[Zeta]

Hola a todos,

\( C \) es una elipse si, y sólo si existe una afinidad \( f:E_2 \rightarrow \mathbb{E}_2 \) que lleva \( C \) a la circunferencia de ecuación \( x^2 + y^2 = 1 \).

Mi intento a grandes rasgos ha sido tomar un sistema de referencia donde la elipse tenga ecuación reducida \( (\frac{x}{a})^2 + (\frac{y}{a})^2 = 1 \) e intentar ver que \( f \) hace que el semieje principal y secundario tengan la misma longitud, o dicho de otra forma; que la distancia del vértice principal al centro coincide con la distancia del vértice secundario al centro pero no he conseguido nada.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

\( C \) es una elipse si, y sólo si existe una afinidad \( f:E_2 \rightarrow \mathbb{E}_2 \) que lleva \( C \) a la circunferencia de ecuación \( x^2 + y^2 = 1 \).

Mi intento a grandes rasgos ha sido tomar un sistema de referencia donde la elipse tenga ecuación reducida \( (\frac{x}{a})^2 + (\frac{y}{a})^2 = 1 \) e intentar ver que \( f \) hace que el semieje principal y secundario tengan la misma longitud, o dicho de otra forma; que la distancia del vértice principal al centro coincide con la distancia del vértice secundario al centro pero no he conseguido nada.

La idea es bastante sencilla aunque a la hora de detallarla hay que saber que resultados previos puedes usar; sobre todo que definición de elipse te han dado, es decir, que criterio tienes que aplicar a la ecuación de una cónica para determinar que es una elipse.\( ^{(1)} \).

Sabes que una elipse en una referencia adecuada tiene por ecuación:

\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)

(el cambio de referencia puede interpretarse como una primera transformación afín).

Para transformarla en la cifcunferencia basta componer la primera transformación con otra:

\( f_2(x,y)=(x/a,y/b) \)

Para el recíproco debes de detallar esto \( ^{(1)} \).

Saludos.

[Zeta]

Hola,

La idea es bastante sencilla aunque a la hora de detallarla hay que saber que resultados previos puedes usar; sobre todo que definición de elipse te han dado, es decir, que criterio tienes que aplicar a la ecuación de una cónica para determinar que es una elipse.\( ^{(1)} \).

Sabes que una elipse en una referencia adecuada tiene por ecuación:

\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)

(el cambio de referencia puede interpretarse como una primera transformación afín).

Para transformarla en la cifcunferencia basta componer la primera transformación con otra:

\( f_2(x,y)=(x/a,y/b) \)

Para el recíproco debes de detallar esto \( ^{(1)} \).

A ver, en el primer tema (ejercicio referente a éste) se introducen las cónicas como el lugar geométrico de la intersección de un doble cono recto y un plano, cada cónica dependerá de este plano. Ahora bien, en este ejercicio se nos hace una pequeña introducción que quizás debería haber mencionado; cuando se dice que una cónica es transformada mediante un cambio de referencia a una ecuación del estilo \( q(x,y)=0 \) se entenderá que puede ser transformada en la ecuación \( \lambda q(x,y)=0 \) para algún \( \lambda \in \mathbb{R} - \{0\} \). Y quizás sea esto lo que haya que usar para el recíproco que comentas.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

A ver, en el primer tema (ejercicio referente a éste) se introducen las cónicas como el lugar geométrico de la intersección de un doble cono recto y un plano, cada cónica dependerá de este plano. Ahora bien, en este ejercicio se nos hace una pequeña introducción que quizás debería haber mencionado; cuando se dice que una cónica es transformada mediante un cambio de referencia a una ecuación del estilo \( q(x,y)=0 \) se entenderá que puede ser transformada en la ecuación \( \lambda q(x,y)=0 \) para algún \( \lambda \in \mathbb{R} - \{0\} \). Y quizás sea esto lo que haya que usar para el recíproco que comentas.

No, no me refiero a eso. Ahí lo único que dice es que ecuaciones proporcionales definen el mismo objeto geométrico, lo cual es bien sabido.

Me refiero a si has dado algo más que la pura definición de cónica como sección plana de un cono.

Desde luego si sabes por ejemplo que en una cierta referencia una elipse tiene esta ecuación:

\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)

ya has dado algo más.

Mi pregunta concreta es, por ejemplo, si te dan esta ecuación:

\( x^2-2xy+4y^2-2x-2y+1=0 \)

¿Cómo te han enseñado (si es que lo han hecho) a decidir qué tipo de cónica es?. El método más cómodo es a través de su matriz asociada; también pude hacerse por complección de cuadrados.

Saludos.

[Zeta]

Hola

No, no me refiero a eso. Ahí lo único que dice es que ecuaciones proporcionales definen el mismo objeto geométrico, lo cual es bien sabido.

Me refiero a si has dado algo más que la pura definición de cónica como sección plana de un cono.

Desde luego si sabes por ejemplo que en una cierta referencia una elipse tiene esta ecuación:

\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)

ya has dado algo más.

