[lamartinada]

Buenas a todos, soy nuevo en el foro. Me presento como ingeniero técnico industrial y espero poder compartir conocimientos con vosotros y poder hallar respuestas a nuestras dudas de forma conjunta. Colaboraré con todos los miembros en aquellos temas en los que tenga conocimiento 

Llevo un tiempo tratando de encontrar el sumatorio de una serie cuyo resultado tienda a la unidad. He encontrado el siguiente que expongo:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{}\displaystyle\frac{1}{2^n} \)

Este sumatorio cumple las características que planteo, pero no me sirve por que necesito que se aproxime al resultado más lentamente, es decir, que no alcance valores tan próximos al resultado de forma tan rápida.

Estoy seguro que hay alguna serie que cumple con lo que comento. ¿Alguien sería tan amable de echarme una mano?

Agradezco de antemano vuestra ayuda. Un saludo a todos!

[Abdulai]

Por ejemplo:
 
\( \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\dfrac{\pi^2}{6} \)  es de convergencia mas lenta que la anterior, aunque no adivino si lo suficientemente lenta. 

Si lo es, entonces tu serie es  \( \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{6}{\pi^2 k^2}=1 \)

[lamartinada]

Gracias por tu respuesta Abdulai

La primera serie que me comentas, como bien indicas, supera el valor de la unidad, aprox. 1.6, sin embargo la segunda si cumple con mi criterio, pero me encuentro en el mismo problema.

El caso, es que tanto tu serie como la mía, en el primer miembro ya han alcanzado la mitad del valor final del sumatorio, incluso mayor. Lo que necesito es que comience con valores cercanos a cero y vaya aumentando de forma más progresiva.

¿Alguna otra sugerencia?

Te agradezco mucho tu ayuda en esto.

[Fernando Revilla]

Puede ser interesante al respecto: Which series converges the most slowly?

[lamartinada]

Entonces, por lo que puedo leer, no habría serie que converja más lenta? O lo he entendido mal?

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces, por lo que puedo leer, no habría serie que converja más lenta? O lo he entendido mal?

Depende de lo que entiendas en la frase que he marcado en rojo.

Lo que dice el link es que dada una serie convergente siempre puedes encontrar otra que converja mas lentamente, igual que dado un número mayor que cero siempre podemos encontrar otro positivo más pequeño, de forma que no existe "el número real positivo más pequeño". Pero eso no quiere decir que no puedas encontrar números suficientemente pequeños para cubrir unas ciertas necesidades prefijadas.

En tu caso puedes construir series cuya suma sea 1 tomando una función creciente \( f(x) \) tal que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x)=1 \) y definiendo:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}a_n \) con \( a_n=f(n)-f(n-1) \)

Por ejemplo tomando \( f(x)=1-\dfrac{k}{x+k} \) obtienes series todas convergentes a 1, pero que tardan más en acercarse a ese valor a medida que crece \( k \).

Saludos.

[lamartinada]

Excelente respuesta Luis Fuentes

Con la respuesta de ejemplo que me has dado consigo valores aproximados a lo que pretendo para k=800

Por otro lado, ¿habría forma de hacer lo mismo para límites acotados? Es decir, si mi serie va desde n=1 hasta n=3200, como ejemplo, y para k=800 no alcanzo la convergencia a 1, podría usar esas condiciones para hallar el valor de k que se ajuste a ese criterio?

Una duda que me hace plantearme esto que me comentas, con la función que puse yo como ejemplo, este planteamiento porqué es incorrecto?

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^n-1}} \)


Mil gracias por la ayuda

[Luis Fuentes]

Hola

Excelente respuesta Luis Fuentes

Con la respuesta de ejemplo que me has dado consigo valores aproximados a lo que pretendo para k=800

Por otro lado, ¿habría forma de hacer lo mismo para límites acotados? Es decir, si mi serie va desde n=1 hasta n=3200, como ejemplo, y para k=800 no alcanzo la convergencia a 1, podría usar esas condiciones para hallar el valor de k que se ajuste a ese criterio?

No entiendo la pregunta; si hablas de trabajar con series finitas, lo que puedes hacer es tomar como último término lo que falta en ese momento para llegar a \( 1 \).

Una duda que me hace plantearme esto que me comentas, con la función que puse yo como ejemplo, este planteamiento porqué es incorrecto?

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^n-1}} \)

Es que para que la construcción funcione tienes que tomar una función \( f(x) \) creciente verificando que su límite en infinito sea 1. Si tomas \( f(x)=\dfrac{1}{2^x} \) el límite en infinito es cero y además la función es decreciente.

Saludos.

[lamartinada]

A ver, no se si quizá el método matemático que he elegido no es el óptimo para lo que pretendo. Igual la solución para lo que pretendo es bien diferente de lo que he propuesto. Replanteo el problema por si puede esclarecer las cosas:

Necesito un método que me genere una sucesión de números para un intervalo determinado, cuya suma total sea igual a 1 y cuya tasa de aumento sea constante.

Pongo el ejemplo con el que estoy trabajando en cuestión. Debo obtener una serie de 3200 números (valor de la variable en el ejemplo), cuyo sumatorio sea igual a la unidad, y cuyo aumento sea con progresión constante, es decir, cada valor consecutivo esté multiplicado por la misma constante.

Quizá sea más complejo de lo que pude pensar a priori, o quizá no tenga solución. ¿Esto aclara mejor el tema?

[Juan Pablo Sancho]

Estás pidiendo ¿no?:

\( \displaystyle a_0 + a_0 \cdot r + a_0 \cdot r^2 + \cdots + a_0 \cdot r^{3199} = a_0 \cdot [1+r+\cdots+r^{3199}] = a_0 \cdot \dfrac{1-r^{3200}}{1-r} = 1 \)