Hola
Me he tomado un pequeño receso porque sino me iba a volver loco incluyendo al lector, si ya no lo estaba. No escribo las citas de
martiniano por una cuestión estética pero la gran mayoría de los dos ejercicios fueron resueltos por él.
Considere el grupo \( GM_2(Q) \) formado por las matrices de \( 2\times2 \) con coeficientes racionales y la operación producto matricial.
Debemos aclarar que este grupo es regular, o, lo que es lo mismo, todos sus elementos poseen simétrico (inverso), pues sino no habría grupo.
1) Halle el subgrupo generado por \( A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \), indique si es abeliano y si es normal.
\( \begin{matrix} A&&&=&\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\\ A^2&=&A\cdot A&=&\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\\ A^3&=&A^2\cdot A&=&\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\\ A^4&=&A^3\cdot A&=&\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}&=&I. \end{matrix} \)
Por tanto el subgrupo generado por \( A \) tiene cuatro elementos
\( \langle A\rangle=\left\lbrace\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\right\rbrace=\left\lbrace I,A,A^2,A^3\right\rbrace. \)
Para probar que es abeliano considérense \( m \) y \( n \) dos números naturales. Sin pérdida de generalidad supondremos \( m\geq n \). Luego
\( A^mA^n=(A^{n}A^{m-n})A^n=A^n(A^{m-n}A^n)=A^nA^m, \)
lo cual prueba que las matrices conmutan.
Ahora sean
\( h=A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\in\langle A\rangle,\qquad g=\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}\in GM_2(Q),\qquad g'={\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}}^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\1/2&0\end{pmatrix}\in GM_2(Q). \)
Vemos que el elemento neutro con el producto usual de matrices de orden \( 2 \) es la matriz identidad (\( I \)) que pertenece a \( \langle A\rangle \). Éste no es normal pues
\( ghg'=\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1/2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\-1/2&0\end{pmatrix}\not\in\langle A\rangle \).
2) Analice si el subgrupo generado por la matriz \( A \) es isomorfo a \( (\mathbb Z_4,\overline +) \).
Como \( \langle A\rangle \) es finito y tiene cuatro elementos luego, por una propiedad conocida, es isomorfo al grupo aditivo de los enteros módulo \( 4 \).
¿Está bien ahora? ¿Bien justificado?
Muchas gracias.
Saludos y buenas noches
