Autor Tema: Dada una relación definida en un conjunto hallar elementos característicos

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20 Agosto, 2018, 08:25 am
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manooooh

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Hola!

Dada la relación \( R \) definida en \( \mathbb N\times\mathbb N:(x,y)R(z,t)\Leftrightarrow{x\mid z}\wedge{y\leq t} \) halle las cotas inferiores, superiores, supremo e ínfimo del subconjunto \( B=\{(5,2),(5,3),(10,2),(10,4),(15,5)\} \).



Mi respuesta:

Supondremos que la relación \( R \) es de orden, o sea cumple con las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. En particular, el sistema \( (\mathbb N\times\mathbb N,R) \) es ordenado y \( \varnothing\neq B\subset\mathbb N\times\mathbb N \).
   
Sean \( a,b,c,d \) elementos de \( \mathbb N\times\mathbb N \).

\( a \) es cota superior de \( B \) si y sólo si para todo \( x\in B \) cumple \( xRa \).

\( b \) es cota inferior de \( B \) si y sólo si para todo \( x\in B \) cumple \( bRx \).

\( c \) es supremo de \( B \) si y sólo si es el primer elemento del conjunto de cotas superiores.

\( d \) es ínfimo de \( B \) si y sólo si es el último elemento del conjunto de cotas inferiores.

Veamos a través del diagrama de Hasse cómo están ordenados estos elementos:


No hay cotas superiores pues todos los elementos de \( B \) cumplen \( x\not Ra \), luego tampoco hay supremo. La única cota inferior es el par \( (5,2) \), que también resulta ser el ínfimo pues también es el último elemento del conjunto de cotas inferiores.



¿Es correcto tanto los resultados como las justificaciones?

Gracias!
Saludos

20 Agosto, 2018, 11:29 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola. Creo que tienes un error en el enunciado:

Dada la relación \( R \) definida en \( \mathbb N\times\mathbb N:(x,y)R(z,t)\Leftrightarrow{\color{red}x\leq{} z}\wedge{y\leq t} \) halle las cotas inferiores, superiores, supremo e ínfimo del subconjunto \( B=\{(5,2),(5,3),(10,2),(10,4),(15,5)\} \).

¿Verdad?

No hay cotas superiores pues todos los elementos de \( B \) cumplen \( x\not Ra \), luego tampoco hay supremo. La única cota inferior es el par \( (5,2) \), que también resulta ser el ínfimo pues también es el último elemento del conjunto de cotas inferiores.

Si no me equivoco las cotas superiores son \( \{(a,b)\in{\mathbb{N\times{N}}\;:\;15\leq{a}\wedge{}5\leq{b}} \). El supremo es el mínimo de todas ellas, es decir, \( (15,5) \), que como pertenece a B también es máximo.

Para las cotas inferiores ocurre parecido...

Fíjate que tanto las cotas inferiores como superiores no tienen por qué estar en \( B \). El supremo y el ínfimo tampoco, si están, como es el caso, entonces son el máximo y mínimo respectivamente.

Saludos.

20 Agosto, 2018, 10:44 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola

Creo que tienes un error en el enunciado:

Dada la relación \( R \) definida en \( \mathbb N\times\mathbb N:(x,y)R(z,t)\Leftrightarrow{\color{red}x\leq{} z}\wedge{y\leq t} \) halle las cotas inferiores, superiores, supremo e ínfimo del subconjunto \( B=\{(5,2),(5,3),(10,2),(10,4),(15,5)\} \).

¿Verdad?

Nono, es así. Los dos primeros elementos de los dos pares están ordenados por la divisibilidad y los segundos por un orden (uno menor a otro).

No quise escribirlo (también me parece extraña la relación) pero hubiera preguntado si ésta recibía algún nombre especial :P.

¿Cambia en algo tu respuesta?

Saludos

21 Agosto, 2018, 03:22 pm
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

Creo que tienes un error en el enunciado:

Dada la relación \( R \) definida en \( \mathbb N\times\mathbb N:(x,y)R(z,t)\Leftrightarrow{\color{red}x\leq{} z}\wedge{y\leq t} \) halle las cotas inferiores, superiores, supremo e ínfimo del subconjunto \( B=\{(5,2),(5,3),(10,2),(10,4),(15,5)\} \).

¿Verdad?

Nono, es así. Los dos primeros elementos de los dos pares están ordenados por la divisibilidad y los segundos por un orden (uno menor a otro).

No quise escribirlo (también me parece extraña la relación) pero hubiera preguntado si ésta recibía algún nombre especial :P.

¿Cambia en algo tu respuesta?

Claro, claro, que torpe estoy... Mira que no caer en que con \( | \) querías decir "divide a"...

Sí, así la cosa cambia, pero igualmente diría que hay muchas cotas tanto inferiores como superiores:

Spoiler
Contas inferiores: \( \{(1,1);(1,2);(5,1);(5,2)\} \)
Ínfimo: \( (5,2) \), que es mínimo

Y teniendo en cuenta que \( mcm(5,10,15)=30 \):

Cotas superiores: \( \{(a,b)\in{\mathbb{N^2}}:a\equiv{0}\,(mod30)\;y\;5\leq{b}\} \)
Supremo: \( (30,5) \), que no es máximo
[cerrar]

Saludos.

21 Agosto, 2018, 06:34 pm
Respuesta #4

manooooh

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Hola

Sí, así la cosa cambia, pero igualmente diría que hay muchas cotas tanto inferiores como superiores:

Spoiler
Contas inferiores: \( \{(1,1);(1,2);(5,1);(5,2)\} \)
Ínfimo: \( (5,2) \), que es mínimo

Y teniendo en cuenta que \( mcm(5,10,15=030 \):

Cotas superiores: \( \{(a,b)\in{\mathbb{N^2}}:a\equiv{0}\,(mod30)\;y\;5\leq{b}\} \)
Supremo: \( (30,5) \), que no es máximo
[cerrar]

Claro... las cotas siempre se tienen que mirar en el conjunto "grande", que es \( \mathbb N^2 \) ordenado por la relación \( R \).

Aquí:

\( mcm(5,10,15=030 \)

debería decir \( mcm(5,10,15)=30 \) si es que entendí bien.

Muchas gracias! :)
Saludos

21 Agosto, 2018, 07:11 pm
Respuesta #5

martiniano

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Hola

debería decir \( mcm(5,10,15)=30 \) si es que entendí bien.

Sí, esto pasa por no "repasar" :)

Saludos