Autor Tema: Dividir un polinomio entre otro

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12 Febrero, 2018, 07:43 pm
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Frankie

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\geq{}Hola de nuevo,

El ejercicio dice así;

Calcula el resto de dividir \( x^{17}+2 \) entre \( x+4 \) en \( \mathbb{Z_5} \).

He comenzado de la siguiente forma;
\( x+4= x-(-4) = x-1 \) en \( \mathbb{Z_5} \) acorde al teorema del resto.

También tenemos que \( mcd(1,5)=1 \) y que por lo tanto \( \exists{l \in{\mathbb{N \geq{1}}}} | 1^l \equiv{1 mód 5} \)

No sé si voy bien encaminado, ya que cualquier \( l \) cumpliría esa condición, y desde aquí ya no sé seguir...

Espero que me puedan ayudar a partir de aquí. ¡Gracias de antemano!

12 Febrero, 2018, 10:38 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Hola:
\geq{}Hola de nuevo,

El ejercicio dice así;

Calcula el resto de dividir \( x^{17}+2 \) entre \( x+4 \) en \( \mathbb{Z_5} \).

He comenzado de la siguiente forma;
\( x+4= x-(-4) = x-1 \) en \( \mathbb{Z_5} \) acorde al teorema del resto.

También tenemos que \( mcd(1,5)=1 \) y que por lo tanto \( \exists{l \in{\mathbb{N \geq{1}}}} | 1^l \equiv{1 mód 5} \)

No sé si voy bien encaminado, ya que cualquier \( l \) cumpliría esa condición, y desde aquí ya no sé seguir...

Espero que me puedan ayudar a partir de aquí. ¡Gracias de antemano!
Supongo que el teorema del resto se puede aplicar en en \( \mathbb{Z_5} \)
Por tanto el resto de la división es el mismo que si dividimos  \( P(x)=x^{17}+2 \) entre \( x-1  \) , entonces:

\( resto=P(1)=3 \)

Saludos.
P.D.: ruego revisión
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

12 Febrero, 2018, 11:27 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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12 Febrero, 2018, 11:33 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Si no me equivoco \( x^{17}\equiv x\bmod 5 \) ya que \( x^{\varphi(n)}\equiv 1\bmod n \) y \( \varphi(5)=4 \). Entonces \( x^{17}+2\equiv x+2\bmod 5 \), por lo cual \( \frac{x+2}{x-1}=\frac{x-1+3}{x-1} \) por lo que el resto sería \( 3 \).

Repito: podría haber cometido una brutalidad matemática, la teoría de números la tengo muy olvidada.

13 Febrero, 2018, 12:14 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Si no me equivoco \( x^{17}\equiv x\bmod 5 \) ya que \( x^{\varphi(n)}\equiv 1\bmod n \) y \( \varphi(5)=4 \). Entonces \( x^{17}+2\equiv x+2\bmod 5 \), por lo cual \( \frac{x+2}{x-1}=\frac{x-1+3}{x-1} \) por lo que el resto sería \( 3 \).

Repito: podría haber cometido una brutalidad matemática, la teoría de números la tengo muy olvidada.

No es lo mismo el polinomio \( x^{17} \) en \( \mathbb{Z}_5[x ] \) que el conjunto de valores de \( x^{17} \) en \( \mathbb{Z}_5 \). Ahí está la confusión.

Saludos.

13 Febrero, 2018, 12:30 am
Respuesta #5

Masacroso

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Hola

Si no me equivoco \( x^{17}\equiv x\bmod 5 \) ya que \( x^{\varphi(n)}\equiv 1\bmod n \) y \( \varphi(5)=4 \). Entonces \( x^{17}+2\equiv x+2\bmod 5 \), por lo cual \( \frac{x+2}{x-1}=\frac{x-1+3}{x-1} \) por lo que el resto sería \( 3 \).

Repito: podría haber cometido una brutalidad matemática, la teoría de números la tengo muy olvidada.

No es lo mismo el polinomio \( x^{17} \) en \( \mathbb{Z}_5[x ] \) que el conjunto de valores de \( x^{17} \) en \( \mathbb{Z}_5 \). Ahí está la confusión.

Saludos.

¿Pero el conjunto de valores de \( x^{17} \) no está contenido en \( \{0,1,2,3,4\} \)? Entonces se puede aplicar lo de antes. Si \( a\equiv b\bmod n \) entonces se cumple que \( ka\equiv kb\bmod n \) y \( a^k\equiv b^k\bmod n \).

13 Febrero, 2018, 12:43 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

¿Pero el conjunto de valores de \( x^{17} \) no está contenido en \( \{0,1,2,3,4\} \)? Entonces se puede aplicar lo de antes. Si \( a\equiv b\bmod n \) entonces se cumple que \( ka\equiv kb\bmod n \) y \( a^k\equiv b^k\bmod n \).

Pero precisamente el problema está en que no estamos hablando de conjunto de valores, sino de polinomios.

En el caso particular en el que dividimos por un polinomio de grado 1 el argumento que usas funciona, porque el resto es un número que por el Teorema del Resto equivale \( a \) evaluar en el punto a si dividimos por \( x-a \); pero si no se aclara bien su alcance puede llevar a equívocos.

La igualdad \( x^{17}=x \) mod \( 5 \) es cierta para todo \( x\in \mathbb{Z}_5 \).

Pero no es lo mismo el polinomio \( x^{17} \) que el polinomio \( x \).

Por ejemplo el resto de dividir \( x^{17} \) por \( x \) es cero; pero el resto de dividir el polinomio \( x \) por \( x^{17} \) es \( x \).

Saludos.

13 Febrero, 2018, 05:33 pm
Respuesta #7

Frankie

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Buenas a todos, y gracias por los comentarios.

La solución de robinlambada es correcta. Solo quería confirmar, en caso de que en lugar de dividir entre \( x-1 \) fuese entre \( x-4 \), por ejemplo, tendría que hacer \( 4^{\varphi{(17)}} \), ya que \( mcd(4,5)=1 \), ¿cierto?

Y ya desde ahí, proceder con las deducciones siguientes y sacar el resto, que eso sí se hacerlo.

Gracias a todos.

14 Febrero, 2018, 10:35 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Buenas a todos, y gracias por los comentarios.

La solución de robinlambada es correcta. Solo quería confirmar, en caso de que en lugar de dividir entre \( x-1 \) fuese entre \( x-4 \), por ejemplo, tendría que hacer \( 4^{\varphi{(17)}} \), ya que \( mcd(4,5)=1 \), ¿cierto?

No.

En general el resto de dividir \( p(x) \) por \( x-a \) es \( p(a) \).

Entonces si quieres hallar el resto de dividir \( p(x)=x^{17} \) por \( x-4 \) tienes que hallar \( p(4)=4^{17} \).

Si trabajas en \( \mathbb{Z}_5 \) tendrías que hallar \( 4^{17} \) mod \( 5 \). Para ello:

1) Puedes usar el Teorema de Euler y dado que \( mcd(4,5)=1 \):

\( 4^{\varphi(5)}=1 \) mod \( 5 \)

te queda \( 4^4=1 \) mod \( 5 \). Por tanto:

\( 4^{17}=4^{4\cdot 4+1}=4^1=4 \) mod \( 5 \)

2) O bien en ese caso dado que \( 4=-1 \) mod \( 5 \) es más rápido:

\( 4^{17}=(-1)^{17}=-1=4 \) mod \( 5 \)

Saludos.

16 Febrero, 2018, 05:39 pm
Respuesta #9

Frankie

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Genial, todo muy claro. ¡Gracias Luis!