[delmar]

Cuando \( x\rightarrow{-\infty} \), z no tiende a cero, lo que tiende a cero es \( e^x \), el cuál es el módulo de \( e^z \), es decir \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{e^x}=\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{\left |{e^z}\right |}=0 \).

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Gracias Ignacio,

Disculpad que esté tan verde en este tema. Por lo dicho anteriormente, en caso de que \( x\rightarrow{-\infty} \) con lo que \( z\rightarrow{0} \) entonces \( e^z\rightarrow{0} \). ¿Pero \( e^z \) no debería tender a \( 1 \) pues sería una exponencial elevada a \( 0 \)?

Es que ya digo, estoy verde.

Gracias de nuevo y saludos.

Disculpa, pero se me escaparon las 'e' ... Quise poner:

 ... \( x\rightarrow{}-\infty\textrm{ o }x\rightarrow{}+\infty\textrm{ con lo que }e^z\rightarrow{}0\textrm{ o }e^z\rightarrow{\infty} \), con independencia de lo que ocurra con \( y \).

Saludos,

[Fernando Revilla]

Disculpad que esté tan verde en este tema. Por lo dicho anteriormente, en caso de que \( x\rightarrow{-\infty} \) con lo que \( z\rightarrow{0} \) entonces \( e^z\rightarrow{0} \). ¿Pero \( e^z \) no debería tender a \( 1 \) pues sería una exponencial elevada a \( 0 \)?

Si \( x\to -\infty \), no ocurre que \( z=x+iy \to 0 \).

Para funciones \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{C} \) está perfectamente definido el concepto de límite y conocemos bien sus propiedades.
Por ejemplo, si \( f(x)=u(x)+iv(x) \) con \( u(x) \) y \( v(x) \) reales, se verifica

          \( \displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to x_0}u(x)+i\displaystyle\lim_{x \to x_0}v(x) \)

en el supuesto de que los límites del segundo miembro existan.

En nuestro caso y dado que \( y \) es constante, estamos considerando la función \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{C} \) dada por

          \( f(x)=e^xe^{iy}=\underbrace{e^x\cos y}_{u(x)}+i\underbrace{e^x\sin y}_{v(x)} \).

En consecuencia,
 
         \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty} f(x)=\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty} e^x\cos y +i\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty} e^x\sin y=0\cdot \cos y+i\cdot 0\cdot \sin y=0. \)

[Ignacio Larrosa]

Disculpad que esté tan verde en este tema. Por lo dicho anteriormente, en caso de que \( x\rightarrow{-\infty} \) con lo que \( z\rightarrow{0} \) entonces \( e^z\rightarrow{0} \). ¿Pero \( e^z \) no debería tender a \( 1 \) pues sería una exponencial elevada a \( 0 \)?

Si \( x\to -\infty \), no ocurre que \( z=x+iy \to 0 \).

Para funciones \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{C} \) está perfectamente definido el concepto de límite y conocemos bien sus propiedades.
Por ejemplo, si \( f(x)=u(x)+iv(x) \) con \( u(x) \) y \( v(x) \) reales, se verifica

          \( \displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to x_0}u(x)+i\displaystyle\lim_{x \to x_0}v(x) \)

en el supuesto de que los límites del segundo miembro existan.

En nuestro caso y dado que \( y \) es constante, estamos considerando la función \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{C} \) dada por

          \( f(x)=e^xe^{iy}=\underbrace{e^x\cos y}_{u(x)}+i\underbrace{e^x\sin y}_{v(x)} \).

En consecuencia,
 
         \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty} f(x)=\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty} e^x\cos y +i\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty} e^x\sin y=0\cdot \cos y+i\cdot 0\cdot \sin y=0. \)

Si, pero mi primera respuesta estaba en el contexto del apartado b), cuando \( y \rightarrow{} \infty \), por eso decía que solo hay límite si \( x \rightarrow{}-\infty\textrm{ o }x\rightarrow{}+\infty \), pero lamentablemente se me 'escabulleron' las e de la base ...

Saludos,

[Fernando Revilla]

Si, pero mi primera respuesta estaba en el contexto del apartado b), cuando \( y \rightarrow{} \infty \), por eso decía que solo hay límite si \( x \rightarrow{}-\infty\textrm{ o }x\rightarrow{}+\infty \), pero lamentablemente se me 'escabulleron' las e de la base ...

Ten en cuenta que mi respuesta iba en aras de un complemento a las respuestas anteriores vía aplicación de un conocido teorema de límites en el caso \( x\to -\infty \) y no como  análisis de erratas y/o "escabulles".   

[Arkhé]

Disculpad compañeros porque he estado unos días sin poderme conectar.

Muchas gracias por vuestras respuestas y ayudas. Sois mis gigantes newtonianos. 

Saludos,