[juansanro]

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:

Considremos el campo \( \gamma=(\gamma_1,\gamma_2):\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}^2}  \)\( \hspace{0.1cm}C^1\hspace{0.1cm} \) y supongamos que existe \( c\in{\mathbb{R}}\hspace{0.1cm} \) spara el que se cumple que \( \gamma(c)=0\hspace{0.1cm} \) y \( \gamma'(c)\neq0 \). Entonces la función \( ||\gamma||=(\gamma_1^2+\gamma_2^2)^{1/2}:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}  \)no es derivable en el punto \( c. \)



He intentado utilizar que nuestro campo puede ser visto  "aproximadamente" como una recta. Por tanto, en un entorno de \( c \) podemos escribir \( \gamma(x) \) de la forma  \( (\gamma_1'(c)(x-c),\gamma_2'(c)(x-c)) \)  entonces \( ||\gamma(x)||=(\gamma_1'^2(c)+\gamma_2'^2(c))^{1/2}|x-c| \) que no es   derivable en \( c \)

Creo que este es el camino para solucionar el problema, pero no sé cómo justificar esta idea rigurosamente.

Agradecería cualquier idea.


Gracias.

[martiniano]

Hola.

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:

Considremos el campo \( \gamma=(\gamma_1,\gamma_2):\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}^2}  \)\( \hspace{0.1cm}C^1\hspace{0.1cm} \) y supongamos que existe \( c\in{\mathbb{R}}\hspace{0.1cm} \) spara el que se cumple que \( \gamma(c)=0\hspace{0.1cm} \) y \( \gamma'(c)\neq0 \). Entonces la función \( ||\gamma||=(\gamma_1^2+\gamma_2^2)^{1/2}:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}  \)no es derivable en el punto \( c. \)

No sé... No me hagas mucho caso... Pero a mí la función me parece derivable. ¿Es posible que en el enunciado pusiese \( \gamma'(c)=0\hspace{0.1cm} \) y \( \gamma(c)\neq0 \)?

Saludos.

[juansanro]

Hola.

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:

Considremos el campo \( \gamma=(\gamma_1,\gamma_2):\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}^2}  \)\( \hspace{0.1cm}C^1\hspace{0.1cm} \) y supongamos que existe \( c\in{\mathbb{R}}\hspace{0.1cm} \) spara el que se cumple que \( \gamma(c)=0\hspace{0.1cm} \) y \( \gamma'(c)\neq0 \). Entonces la función \( ||\gamma||=(\gamma_1^2+\gamma_2^2)^{1/2}:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}  \)no es derivable en el punto \( c. \)

No sé... No me hagas mucho caso... Pero a mí la función me parece derivable. ¿Es posible que en el enunciado pusiese \( \gamma'(c)=0\hspace{0.1cm} \) y \( \gamma(c)\neq0 \)?

Saludos.

Hola, las hipótesis son las que escribí en mi primer mensaje. Intuitivamente lo que debe de ocurrir es que los límites laterales en c no coinciden. Es lo que ocurre por ejemplo con el campo \( (x,0) \). No sé si me expliqué bien, pero nos preguntamos por la derivabilidad de la función módulo

[martiniano]

Hola.

Sí, disculpa, tienes razón. Me había despistado, ahora te cuento. De la definición de derivada, \(  \left\|{\gamma(x)}\right\| \) es derivable si existe el siguiente límite:

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{ \left\|{\gamma(c+h)}\right\|- \left\|{\gamma(c)}\right\|}{h}} \)\( =\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{ \left\|{\gamma(c+h)}\right\|- \left\|{\gamma(c)}\right\|}{h}}= \)\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}- \sqrt[ ]{\gamma_1^2(c)+\gamma_2^2(c)}}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}}{h}} \)

Y aquí es donde me confundí, metí la \( h \) del denominador dentro de la raíz y me quedé tan pancho, pero hay que diferenciar si \( h>0 \) ó \( h<0 \):

\( \displaystyle\lim_{h \to{0^+}}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}}{h}}= \)\( \displaystyle\lim_{h \to{0^+}}{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}{h^2}}} \)\( =\sqrt[ ]{\gamma_1'^2(c)+\gamma_2'^2(c)} \)

\( \displaystyle\lim_{h \to{0^-}}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}}{h}} \)\( =\displaystyle\lim_{h \to{0^-}}{-\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}{h^2}}} \)\( =-\sqrt[ ]{\gamma_1'^2(c)+\gamma_2'^2(c)} \)

Como \( \gamma'(c)\neq{0} \), pues los límites laterales no coinciden, el límite no existe y la función de la que nos hablan no es derivable.

Saludos.

[juansanro]

Hola.

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:

Considremos el campo \( \gamma=(\gamma_1,\gamma_2):\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}^2}  \)\( \hspace{0.1cm}C^1\hspace{0.1cm} \) y supongamos que existe \( c\in{\mathbb{R}}\hspace{0.1cm} \) spara el que se cumple que \( \gamma(c)=0\hspace{0.1cm} \) y \( \gamma'(c)\neq0 \). Entonces la función \( ||\gamma||=(\gamma_1^2+\gamma_2^2)^{1/2}:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}  \)no es derivable en el punto \( c. \)

No sé... No me hagas mucho caso... Pero a mí la función me parece derivable. ¿Es posible que en el enunciado pusiese \( \gamma'(c)=0\hspace{0.1cm} \) y \( \gamma(c)\neq0 \)?

Saludos.

Hola, las hipótesis son las que escribí en mi primer mensaje. Intuitivamente lo que debe de ocurrir es que los límites laterales en c no coinciden. Es lo que ocurre por ejemplo con el campo \( (x,0) \). No sé si me expliqué bien, pero nos preguntamos por la derivabilidad de la función módulo

Hola, gracias por tu respuesta. Sin embargo, hay un paso que no termina de convencerme: se trata del paso en el que el límite pasa dentro de la raiz.

Un saludo.

[martiniano]

Hola.

No estoy seguro pero creo que te refieres al último paso de todos, cuando el límite queda en función de las derivadas de las componentes de \(  \gamma \). Si es así, ¿qué es lo que no te gusta exactamente?

Saludos.

[juansanro]

Hola, concretamente me refiero a este paso. No me tengo muy claro que pueda pasar el límite dentro de la raíz

[/tex]\( \displaystyle\lim_{h \to{0^+}}{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}{h^2}}} \)\( =\sqrt[ ]{\gamma_1'^2(c)+\gamma_2'^2(c)} \)

[martiniano]

Ya, pero ¿por qué?

[juansanro]

Ya, pero ¿por qué?

¿Cómo sabes que eso es cierto?

[martiniano]

Pues diría que por las propiedades aritméticas de los límites, ¿no?

Saludos.