábola ya sabríamos que el subespacio asociado al valor \( \lambda = 0 \) es el de la recta \( U \), y el asociado al otro valor propio es el ortogonal. Ahora bien, ¿cómo sé que pasa por los tres vértices para cualquier \( U \)?

Sin pérdida de generalidad, salvo giro, puedes suponer que la dirección del eje es la de \( OX \). Por tanto la ecuación de la parábola es de la forma:

\( x^2+2ax+2by+c=0 \)

Imponiendo que pase por los tres puntos tienes tres ecuaciones lineales para hallar \( a,b,c \).

Saludos.

[Zeta]

Hola,

Sin pérdida de generalidad, salvo giro, puedes suponer que la dirección del eje es la de \( OX \). Por tanto la ecuación de la parábola es de la forma:

\( x^2+2ax+2by+c=0 \)

Imponiendo que pase por los tres puntos tienes tres ecuaciones lineales para hallar \( a,b,c \).

No entiendo por qué podemos suponer que la dirección de la parábola es el eje \( OX \), ¿no depende de la recta vectorial \( U\in V \)?. Me explico; Sé que mediante un giro puedes conseguir que la ecuación de cualquier cónica quede como \( \lambda_1x^2 + \lambda_2 y^2 + 2ax + 2by + c = 0 \) y al ser una parábola (\( \lambda_1 = 0 \), por ejemplo) obtenemos la expresión \(  \lambda_2 y^2 + 2ax + 2by + c = 0 \). Ahora bien, el ejercicio nos dice que la dirección de la parábola ha de ser la recta vectorial \( U \).

EDIT: Supongo que los puntos del triángulo podemos tomarlos, por ejemplo, \( P(0,0), Q(d,0), R(0,d) \). ¿Cierto?.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Sin pérdida de generalidad, salvo giro, puedes suponer que la dirección del eje es la de \( OX \). Por tanto la ecuación de la parábola es de la forma:

\( x^2+2ax+2by+c=0 \)

Imponiendo que pase por los tres puntos tienes tres ecuaciones lineales para hallar \( a,b,c \).

No entiendo por qué podemos suponer que la dirección de la parábola es el eje \( OX \), ¿no depende de la recta vectorial \( U\in V \)?. Me explico; Sé que mediante un giro puedes conseguir que la ecuación de cualquier cónica quede como \( \lambda_1x^2 + \lambda_2 y^2 + 2ax + 2by + c = 0 \) y al ser una parábola (\( \lambda_1 = 0 \), por ejemplo) obtenemos la expresión \(  \lambda_2 y^2 + 2ax + 2by + c = 0 \). Ahora bien, el ejercicio nos dice que la dirección de la parábola ha de ser la recta vectorial \( U \).

Pero mediante un giro puedes llevar la recta vectorial \( U \), sea cual sea, al eje \( OX \).

EDIT: Supongo que los puntos del triángulo podemos tomarlos, por ejemplo, \( P(0,0), Q(d,0), R(0,d) \). ¿Cierto?.

Depende; lo que no puedes hacer el mismo tiempo es seguir mi idea y la tuya.

Mediante un giro y traslación puedes suponer sin pérdida de generalidad que los puntos son \( (0,0) \), \( (d,0) \) y \( (0,d) \). Pero entonces la recta \( U \) tendrá una dirección arbitraria; nada garantiza que ese giro que usamos para ajustar los puntos, lleve la recta \( U \) sobre el eje \( OX \).

O bien mediante un giro puedes suponer que la recta \( U \) es paralela al eje \( OX \). E incluso mediante una traslación puedes suponer que \( P=(0,0) \) pero entonces ya no podemos exigir nada a los puntos \( Q \) y \( R \).

Fíjate que en realidad el resultado es cierto incluso aunque los puntos no formen un triángulo rectángulo isósceles; lo único que se necesita es que no estén alineados.

Saludos.

