Hola,
El enunciado tal y como estaba planteado no era totalmente claro. Esta es su versión definitiva:
Un laboratorio realiza análisis de sangre para detectar si un individuo tiene una determinada enfermedad. El análisis es efectivo en un 95% de las ocasiones condicionado a que se tiene la enfermedad, pero da un 1% de falsos positivos (esto es, da positivo condicionado a que no se tiene la enfermedad). El 0'2% de la población tiene la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que ha dado negativo en el análisis tenga esta enfermedad?
Del enunciado podemos extraer las siguientes probabilidades:
\( P(E) = 0,002 \)
\( P(\overline{E}) = 1 - P(E) = 1 - 0,002 = 0,998 \)
\( P(\overline{N}/\overline{E}) = \displaystyle\frac{P(\overline{N}\cap{\overline{E}})}{P(\overline{E})} = 0,01 \Rightarrow P(\overline{N}\cap{\overline{E}) = P(\overline{N}/\overline{E}) \cdot P(\overline{E}) = 0,01 \cdot 0,998 = 0,00998 \)
\( P(N/\overline{E}) = \displaystyle\frac{P(N\cap{\overline{E}})}{P(\overline{E})} = 0,99 \Rightarrow P(N\cap{\overline{E}) = P(N/\overline{E}) \cdot P(\overline{E}) = 0,99 \cdot 0,998 = 0,98802 \)
\( P(\overline{N}/E) = \displaystyle\frac{P(\overline{N}\cap{E})}{P(E)} = 0,95 \Rightarrow P(\overline{N}\cap{E) = P(\overline{N}/E) \cdot P(E) = 0,95 \cdot 0,002 = 0,0019 \)
Tenemos que calcular \( P(E/N) = \displaystyle\frac{P(E\cap{N})}{P(N)} \).
Lo he hecho de la manera que expongo a continuación. Como tenemos que:
\( P(E \cap \overline{N}) + P(\overline{E} \cap N) + P(E \cap N) + P(\overline{E} \cap \overline{N}) = 1 \Rightarrow \)
\( \Rightarrow P(E \cap N) = 1 - P(E \cap \overline{N}) + P(\overline{E} \cap N) + P(\overline{E} \cap \overline{N}) = \)
\( = 1 - 0,00998 - 0,98802 - 0,0019 = 0,0001 \)
Por otra parte, tenemos que:
\( P(E/N) = \displaystyle\frac{P(E\cap{N})}{P(N)} \)
\( P(\overline{E}/N) = \displaystyle\frac{P(\overline{E}\cap{N})}{P(N)} \)
\( P(E/N) + P(\overline{E}/N) = 1 \)
Luego:
\( \displaystyle\frac{P(E\cap{N})}{P(N)} + \displaystyle\frac{P(\overline{E}\cap{N})}{P(N)} = 1 \Rightarrow \displaystyle\frac{P(E\cap{N}) + P(\overline{E}\cap{N})}{P(N)} = 1 \Rightarrow \)
\( \Rightarrow \displaystyle\frac{0,0001 + 0,98802}{P(N)} = 1 \Rightarrow P(N) = 0,98812 \)
Finalmente:
\( P(E/N) = \displaystyle\frac{P(E\cap{N})}{P(N)} = \displaystyle\frac{0,0001}{0,98812} = 0,000101 \)
¿Es correcto así?
Muchas gracias por adelantado.
