[Frankie]

Buenas con un ejercicio más de álgebra. Dice así;

Da una aplicación lineal \( f:\mathbb{Q^3} \longrightarrow{\mathbb{Q^3}} \) que verifique que el vector \( (1,2,-1) \) pertenece al núcleo de \( f \), que \( f(1,-1,0)=(3,1,2) \) y que \( Im(f) \) sea el subespacio de ecuación: \( x-y-z=0 \).

Calculo la matriz de la aplicación \( f \) respecto a la base canónica.

Gracias de antemano

[Fernando Revilla]

Da una aplicación lineal \( f:\mathbb{Q^3} \longrightarrow{\mathbb{Q^3}} \) que verifique que el vector \( (1,2,-1) \) pertenece al núcleo de \( f \), que \( f(1,-1,0)=(3,1,2) \) y que \( Im(f) \) sea el subespacio de ecuación: \( x-y-z=0 \).

Una base de \( \text{Im }f \) te dará \( \left\{{(1,1,0), (1,0,1)}\right\} \). Entonces,

          \( (3,1,2)=1(1,1,0)+2(1,0,1)\in \text{Im }f. \)

Por hipótesis \( f(1,2,-1)=(0.0,0) \) y \( f(1,-1,0)=(3,1,2)\in \text{Im }f \). Una base de \( \mathbb{Q}^3 \) es (por ejemplo)

          \( B=\left\{{(1,2,-1),(1,-1,0), (0,0,1)}\right\}. \)

Entonces, la aplicación lineal \( f:\mathbb{Q^3} \longrightarrow{\mathbb{Q^3}} \) dada por

          \( f(1,2,-1)=(0.0,0) \)
          \( f(1,-1,0)=(3,1,2)\in \text{Im }f \)
          \( f(0,0,1)=(1,1,0)\in \text{Im }f \)

satisface todas las condiciones pedidas.

Para expresar \( f \) en la canónica puedes proceder como en el problema 3 de Cambio de base en aplicaciones lineales, con preferencia usa el segundo método.
         

[Frankie]

Muchas gracias Fernando, me ha quedado bastante claro, pero me piden dar una aplicación lineal a partir de esas condiciones. No sé cómo sería para sacar una aplicación a partir de esas.

Gracias.

[Fernando Revilla]

Muchas gracias Fernando, me ha quedado bastante claro, pero me piden dar una aplicación lineal a partir de esas condiciones. No sé cómo sería para sacar una aplicación a partir de esas.

No entiendo. La aplicación que te he dado está bien definida al dar los transformados de una base del espacio inicial y es fácil verificar que se cumplen las condiciones dadas. La última parte es técnica y tienes el método en el enlace que te proporcioné.

[Frankie]

Lo siento, Fernando. Aplicaciones Lineales hemos dado muy pocas y tengo poca idea, pero, ¿una aplicación lineal no viene dada como \( f(x,y,z) \)?

[Fernando Revilla]

Lo siento, Fernando. Aplicaciones Lineales hemos dado muy pocas y tengo poca idea, pero, ¿una aplicación lineal no viene dada como \( f(x,y,z) \)?

No necesariamente. También queda determinada dando los transformados de una base del espacio inicial. Si quieres expresarla de la forma \( f(x,y,z)=\ldots \), considera la base canónica \( \left\{{e_1,e_2,e_3}\right\} \) de \( \mathbb{Q}^3 \) halla \( f(e_1),f(e_2),f(e_3) \) como en el enlace que te di y tendrás

          \( f(x,y,z)=f(xe_1+ye_2+ze_3)=xf(e_1)+yf(e_2)+zf(e_3)=\ldots \)

[Frankie]

Estupendo, ¡gracias Fernando!