Mi pregunta concreta es, por ejemplo, si te dan esta ecuación:

\( x^2-2xy+4y^2-2x-2y+1=0 \)

¿Cómo te han enseñado (si es que lo han hecho) a decidir qué tipo de cónica es?. El método más cómodo es a través de su matriz asociada; también pude hacerse por complección de cuadrados.

En realidad el primer tema está estructurado de la siguiente forma; Definición de una cónica, p.e elipse. Algunas propiedades métricas, ecuación reducida, parametrización y poco más. En el segundo tema sí se introduce lo de la matriz asociada, los invariantes métricos, etc.. Si bien es cierto que lo de por completación de cuadrados he hecho algún ejercicio sobre todo referente a circunferencias. Supongo que te refieres a que si tenemos una ecuación al completar cuadrados podemos expresarla como una cónica en su forma reducida, ¿no?. De todas formas no veo como aplicar lo de la completación de cuadrados al recíproco.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

En realidad el primer tema está estructurado de la siguiente forma; Definición de una cónica, p.e elipse. Algunas propiedades métricas, ecuación reducida, parametrización y poco más. En el segundo tema sí se introduce lo de la matriz asociada, los invariantes métricos, etc.. Si bien es cierto que lo de por completación de cuadrados he hecho algún ejercicio sobre todo referente a circunferencias. Supongo que te refieres a que si tenemos una ecuación al completar cuadrados podemos expresarla como una cónica en su forma reducida, ¿no?. De todas formas no veo como aplicar lo de la completación de cuadrados al recíproco.

Te concreto un poco más.

Sea \( f:\mathbb{E}_2\to \mathbb{E}_2 \) una afinidad. En coordenadas será:

\( (x,y)=f(x',y')=(ax'+b'y+c,dx'+ey'+g) \)

Que una determinada ecuación de una cónica se transforme en \( x^2+y^2=1 \), quiere dedir que si \( (x',y') \) es un punto de tal cónica
\( (x,y)=f(x',y')=(ax'+b'y+c,dx'+ey'+g) \) cumple la ecuación de la circunferencia, es decir que:

\( (ax'+by'+c)^2+(dx'+ey'+g)^2=1   \) (*)

Luego, salvo producto por escalar, (*) es la ecuación de la cónica original. Ahora tengo que justificar que es una elipse; y es ahora donde entra en juego que criterios te han dado para decidir, para demostrar que es una elipse.

Saludos.

[Zeta]

Hola

Te concreto un poco más.

Sea \( f:\mathbb{E}_2\to \mathbb{E}_2 \) una afinidad. En coordenadas será:

\( (x,y)=f(x',y')=(ax'+b'y+c,dx'+ey'+g) \)

Que una determinada ecuación de una cónica se transforme en \( x^2+y^2=1 \), quiere dedir que si \( (x',y') \) es un punto de tal cónica
\( (x,y)=f(x',y')=(ax'+b'y+c,dx'+ey'+g) \) cumple la ecuación de la circunferencia, es decir que:

\( (ax'+by'+c)^2+(dx'+ey'+g)^2=1   \) (*)

Luego, salvo producto por escalar, (*) es la ecuación de la cónica original. Ahora tengo que justificar que es una elipse; y es ahora donde entra en juego que criterios te han dado para decidir, para demostrar que es una elipse.

Los ejercicios en los que teniendo una ecuación prueba que son una cónica concreta lo hace mediante cambios de variable, agrupando términos e intenta llegar a la ecuación reducida de dicha cónica. Cuando apenas tiene términos, entonces completa cuadrados. He intentado desarrollar la expresión, agrupar términos y ver si consigo la ecuación reducida de la elipse pero no lo he conseguido, hay demasiados términos y no consigo "encontrar" \( a^2, b^2 \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Los ejercicios en los que teniendo una ecuación prueba que son una cónica concreta lo hace mediante cambios de variable, agrupando términos e intenta llegar a la ecuación reducida de dicha cónica. Cuando apenas tiene términos, entonces completa cuadrados. He intentado desarrollar la expresión, agrupar términos y ver si consigo la ecuación reducida de la elipse pero no lo he conseguido, hay demasiados términos y no consigo "encontrar" \( a^2, b^2 \).

Seguro que si viera tus apuntes o supiese exactamente como te han explicado las cosas lo vería más claro; pero no logro entender como te han formalizado la definición de elipse.

La completación de cuadrados es suficiente para clasificar, ciertamente.

Por ejemplo si tenemos:

x^2+2xy+2y^2-1=0

Podemos operar así:

\( x^2+2xy+2y^2-1=x^2+2xy+y^2+y^2-1=(x+y)^2+y^2-1 \)

y con el cambio de variable \( x'=x+y \) e \( y'=y \) queda:

\( \dfrac{x'^2}{1^2}+\dfrac{y'^2}{1^2}=1 \)

Por tanto es una elipse. Eso si no es una elipse necesariamente re radio mayor y menor igual a 1 (sería una circunferencia); porque el cambio de variable que hemos hecho a priori no conserva las distancias, deforma la figura (aunque no modifica su carácter de elipse, hipérbola, parábola...).

