[mh]

Hola,

Tengo varias dudas con respecto al siguiente problema de probabilidad:

Un laboratorio realiza análisis de sangre para detectar si un individuo tiene una determinada enfermedad. El análisis es efectivo en un 95% de las ocasiones, pero da un 1% de falsos positivos (esto es, da positivo condicionado a que no se tiene la enfermedad). El 0'2% de la población tiene la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que ha dado negativo en el análisis tenga esta enfermedad?

En primer lugar, tomo los sucesos E y N, siendo E el suceso "tener la enfermedad" y N el suceso "dar negativo en el análisis". A continuación, intento calcular la probabilidad del suceso N condicionado a E ("dar negativo condicionado a tener la enfermedad") utilizando la regla de Bayes:

\( P(N|E) = \displaystyle\frac{P(N\cap{E})}{P(E)} \)

¿Pero es correcto este planteamiento para calcular la probabilidad buscada? En ese caso, ¿cómo puedo continuar con el cálculo de la misma? Supongo que tengo que intentar utilizar el dato de los falsos positivos en el cálculo (\( P(\overline{N}|\overline{E}) \)), pero no se me ocurre cómo.


Muchas gracias por adelantado.

[bepro]

Primero debes de saber la función de distribucion para efectuar todos los calculos.

[mh]

En este caso no tengo los datos necesarios para establecer una función de distribución, ¿no? Creo que no me queda otra que utilizar la regla de Bayes o algo similar.

[bepro]

Es que la variable aleatoria y la función de densidad pueden ser continuas o discretas y hay muchos tipos de funciones de distribucion para las variables, es que es fundamental para resolver el problema, no utilizando el teorema de Bayes u otros sin saber la funcion de distribucion no se puede resolver el problema.

[Luis Fuentes]

Hola
 
 No hace falta saber distribución ninguna. Tienes un espacio probabilístico y conociendo la probabilidad de algunos sucesos tienes que calcular las de otros.

 Tus datos son:

\(  P(E)=0.002 \)   (porcentaje de enfermos)
\(  P(\overline{E})=0.998 \)   (no enfermos)
\(  P(\overline{N}/\overline{E})=0.01 \)  (no enfermos a los que les da positivo)
\(  P(N/\overline{E})=0.99 \) (no enfermos a los que les da negativo)
\(  P(E\cap \overline{N})+P(\overline{E}\cap N)=0.95 \) (efectividad: enfermos con positivo y no enfermos con negativo)

 Inténtalo ahora.

Saludos.

[mh]

Hola,

Muchas gracias por tu respuesta, el_manco. Estoy intentando calcular \( P(N\cap{E}) \) a partir de las probabilidades de sucesos conocidos, pero tengo problemas. Queremos conocer:

\( P(N/E) = \displaystyle\frac{P(N\cap{E})}{P(E)} \)

Por un lado, \( P(E) = 0,002 \).

Por otro, tenemos que \( P(E \cap \overline{N}) + P(\overline{E} \cap N) = 0.95 \) y, por tanto (¿es posible que afirmar lo siguiente sea erróneo?):

\( P(E \cap \overline{N}) + P(\overline{E} \cap N) + P(E \cap N) + P(\overline{E} \cap \overline{N}) = 1 \)

Luego:

\( P(E \cap N) + P(\overline{E} \cap \overline{N}) = 1 - 0,95 = 0,05 \Rightarrow P(E \cap N) = 0,05 - P(\overline{E} \cap \overline{N}) \)

Por la regla de Bayes, tenemos que:

\( P(\overline{N}/\overline{E}) = \displaystyle\frac{P(\overline{N}\cap{\overline{E}})}{P(\overline{E})} \Rightarrow P(\overline{N}\cap{\overline{E}) = P(\overline{N}/\overline{E}) \cdot P(\overline{E}) = 0,01 \cdot 0,998 = 0,00998 \)

Por lo tanto:

\( P(E \cap N) = 0,05 - P(\overline{E} \cap \overline{N}) = 0,05 - 0,00998 = 0,04002 \)

Así, finalmente tenemos que:

\( P(N/E) = \displaystyle\frac{P(N\cap{E})}{P(E)} = \displaystyle\frac{0,04002}{0,002} = 20,01 \Rightarrow \) ¡Imposible!

[mh]

Hola,

He seguido intentando cosas diferentes desde mi último mensaje, pero no llego a ningún lado. La verdad es que la manera a la que más "lejos" llego es la que menciono en mi mensaje anterior, pero obtengo un valor de probabilidad fuera del rango [0, 1] y, por tanto, erróneo.

No sé si es que la premisa de la que parto es errónea:

\( P(E \cap \overline{N}) + P(\overline{E} \cap N) + P(E \cap N) + P(\overline{E} \cap \overline{N}) = 1 \)

Pero es que si intento representar gráficamente los conjuntos anteriores, todas sus probabilidades deberían sumar 1, ¿no?

Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Tu fórmula es correcta.

\( P(E \cap \overline{N}) + P(\overline{E} \cap N) + P(E \cap N) + P(\overline{E} \cap \overline{N}) = 1 \)

 Quizá estamos intepretando mal el enunciado o éste es incorrecto.
 
 Fíjate que ya nos dicen que para gente sana el test tiene un 99% de fiabilidad. Y el problema es que no hay suficientes enfermos (sólo el 0.2%) para que el mal funcionamiento del test sobre ellos pueda empeorar la efectividad al 95%.

Saludos.

[mh]

Muchas gracias de nuevo por tu ayuda, el_manco.

Intentaré aclarar más el enunciado para ver si hay que interpretarlo de otra forma o si es incorrecto.

[mvm]

Hola Buenas, yo también he intentado resolver el problema y he llegado a la misma conclusión, lo que no se como resolver la probabilidad de resultados negativos(P(-)), todos los demás datos los tenemos, es decir queda la siguiente expresión :

\( P(+/E)+P(+/\overline{E})+P(-/E)+P(-/\overline{E})=1 \)

Despejando queda :

\( 0.95+0.01+P(-/0.002)+P(-/0.998)=1 \)

Hasta ahí, me quedo, he probado de aplicar Bayes pero no lo veo claro.

Una ayuda por favor.