[Rashed]

Hola, buenas tardes. Debo realizar las siguientes demostraciones para una instancia final, y queria saber si las que tengo estan bien y como podria encarar las demas.

1)   Demostrar que los circuncentros de los cuatro triángulos que determinan las diagonales de un cuadrilátero convexo, son vértices de un paralelogramo.

2)   Dos rectas paralelas son tangentes en P y Q  a una circunferencia de centro A. Una tercer recta tangente a la circunferencia en un punto R corta a las rectas paralelas en los puntos B y C. Mostrar que el triángulo ABC es rectángulo en A.

3)   Sea ABC un triángulo isósceles (AC=BC)  y P el punto del lado BC tal que PC/BP=4. Se prolonga el lado CA y sobre esa prolongación se marca el punto Q tal que QA=BP.
El segmento PQ intersecta a la base AB en el punto R. Hallar AR/AB.

4)


Lo que tengo:
1)



\( \bar{XW} \perp \bar{CO} \wedge \bar{XW}  \perp \bar{CB} \textrm{
     1}\\\
\bar{YZ} \perp \bar{OB} \wedge \bar{YZ}  \perp \bar{CB}\textrm{
     2}\\\
\textrm{Por 1 y 2 }\Rightarrow{\bar{XW}  \parallel \bar{YZ}} \\\

\bar{XY} \perp \bar{AO} \wedge \bar{XY}  \perp \bar{AD} \textrm{
     3}\\\
\bar{WZ} \perp \bar{OD} \wedge \bar{WZ}  \perp \bar{AD}\textrm{
     4}\\\
\textrm{Por 3 y 4  }\Rightarrow{\bar{WZ}  \parallel \bar{XY}} \)

Por lo tanto XYWZ, es un paralelogramo.

4)

\( \alpha = \alpha ^´ \textrm{ por ser angulos opuestos por el vertice
} \\
\bar{AD} \textrm{ cuerda de ACD y ABD triangulos} \Rightarrow{} \hat{B} = \hat{C}\\
\bar{CB} \textrm{cuerda de ACB y DBC triangulos} \Rightarrow{} \hat{D} = \hat{A} \)

PD: En el ejercicio 3, puede ser que me falte algun dato? Por ejemplo, que AR/AB sea igual a algo?. Saludos y espero sus respuestas

[delmar]

Hola

Las soluciones de la 1 y la 4 son correctas.

Para la 2, las rectas tangentes paralelas  pasan por los extremos de un diámetro de la circunferencia, de ahí puedes seguir. Para el 4 utiliza la simetría respecto a la altura del triángulo  sobre AB

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Hola Rashed,

Los ejercicios 1) y 4) los tienes bien resueltos.

2)   Dos rectas paralelas son tangentes en P y Q  a una circunferencia de centro A. Una tercer recta tangente a la circunferencia en un punto R corta a las rectas paralelas en los puntos B y C. Mostrar que el triángulo ABC es rectángulo en A.

Dibujate la figura y uno los cinco puntos \( Q, C, R, B\textrm{ y }P\textrm{ con }A \). ¿Cómo son \( \angle RAC\textrm{ y }\angle CAQ \)? ¿Y \( \angle PAB\textrm{ y }\angle BAR \)? Si tienes en cuenta que el \( \angle PAQ = 180^\circ \), ya la conclusión debe ser inmediata ...

3)   Sea ABC un triángulo isósceles (AC=BC)  y P el punto del lado BC tal que PC/BP=4. Se prolonga el lado CA y sobre esa prolongación se marca el punto Q tal que QA=BP.
El segmento PQ intersecta a la base AB en el punto R. Hallar AR/AB.

PD: En el ejercicio 3, puede ser que me falte algun dato? Por ejemplo, que AR/AB sea igual a algo?. Saludos y espero sus respuestas

No, el punto \( R \) queda perfectamente determinado con los datos que te dan, y lo que te piden es precisamente \( \displaystyle\frac{AR}{AB} \).

Considera el punto \( P'\textrm{ en }AC\textrm{ tal que }AP' = BP \). En el triángulo \( QPP' \) puedes relacionar \( AR\textrm{ con }PP' \), y en el triángulo \( ABC, PP'\textrm{ con }AB \). A partir de ahí te debe ser fácil establecer la proporción. Te adjunta también la figura:



Saludos,

[Rashed]

Con respecto al 2 y tomando la ubicacion de los puntos que dejaste en la figura:
\( \textrm{Datos para: CAQ } \sim \textrm{RAC}\\
\bar{CA} \textrm{  Lado comun}\\
\hat{R} \wedge \hat{Q}\textrm{ = 90° por tangente}\\
\bar{AR}=\bar{AQ} \textrm{  Por ser radio}\\

\textrm{Datos para: PAB } \sim \textrm{BAR}\\
\bar{AB} \textrm{  Lado comun}\\
\hat{R} \wedge \hat{P}\textrm{ = 90° por tangente}\\
\bar{AR}=\bar{AP} \textrm{  Por ser radio}\\
 \)
Entonces de esta forma demostraria que son semejantes por criterio LAL, pero de ahi ya no se como llegar a que el angulo del trigangulo BAC es rectangulo en A. ¿Estare obviando algun dato?.
Y con respecto al 3 sigo sin entender con la respuestas como lo encararon. 

