[dario_oasis]

Hola como es tan? Me ayudarían tengo una duda con este ejercicio, probar que es difetenciable:
\( \displaystyle\binom{f (x,y)=\displaystyle\frac{x^3-y^3}{x^2+y^3}}{0} \)

Calculos las derivadas parciales me da 1 y -1 luego usando la fórmula del resto:
\( (r (h,k)=\displaystyle\frac{h^3-k^3}{h^2+k^2}-f (0,0)-1h+1k)/\sqrt[ ]{h^2+k^2} \)
 Mi duda está en que una compañera resolviendolo le quedó así pero el 2 k al cubo no me cierra y me cansé de pensar la y no logró hacer que me de así, me dicen si está bien echo y como lo hizo para que le de 2 k al cubo?
\( \displaystyle\frac{2k^3-hk^2+hk^2}{h^2+k^2}/\sqrt[ ]{h^2+k^2} \)

[Fernando Revilla]

Hola como es tan? Me ayudarían tengo una duda con este ejercicio, probar que es difetenciable: \( \displaystyle\binom{f (x,y)=\displaystyle\frac{x^3-y^3}{x^2+y^3}}{0} \)

Revisa el enunciado. Tal como está, no existe \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0) \) y por tanto \( f \) no es diferenciable en \( (0,0) \).

[julius]

La función no es diferenciable puesto que no es continua en \( (x,y)=(0,0) \).
Para probarlo, observa que
\( f(y^2,y)= \frac{y^3-1}{y+1} \), que tiende a \( -1 \) cuando \( y\to 0 \).

[dario_oasis]

Disculpen, con sólo probar que no existen las derivadas parciales que son 1 y -1 pruebo que no es diferenciable?

[Fernando Revilla]

Disculpen, con sólo probar que no existen las derivadas parciales que son 1 y -1 pruebo que no es diferenciable?

Una condición necesaria para la diferenciabilidad en un punto es la continuidad de la función en el punto. Otra, es la existencia de parciales en el punto. Por tanto, si demuestras que la función no es continua en el punto o que alguna parcial no existe, has demostrado que la función no es diferenciable. Por ejemplo, en nuestro caso \( \frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0) \) no existe (no es \( -1 \) como tú dices) y por tanto, \( f \) no es diferenciable en \( (0,0). \)

[dario_oasis]

Disculpa que
Significa que existan las derivadas parciales? Si las dos dan cero existen?o a que te referís? En mi caso cuanto dan?

[Fernando Revilla]

Disculpa que Significa que existan las derivadas parciales? Si las dos dan cero existen?o a que te referís? En mi caso cuanto dan?

Significa que el límite que las define existe y es finito. En nuestro caso,

          \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{h}{h}=1.
 \)
          \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{-1}{h}=\infty. \)

[dario_oasis]

Y si no existiesen que números me deberían dar?yo antes pensaba que las dos derivadas parciales tenían que dar cero para seguir probando por límites integrados y por camino h=mk, y si daban cero, debo probar por definición de límites porque llego a ese resultado que queda en función de epsilon? En que estoy errado? Por favor me podrías decir Así llego de la mejor manera a un parcial?te estare muy agradecido!!!

[Fernando Revilla]

Y si no existiesen que números me deberían dar?yo antes pensaba que las dos derivadas parciales tenían que dar cero para seguir probando por límites integrados y por camino h=mk, y si daban cero, debo probar por definición de límites porque llego a ese resultado que queda en función de epsilon? En que estoy errado? Por favor me podrías decir Así llego de la mejor manera a un parcial?te estare muy agradecido!!!

De tus preguntas se deduce que no has estudiado ordenadamente la teoría. Mira Diferenciabilidad en varias variables y plantea las dudas que te vayan apareciendo.

[dario_oasis]

Mira empecemos Fernando, quiero entender el tema de una vez por todas si estoy errado en algo9 por favor indícame, y si es con explicación mejor,

1) derivadas parciales: derivo la función en su derivada parcial de X y luego con respecto a Y , mientras la función sea continua, entonces será diferenciable, ahora si la derivada parcial ya sea de x o de y me da 0 me tengo que fijar en la función, ya que si tiene una discontinuidad en ese punto no es diferenciable. Estoy en lo cierto?