[Zeta]

Hola,

Pero mediante un giro puedes llevar la recta vectorial \( U \), sea cual sea, al eje \( OX \).

A ver, viendo que en realidad el problema de la recta \( U \) se puede solventar mediante un giro. Y si consideramos la bisectriz del ángulo recto del triángulo \( PQR \) y en lugar de llevar \( U \) al eje \( OX \); ¿la llevamos a la bisectriz? Quizás mi intuición se equivoque pero; tomando el foco el punto medio de \( QR \), ¿no se cumpliría que existe una parábola con dicho foco que pasa por los tres vértices del triángulo?.

Fíjate que en realidad el resultado es cierto incluso aunque los puntos no formen un triángulo rectángulo isósceles; lo único que se necesita es que no estén alineados.

El resultado sería cierto porque en realidad puedes, mediante un giro, poner la dirección de la parábola \( U \) y eligiendo un foco adecuado se tendría el resultado. ¿O es por otro motivo?.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

A ver, viendo que en realidad el problema de la recta \( U \) se puede solventar mediante un giro. Y si consideramos la bisectriz del ángulo recto del triángulo \( PQR \) y en lugar de llevar \( U \) al eje \( OX \); ¿la llevamos a la bisectriz? Quizás mi intuición se equivoque pero; tomando el foco el punto medio de \( QR \), ¿no se cumpliría que existe una parábola con dicho foco que pasa por los tres vértices del triángulo?.

OJO; no puedes suponer que la recta \( U \) es la bisectriz del triángulo, porque el giro que hagas para mover la recta \( U \) mueve toda la figura, también el triángulo \( PQR \).

El resultado sería cierto porque en realidad puedes, mediante un giro, poner la dirección de la parábola \( U \) y eligiendo un foco adecuado se tendría el resultado. ¿O es por otro motivo?.

En la resolución que te he propuesto no influye para nada la posición de los puntos: sólo que no estén alineados.

Es una solución algebraica; no tengo una intuición geométrica clara sobre la construcción.

Te pongo en Spoiler la solución completa por si te aclara más.

Spoiler

Sin pérdida de generalidad tras giro y traslación podemos suponer que el punto \( P \) es el origen y la recta \( U \) paralela al eje \( OX \). Por tanto la ecuación de la parábola es de la forma:

\( x^2+2ax+2by=0 \)

Ahora imponemos que pase por los puntos \( Q=(x_1,y_1) \) y \( R=(x_2,y_2) \) obteniendo el sistema de ecuaciones:

\( ax_1+by_1=-x_1^2/2 \)
\( ax_2+by_2=-x_2^2/2 \)

El sistema tiene solución si el determinante de la matriz asociada es no nulo:

\( \left|\begin{matrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\\\end{matrix}\right|\neq 0 \)

y eso equivale a que los vectores \( (x_1,y_1) \) e \( (x_2,y_2) \) no sean proporcionales, es decir, que los puntos \textrm{Q, R} no sean colineales con el origen \( P \).

[cerrar]

Saludos.

P.D. Aunque algo intentaste aclararme por mensaje privado, sigo teniendo dudas de que cosas sabes sobre cónicas y que tipo de enfoque te piden para resolver estos problemas.

[Zeta]

Hola

OJO; no puedes suponer que la recta \( U \) es la bisectriz del triángulo, porque el giro que hagas para mover la recta \( U \) mueve toda la figura, también el triángulo \( PQR \).

Cierto.

En la resolución que te he propuesto no influye para nada la posición de los puntos: sólo que no estén alineados.

Es una solución algebraica; no tengo una intuición geométrica clara sobre la construcción.

Te pongo en Spoiler la solución completa por si te aclara más.

