Autor Tema: Factorización en Fq[x]

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03 Septiembre, 2018, 06:51 pm
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chien-chat

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Hola, estoy teniendo problemas al factorizar el siguiente polinomio en \( \mathbb{F}_5\left [ x \right ] \), alguien podria orientarme por favor :'(
\( x^5+2x^4+3x^3+x^2+2x+4 \in \mathbb{F}_5\left [ x  \right ] \).

He aquí mi intento de lo que he podido entender: La idea es usar el algoritmo de Cantor&Zasenhauss.

Sea \( f(x) := x^5+2x^4+3x^3+x^2+2x+4 \in \mathbb{F}_5\left [ x  \right ] \Rightarrow f'(x) = 3x^3+4x^2+2x+2 \in \mathbb{F}_5\left [ x  \right ] \). Luego, comprobamos que \( f(x) \) sea libre de cuadrados, ie que \( \gcd(f(x),f'(x))=1 \), lo cual no se verifica, ya que \( \gcd(f(x),f'(x))=x+2 \), por ende, hacemos \( g(x) := \dfrac{f(x)}{\gcd(f(x),f'(x))}=x^4+3x^2+2 \Rightarrow g'(x)=4x^3+x \) y así obtenemos que \( \gcd(g(x),g'(x))=1 \), ie \( g(x) \) es libre de cuadrados.

De aquí me empiezo a complicar: (Para los sgtes pasos me estoy guiando de acá http://planetmath.org/cantorzassenhaussplit)
Usaré las mismas notaciones de la página anexa:

\( B_1 = A, \ B_{k+1} := \displaystyle\frac{A}{\gcd(B_k, x^{5^k}-x)}   \)

Entonces, tenemos:

\( B_1 := x^4+3x^2+2  \)
\( B_2 := \displaystyle\frac{x^4+3x^2+2}{\gcd(B_k, x^5-x)}=x^3+2x^2+2x+4 \)
\( B_3 := \displaystyle\frac{x^4+3x^2+2}{\gcd(B_k, x^{25}-x)}=x^2+1 \)

Y luego cómo prosigo?? alguien puede ayudarme por favor
de antemano gracias
saludoss  :laugh:

03 Septiembre, 2018, 08:06 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Una pregunta, ¿tienes que usar obligatoriamente el algoritmo que citas?

Saludos

03 Septiembre, 2018, 09:02 pm
Respuesta #2

chien-chat

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Hola. Respondiendo a tu pregunta, es si, pues es la idea del curso ahora.
Anteriormente aprendimos a factorizar ''normalmente'' por así decirlo, es decir, buscar los ceros (los cuáles en mi problema son 2 y 3) y luego factorizar usando la idea de Ruffini, pero en mod 5. No sé si me explico.

Saludos cordiales ;D

04 Septiembre, 2018, 10:07 am
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

Pues no sé si es lo que preguntas, pero yo diría que según la página que has enlazado ahora deberías calcular:

\( A_1=gcd(B_1,x^5-x) \)
\( A_2=gcd(B_2,x^{25}-x) \)
\( A_3=gcd(B_3,x^{125}-x) \)

Lo que no sé cómo...  :-\, ¿y tú?

Saludos.