Spoiler

Si queremos tranformarla conservando las distancias la cosa es un poco más sutil y para eliminar el término "cruzado" \( bxy \) hay que hallar los autovalores de la matriz de términos cuadráticos.

[cerrar]

Si te han enseñado a clasificar así, el problema que te piden es trivial:

\( (ax'+by'+c)^2+(dx'+ey'+g)^2=1 \)

El propio cambio de variable que hicimos al principio \( x=ax'+by'+c \) e \( y=dx'+ey'+g  \) muestra que es una elipse.

Si te hubiesen enseñado a clasificar matricialmente, el cambio de referencia se puede expresar mediante un producto de matrices y el problema es también sencillo: básicamente se usa que matrices congruentes tienen el mismo signo de determinante.

Pero como ves para cristalizar algún argumento, sigo necesitando saber exactamente que puedes usar.

Saludos.

[Zeta]

Hola,

Seguro que si viera tus apuntes o supiese exactamente como te han explicado las cosas lo vería más claro; pero no logro entender como te han formalizado la definición de elipse.

La completación de cuadrados es suficiente para clasificar, ciertamente.

Por ejemplo si tenemos:

x^2+2xy+2y^2-1=0

Podemos operar así:

\( x^2+2xy+2y^2-1=x^2+2xy+y^2+y^2-1=(x+y)^2+y^2-1 \)

y con el cambio de variable \( x'=x+y \) e \( y'=y \) queda:

\( \dfrac{x'^2}{1^2}+\dfrac{y'^2}{1^2}=1 \)

Por tanto es una elipse. Eso si no es una elipse necesariamente re radio mayor y menor igual a 1 (sería una circunferencia); porque el cambio de variable que hemos hecho a priori no conserva las distancias, deforma la figura (aunque no modifica su carácter de elipse, hipérbola, parábola...).

Spoiler

Si queremos tranformarla conservando las distancias la cosa es un poco más sutil y para eliminar el término "cruzado" \( bxy \) hay que hallar los autovalores de la matriz de términos cuadráticos.

[cerrar]

Si te han enseñado a clasificar así, el problema que te piden es trivial:

\( (ax'+by'+c)^2+(dx'+ey'+g)^2=1 \)

El propio cambio de variable que hicimos al principio \( x=ax'+by'+c \) e \( y=dx'+ey'+g  \) muestra que es una elipse.

Si te hubiesen enseñado a clasificar matricialmente, el cambio de referencia se puede expresar mediante un producto de matrices y el problema es también sencillo: básicamente se usa que matrices congruentes tienen el mismo signo de determinante.

Pero como ves para cristalizar algún argumento, sigo necesitando saber exactamente que puedes usar.

La clasificación matricial la estamos dando en el segundo tema. Y es cierto que el problema siguiendo esas técnicas es muy sencillo pero no podemos utilizar esas técnicas porque no pertenecen al tema. Lo único que nos han enseñado en el primer tema de como diferenciar una cónica de otra es mediante completación de cuadrados y ver si se ajusta a la ecuación de alguna cónica en su forma reducida. Ahora bien, ¿si a=b en una elipse; no estaríamos en el caso de una circuferencia? Es cierto que la elipse, cuando su excentricidad es 0 tenemos la circuferencia pero cuando buscaba los \( a,b \) que te comentaba estaba buscando que fueran distintos por eso no llegaba a buen puerto.

Gracias por la paciencia.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

La clasificación matricial la estamos dando en el segundo tema. Y es cierto que el problema siguiendo esas técnicas es muy sencillo pero no podemos utilizar esas técnicas porque no pertenecen al tema. Lo único que nos han enseñado en el primer tema de como diferenciar una cónica de otra es mediante completación de cuadrados y ver si se ajusta a la ecuación de alguna cónica en su forma reducida.

Bien. Pues lo que te digo es que en:

\( (ax'+by'+c)^2+(dx'+ey'+g)^2=1 \)

¡Directamente tenemos los cuadrados agrupados y completados! El trabajo está hecho.

Ahora bien, ¿si a=b en una elipse; no estaríamos en el caso de una circuferencia?

Una circunferencia es un caso particular de elipse.

Lo que quise decirte es que cuando pasamos de:

\( x^2+2xy+2y^2-1=0 \)

a

\( \dfrac{x'^2}{1^2}+\dfrac{y'^2}{1^2}=1 \)

completando cuadrados y haciendo un cambio de variable, vemos que la segunda es una elipse y en particular una circunferencia; eso nos llega para saber que la primera también era una elipse, pero NO necesariamente una circunferencia porque hemos usado un cambio de variable que cambia el tamaño de los objetos.

\( x'=x+y \)
\( y'=y \)

Por ejemplo los puntos \( (0,0) \) y \( (1,1) \) se transforman en \( (0+0,0)=(0,0)  \) y \( (1+1,1)=(2,1) \); antes estaban a distancia \( \sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2} \) y ahora a distancia \( \sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5} \).

Saludos.