Hola
Bien. Pues lo que te digo es que en:
\( (ax'+by'+c)^2+(dx'+ey'+g)^2=1 \)
¡Directamente tenemos los cuadrados agrupados y completados! El trabajo está hecho.
Ahora bien, ¿si a=b en una elipse; no estaríamos en el caso de una circuferencia?
Una circunferencia es un caso particular de elipse.
Lo que quise decirte es que cuando pasamos de:
\( x^2+2xy+2y^2-1=0 \)
a
\( \dfrac{x'^2}{1^2}+\dfrac{y'^2}{1^2}=1 \)
completando cuadrados y haciendo un cambio de variable, vemos que la segunda es una elipse y en particular una circunferencia; eso nos llega para saber que la primera también era una elipse, pero NO necesariamente una circunferencia porque hemos usado un cambio de variable que cambia el tamaño de los objetos.
\( x'=x+y \)
\( y'=y \)
Por ejemplo los puntos \( (0,0) \) y \( (1,1) \) se transforman en \( (0+0,0)=(0,0) \) y \( (1+1,1)=(2,1) \); antes estaban a distancia \( \sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2} \) y ahora a distancia \( \sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5} \).
Corrígame si me equivoco pero al hacer el cambio de variable en el problema, es decir, al hacer;
\( (ax'+by'+c)^2+(dx'+ey'+g)^2=1 \rightarrow (\frac{z}{1})^2 + (\frac{w}{1})^2 = 1 \) tomando \( z=ax'+by'+c, w = dx' + ey' + g \) sabemos a ciencia cierta que el lugar geométrico de los puntos del dominio de \( f \) se corresponden con una elipse ya que es la ecuación de la cónica original salvo multiplicación por escalar, pero no sabemos como es dicha elipse ya que \( f \) no conserva distancias (básicamente se trata de una aplicación lineal seguida de una traslación, que sería la imagen del origen por \( f \) más la imagen del vector por la asociada).
Saludos.
