[Arkhé]

Hola buenas,
Una pregunta teórica:

¿Cómo se describe el comportamiento de \( e^z=e^xe^{iy} \) cuando:

a) \( x \) tiende a \( -\infty \)
b) \( y \) tiende a \( \infty \)

Gracias y un saludo.

[delmar]

Hola

a)

Observa \( \left |{e^z}\right |=e^x \),  Y  \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{e^x}=0\Rightarrow{\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{\left |{e^z}\right |}=0} \)

¿Qué se puede decir del límite de  una función compleja,  cuyo límite de su módulo es cero?

b)

Para pensar,  se me ocurre algo sencillo, en caso exista el límite o es un número complejo único o es "infinito". Analiza ambas situaciones, si son posibles.

Saludos

[Arkhé]

Hola delmar,

Antes que nada, muchas gracias por tu respuesta.

La verdad es que apenas acabo de empezar el tema de funciones de variable compleja y a veces tengo el defecto de plantearme cosas antes de tiempo.

Ahora bien, y puede que diga una barbaridad, a tus dos cuestiones contestaría lo siguiente:

a) El módulo de un número complejo es igual a \( 0 \) si y solo si \( z=0+i0 \) y, por tanto, \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{e^z}=0+i0 \)

b) La exponencial compleja cumple:  \( e^z=e^x(cos y+i seny) \) pero para \( y=\infty \) ni seno ni coseno están definidos. Con lo que el límite ni es un número complejo único ni es infinito y, por tanto, no existe.

Disculpa si he dicho algún disparate y te agradecería que me corrigieras las respuestas, si es posible.

Gracias de nuevo y un saludo.

[mathtruco]

a) El módulo de un número complejo es igual a \( 0 \) si y solo si \( z=0+i0 \) y, por tanto, \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{e^z}=0+i0 \)

Correcto.

b) La exponencial compleja cumple:  \( e^z=e^x(cos y+i seny) \) pero para \( y=\infty \) ni seno ni coseno están definidos. Con lo que el límite ni es un número complejo único ni es infinito y, por tanto, no existe.

\( y=\infty \) no tiene sentido. Lo que quiere decir ese infinito es que \( y \) es "grande", pero nunca infinito (tiende a infinito). Nota que \( e^{iy} \) dibuja una circunferencia unitaria, así que a medida que \( y \) crece no se estanca en ningún valor, sino que sigue girando, y por tanto el límite no existe.

Toma por ejemplo

    \( \displaystyle\lim_{n\in\mathbb{N}}e^{i\,n\pi} \)

que es \( 1 \) o \( -1 \) dependiendo si \( n \) es par o impar.

[Arkhé]

Gracias mathtruco.

En el caso del apartado b) ¿me tengo que preocupar de \( x \)? Es decir, si \( x \) es constante, está claro que se describirá una circunferencia de radio \( e^x \). Pero, ¿tengo la seguridad de que \( x \) no varía? De ser así, ¿sería una espiral?

Un saludo.

[Arkhé]

Perdona mathtruco, en lo de la espiral me confundí al pensar en \( x \) creciendo de forma lineal y no tendría porqué ser así. Pero ¿me tengo que preocupar de \( x \)?

Gracias.

[delmar]

Lo que ha dicho mathtruco, es lo mejor, recién empiezas. Solamente en caso  manejes  los límites con entornos, muestro el caso a)

Se tiene : \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{\left |{e^z}\right |}=0 \), ¿Que significa?

\( \forall{\epsilon>0, \ \exists{M>0}} \ / \ \left |{\ \left |{e^z}\right |-0}\right |<\epsilon, \ \ si \ x<-M \)

Esto equivale :


\( \forall{\epsilon>0, \ \exists{M>0}} \ / \ \left |{e^z}\right |<\epsilon, \ \ si \ x<-M \)

Equivale :

\( \forall{\epsilon>0, \ \exists{M>0}} \ / \ \left |{e^z-0}\right |<\epsilon, \ \ si \ x<-M \)

Por definición esto es : \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{e^z}=0 \)

Ojo esto es genérico para toda función cuyo módulo tiende a cero, su límite también tiende a cero.

Saludos

Hice una corrección tipográfica en vez de \( +\infty \) era \( -\infty \), en el límite.

Hice una segunda corrección tipográfica, en lugar de \( x>M \) es \( x<-M \), el primer error me llevo al segundo error, disculpas

[Arkhé]

Muchas gracias por el desarrollo delmar.

Sólo me queda ésta duda: en el caso de b), ¿\( x \) varía o la tomo como fija?

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Muchas gracias por el desarrollo delmar.

Sólo me queda ésta duda: en el caso de b), ¿\( x \) varía o la tomo como fija?

Saludos

Dado que no te dicen nada, se supone que es fija. El límite sólo existe si \( x\rightarrow{}-\infty\textrm{ o }x\rightarrow{}+\infty \), con lo que \( z\rightarrow{}0\textrm{ o }z\rightarrow{\infty} \), con independencia de lo que ocurra con \( y \).

Saludos,

[Arkhé]

Gracias Ignacio,

Disculpad que esté tan verde en este tema. Por lo dicho anteriormente, en caso de que \( x\rightarrow{-\infty} \) con lo que \( z\rightarrow{0} \) entonces \( e^z\rightarrow{0} \). ¿Pero \( e^z \) no debería tender a \( 1 \) pues sería una exponencial elevada a \( 0 \)?

Es que ya digo, estoy verde.

Gracias de nuevo y saludos.