[Ignacio Larrosa]

Con respecto al 2 y tomando la ubicacion de los puntos que dejaste en la figura:
\( \textrm{Datos para: CAQ } \sim \textrm{RAC}\\
\bar{CA} \textrm{  Lado comun}\\
\hat{R} \wedge \hat{Q}\textrm{ = 90° por tangente}\\
\bar{AR}=\bar{AQ} \textrm{  Por ser radio}\\

\textrm{Datos para: PAB } \sim \textrm{BAR}\\
\bar{AB} \textrm{  Lado comun}\\
\hat{R} \wedge \hat{P}\textrm{ = 90° por tangente}\\
\bar{AR}=\bar{AP} \textrm{  Por ser radio}\\
 \)
Entonces de esta forma demostraria que son semejantes por criterio LAL, pero de ahi ya no se como llegar a que el angulo del trigangulo BAC es rectangulo en A. ¿Estare obviando algun dato?.

Son triángulos rectángulos con la misma hipotenusa y el mismo cateto, por lo que no solo son semejantes sino que son congruentes. Aunque en realidad, todo lo que necesitamos ver es que son semejantes. Entonces \( \angle RAC = \angle CAQ \). Lo mismo pasa con los otros dos.

Entonces, ¿cómo es \( \angle BAR + \angle RAC \) comparado con \( \angle PAQ \)?

Y con respecto al 3 sigo sin entender con la respuestas como lo encararon. 

Los triángulos \( ABC\textrm{ y }P'PC \) son semejantes y sabes cual es la razón de semejanza, la misma que la de los segmentos \( BC\textrm{ y }PC \). Esto te permite calcular \( PP' \) en función de \( AB \), es decir, conocer el valor de \( \dfrac{PP'}{AB} \).

De la misma forma, los triángulos \( QPP'\textrm{ y }QRA \) son semejantes con la misma razón que los segmentos \( QP'\textrm{ y }QA \), por lo que puedes determinar la reclación \( \dfrac{AR}{P'P} \). Combinando ambas cosas, ya puedes obtener la relación que te piden.

Saludos,

[Rashed]

Con respecto al de las tangentes, estoy totalmente perdido. Ya que, nombras al triangulo PAQ y siguiendo tu dibujo PAQ me queda diametro de la circunferencia no un triangulo. Donde debo mover alguno de esos puntos?. Y ademas, sigo sin poder llegar a demostrar que en CAB es rectangulo en A. La suma de CAR y RAB que deberia demostrar?. Saludos y perdona que no te entienda

[Ignacio Larrosa]

Con respecto al de las tangentes, estoy totalmente perdido. Ya que, nombras al triangulo PAQ y siguiendo tu dibujo PAQ me queda diametro de la circunferencia no un triangulo. Donde debo mover alguno de esos puntos?. Y ademas, sigo sin poder llegar a demostrar que en CAB es rectangulo en A. La suma de CAR y RAB que deberia demostrar?. Saludos y perdona que no te entienda

\( \angle PAQ \) es el ángulo con vértice en \( A \) y cuyos lados pasan por \( P \) y \( Q \). Su magnitud es de \( 180^\circ \), pues como bien dices, \( PQ \) es un diámetro.

Entonces tienes que:

\( \angle PAQ = \angle PAR + \angle RAQ = 2\angle BAR + 2\angle RAC = 2\left(\angle BAR + \angle RAC\right) = 2\angle BAC\quad \Longrightarrow{}\quad \angle BAC = 90^\circ \)

Saludos,

[Rashed]

Ahh, disculpa mi ignorancia el simbolo antes lo confundi siempre con triangulos. Te pido mil disculpas ahora si lo entendi. Muchisimas gracias!!. ahora veo como sale el ultimo !!

[Rashed]

Con respecto al ultimo ejercicio llego a lo siguiente:

\( \textrm{ACB}\sim\textrm{ P´CP}\\
\frac{\bar{CP´}}{CA} = \frac{\bar{P´P}}{AB} = \frac{\bar{CP}}{CB} \textrm{ Con relacion de semejanza }\frac{\bar{PC}}{BP}\\
\textrm{PQP´}\sim\textrm{RQA}\\
\frac{\bar{QR}}{QP}=\frac{\bar{RA}}{P´P}=\frac{\bar{QA}}{QP´}\textrm{ Con relacion de semejanza }\frac{\bar{QA}}{P´A}   
                                               \)
Siguiendo esto puedo determinar que: \( \frac{\bar{P´P}}{AB} = \frac{\bar{P´P}}{AR}  \) y al cancelar me queda \( \displaystyle\frac{\overline{AR}}{AB} \). Me parece que force mucho las cosas y llegue a un error no?

[Ignacio Larrosa]

Con respecto al ultimo ejercicio llego a lo siguiente:

\( \textrm{ACB}\sim\textrm{ P´CP}\\
\frac{\bar{CP´}}{CA} = \frac{\bar{P´P}}{AB} = \frac{\bar{CP}}{CB} \textrm{ Con relacion de semejanza }\frac{\bar{PC}}{BP}\\
[/quote]

No, la relación es [tex]\frac{\overline{CP}}{\overline{CB}} = \dfrac{4}{5} \), puesto que \( \overline{PB} \) es la cuarta parte de \( \overline{CP} \).

Por tanto, \( \overline{P'P} = \dfrac{4}{5}\overline{AB} \)

\( \textrm{PQP´}\sim\textrm{RQA}\\
\frac{\bar{QR}}{QP}=\frac{\bar{RA}}{P´P}=\frac{\bar{QA}}{QP´}\textrm{ Con relación de semejanza }\frac{\bar{QA}}{P´A} \)

No, la relación es \( \frac{\overline{QA}}{\overline{QP'}} = \dfrac{1}{2} \), puesto que \( \overline{QA} \) tiene la misma longitud que \( \overline{AP'} \).

Por tanto, \( \overline{AR} = \dfrac{1}{2}\overline{P'P} = \dfrac{1}{2} \dfrac{4}{5} \overline {AB} = \dfrac{2}{5} \overline {AB} \)

Saludos,