[Luis Fuentes]

Hola

Ya, pero ¿por qué?

¿Cómo sabes que eso es cierto?

Usa:

1) que si \( f(x \)) es continua, \( \displaystyle\lim_{x \to a}{}f(g(x))=f\left(\displaystyle\lim_{x \to a}{}g(x)\right) \)
2) la definición de derivada.
3) el límite de la suma es la suma de los límites.

Entonces por (1):

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}{h^2}}}=
\sqrt[ ]{\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}{h^2}}} \)

Por (3):

\( \sqrt[ ]{\displaystyle\lim_{h \to{0}}\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)}{h^2}+\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{\gamma_2^2(c+h)}{h^2}} \)

Por (1)

\( \sqrt[ ]{\left(\displaystyle\lim_{h \to{0}}\displaystyle\frac{\gamma_1(c+h)}{h}\right)^2+\left(\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{\gamma_2(c+h)}{h}\right)^2}=\sqrt[ ]{\left(\displaystyle\lim_{h \to{0}}\displaystyle\frac{\gamma_1(c+h)-\gamma_1(c)}{h}\right)^2+\left(\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{\gamma_2(c+h))-\gamma_2(c)}{h}\right)^2} \)

Y finalmente aplica la definición de derivada.

Saludos.

[juansanro]

Hola

Ya, pero ¿por qué?

¿Cómo sabes que eso es cierto?

Usa:

1) que si \( f(x \)) es continua, \( \displaystyle\lim_{x \to a}{}f(g(x))=f\left(\displaystyle\lim_{x \to a}{}g(x)\right) \)
2) la definición de derivada.
3) el límite de la suma es la suma de los límites.

Entonces por (1):

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}{h^2}}}=
\sqrt[ ]{\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}{h^2}}} \)

Por (3):

\( \sqrt[ ]{\displaystyle\lim_{h \to{0}}\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)}{h^2}+\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{\gamma_2^2(c+h)}{h^2}} \)

Por (1)

\( \sqrt[ ]{\left(\displaystyle\lim_{h \to{0}}\displaystyle\frac{\gamma_1(c+h)}{h}\right)^2+\left(\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{\gamma_2(c+h)}{h}\right)^2}=\sqrt[ ]{\left(\displaystyle\lim_{h \to{0}}\displaystyle\frac{\gamma_1(c+h)-\gamma_1(c)}{h}\right)^2+\left(\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{\gamma_2(c+h))-\gamma_2(c)}{h}\right)^2} \)

Y finalmente aplica la definición de derivada.

Saludos.

Hola, ¿sabes de alguna prueba para 1)? Por ejemplo, en el caso de que \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}=\infty \) creo que esa igualdad no tiene sentido.

Seguramente esto me ocurra porque haya algo que no llego a entender completamente, te agradecería si me pudieras ayudar

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, ¿sabes de alguna prueba para 1)? Por ejemplo, en el caso de que \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}=\infty \) creo que esa igualdad no tiene sentido.

¡Claro! No escribí las condiciones en detalle. Se sobreentiende que para que funcione tiene que existir el límite \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)} \); igualmente para la posterior identificación del límite como derivada, tiene que existir la derivada.

La prueba la hacemos en un momento.

Sean \( f:U\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R} \), \( g:V\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R} \), con \( U,V \) abiertos y tales que \( Im(g)\subset U \).

Sea \( \displaystyle\lim_{x \to a}{}g(x)=b\subset U \). Entonces si \( f(x)  \)es continua en \( b \) se tiene que:

\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}f(g(x))=f(b) \)

Prueba:

Sea \( \epsilon>0 \) por definición de continuidad existe un \( \delta>0 \) tal que:

\( |y-b|<\delta,\quad y\in U\quad \Rightarrow{}\quad |f(y)-f(b)|<\epsilon \)

Ahora como  \( \displaystyle\lim_{x \to a}{}g(x)=b\subset U \), existe un \( \delta' \) tal que:

\( 0<|x-a|<\delta'\quad \Rightarrow{}\quad |g(x)-b|<\delta \)

Combinando ambas cosas, dado \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta'>0 \) tal que:

\( 0<|x-a|<\delta'\quad \Rightarrow{}\quad |g(x)-b|<\delta\quad \Rightarrow{}\quad |f(g(x))-f(b)|<\epsilon \)

 y por tanto:

\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}f(g(x))=f(b) \)

Saludos.