Sin pérdida de generalidad tras giro y traslación podemos suponer que el punto \( P \) es el origen y la recta \( U \) paralela al eje \( OX \). Por tanto la ecuación de la parábola es de la forma:

\( x^2+2ax+2by=0 \)

Ahora imponemos que pase por los puntos \( Q=(x_1,y_1) \) y \( R=(x_2,y_2) \) obteniendo el sistema de ecuaciones:

\( ax_1+by_1=-x_1^2/2 \)
\( ax_2+by_2=-x_2^2/2 \)

El sistema tiene solución si el determinante de la matriz asociada es no nulo:

\( \left|\begin{matrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\\\end{matrix}\right|\neq 0 \)

y eso equivale a que los vectores \( (x_1,y_1) \) e \( (x_2,y_2) \) no sean proporcionales, es decir, que los puntos \textrm{Q, R} no sean colineales con el origen \( P \).

Teniendo en mente las aclaraciones, voy a intentar seguir la idea de tomar \( P(0,0) \) y la dirección paralela al eje \( OX \).

P.D. Aunque algo intentaste aclararme por mensaje privado, sigo teniendo dudas de que cosas sabes sobre cónicas y que tipo de enfoque te piden para resolver estos problemas.

En el tema referente a este ejercicio (en realidad es un apartado) hemos visto que mediante un giro (diagonalizar la matriz principal) y una traslación podemos llegar a las ecuaciones reducidas en los casos no-degenerados. En vista de esos resultados se estudian los invariantes métricos por cambios de referencial con la posterior clasificación de las cónicas, tanto degeneradas como no-degeneradas, en virtud de sus invariantes métricos. Y por último cómo determinar los elementos geométricos de una cónica centrada (elipse, hipérbola) y no centrada (parábola); básicamente trata sobre cómo aplicar resultados de teoría tales como que la dirección del eje de una parábola es el subespacio generado por el vector propio asociado al valor propio cero.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

En el tema referente a este ejercicio (en realidad es un apartado) hemos visto que mediante un giro (diagonalizar la matriz principal) y una traslación podemos llegar a las ecuaciones reducidas en los casos no-degenerados. En vista de esos resultados se estudian los invariantes métricos por cambios de referencial con la posterior clasificación de las cónicas, tanto degeneradas como no-degeneradas, en virtud de sus invariantes métricos. Y por último cómo determinar los elementos geométricos de una cónica centrada (elipse, hipérbola) y no centrada (parábola); básicamente trata sobre cómo aplicar resultados de teoría tales como que la dirección del eje de una parábola es el subespacio generado por el vector propio asociado al valor propio cero.

A dónde voy es: al final he escrito una posible solución completa. ¿La entiendes? ¿Hay algo que use que crees que no has dado?.

Saludos.

[martiniano]

Hola.

Estoy casi completamente de acuerdo con la idea de Luis Fuentes. Me parece que se obtiene también un resultado degenerado en caso de que el eje sea paralelo a alguno de los lados del triángulo.

Por si sirve de algo un enfoque distinto:

En realidad la parábola se puede determinar como un caso particular del problema que determina una cónica a partir de cuatro puntos y una recta tangente. Los cuatro puntos que tenemos son los tres vértices del triángulo y el punto impropio del eje.
La recta tangente es la recta impropia de \( \mathbb{E_2} \).

Si los tres puntos están alineados el resultado es la recta que los contiene. Y si uno de los lados del triángulo es paralelo al eje, se obtienen dos rectas paralelas.

Espero que esté todo bien y que sea útil. Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Por si sirve de algo un enfoque distinto:

En realidad la parábola se puede determinar como un caso particular del problema que determina una cónica a partir de cuatro puntos y una recta tangente. Los cuatro puntos que tenemos son los tres vértices del triángulo y el punto impropio del eje.
La recta tangente es la recta impropia de \( \mathbb{E_2} \).

Si los tres puntos están alineados el resultado es la recta que los contiene. Y si uno de los lados del triángulo es paralelo al eje, se obtienen dos rectas paralelas.

De acuerdo en todo.

Saludos.