[patrics]

Hola a todos,
Estoy intentando calcular el centro de una circunferencia en el espacio, de la cual tengo un arco de puntos. Por lo que se me ha ocurrido escoger los 3 puntos que se encuentren más alejados entre sí.

He estado investigando en Internet como poder resolverlo y la resolución parece fácil cuando se trata de una circunferencia plana, el problema se complica cuando hablamos del espacio. Según he estado leyendo se resuelve de la misma forma, es decir, el objetivo sería calcular las cuerdas de la circunferencia que une los tres puntos y calcularle sus mediatrices. Una vez calculada las mediatrices habría que calcular el punto donde se cortan las tres rectas y éste sería el circuncentro y por tanto el centro de mi circuferencia.

Estoy teniendo muchos problemas con los cálculos y no se bien como abordarlo, espero puedan ayudarme.

los tres puntos escogidos del arco son los siguientes:

A = [ -0.2005 0.1484 -1.6325]
B = [ -0.1740 -0.0336 -1.5762]
C = [ -0.1955 0.0769 -1.5407]

[ingmarov]

Hola

Yo primero calcularía el plano que contiene a los tres puntos, luego las rectas mediatrices de las cuerdas y luego la intersección de estas rectas.

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Halla las ecuaciones de dos planos mefiadores de los tres puntos, equivalentes a las mediatrices en el plano, y halla la recta en que se cortan. La intersección de esta recta con el plano que contiene a los puntos será el centro.  O directamente, halla la intersección de los tres planis.

Saludos,

[ingmarov]

Halla las ecuaciones de dos planos mefiadores de los tres puntos, equivalentes a las mediatrices en el plano, y halla la recta en que se cortan. La intersección de esta recta con el plano que contiene a los puntos será el centro.  O directamente, halla la intersección de los tres planis.

Saludos,

Esta me gusta más.

[patrics]

Muchas gracias por vuestras respuestas, lo que me pasa es que no sé calcular las mediatrices... si me pudierais ayudar en este paso...

[patrics]

Vale, lo estoy haciendo con el plano mediador que me habéis comentado. para lo cual calculo el punto medio entre A y C, y el vector normal al plano que sería realmente el vector AC por ejemplo, pues resulta que el plano que me resulta es el siguiente:

plano mediador AC = 0.005x-0.0715y+0.0978z = 0.0068

Cuando lo represento en matlab por ejemplo para ver si el plano resultante efectivamente es el mediador resulta que no tiene nada que ver... no sé que estoy haciendo mal si alguno me lo puede resolver y ya lo hago yo con los otros dos planos....

Muchas gracias!

[Ignacio Larrosa]

Vale, lo estoy haciendo con el plano mediador que me habéis comentado. para lo cual calculo el punto medio entre A y C, y el vector normal al plano que sería realmente el vector AC por ejemplo, pues resulta que el plano que me resulta es el siguiente:

plano mediador AC = 0.005x-0.0715y+0.0978z = 0.0068

Cuando lo represento en matlab por ejemplo para ver si el plano resultante efectivamente es el mediador resulta que no tiene nada que ver... no sé que estoy haciendo mal si alguno me lo puede resolver y ya lo hago yo con los otros dos planos....

Muchas gracias!

El método es bueno, repasa los cálculos. el coeficiente de \( z \) debe ser \( 0.0918 \), por ejemplo.

Otra forma de hallar el plano mediador, igual que la mediatriz en el plano, es igualar los cuadrados de las distancias. Si son los puntos \( (a, b, c) \) y \( (a', b', c') \), puedes obtener la ecuación del plano mediador como:

\( (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = (x - a')^2 + (y - b')^2 + z - c')^2 \)

donde desaparecen todos los términos en \( x^2, y^2\textrm{ y }z^2 \). A veces, es más rápido.

Saludos,

[ingmarov]

Hola

Haciendo uso del programa Octave (muy similar a Matlab) con el método propuesto por el maestro Ignacio, obtengo como solución

Spoiler

P=( -0.1829648087202993,  0.0475849529441691, -1.6380959348680868)

[cerrar]

Intentaré el método en que pensamos (inicialmente) y lo publicaré, luego.

Saludos

[ingmarov]

Aquí va

Spoiler

Primero, calculo los vectores AB y BC

\( \vec{AB}=(0.0265, -0.182, 0.0563)\qquad\vec{BC}=(-0.0215,  0.1105,  0.0355) \)

El vector normal al plano que contiene los punto es:

\( \vec{N}=\vec{AB}\times\vec{BC}=(-1.268215e-02, -2.1512e-03, -9.8475e-04) \)

Entonces la ecuación del plano es:

\( P:(-1.268215e-02)x -(2.1512e-03)y -(9.8475e-04)z=0.00383113737 \)


El punto medio entre A y B es

\( MAB=(-0.18725,  0.0574, -1.60435) \)

El vector director de la recta que pasa por MAB, perpendicular a AB es:

\( \vec{N}\times \vec{AB}=(-3.0033706e-04, 6.8790917e-04, 2.3651581e-03) \)

Entonces la recta es:

\( L_1: (-0.18725,  0.0574, -1.60435)+t_1(-3.0033706e-04, 6.8790917e-04, 2.3651581e-03) \)


El punto medio entre B y C es:

MBC=(-0.18475,   0.02165,  -1.55845)

El vector director de la recta del plano que pasa por MBC, perpendicular a BC, es:

\( \vec{N}\times\vec{BC}=(3.2447275e-05,   4.7138845e-04,  -1.447628375e-03) \)

Entonces la recta es:

\( L_2: (-0.18475,  0.02165,  -1.55845)+t_2(3.2447275e-05,   4.7138845e-04,  -1.447628375e-03) \)


Ahora encontramos la intersección de las rectas

Podemos igualar dos componentes de ambas rectas, así

\( (-0.18725,  0.0574)+t_1(-3.0033706e-04, 6.8790917e-04)=(-0.18475, 0.02165)+t_2(3.2447275e-05, 4.7138845e-04) \)


Resulta el sistema en forma matricial:

\( \begin{bmatrix}{-3.0033706e-04}&{-3.2447275e-05}\\{6.8790917e-04}&{-4.71388450000000e-04}\end{bmatrix}\left[\begin{array}{ccc}{t_1}\\{t_2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{0.0025}\\{-0.03575}\end{array}\right] \)



Resulta

t1=-14.2679404256686

t2=55.0182189321119


Evaluando en L1 nos arroja el punto

(-0.1829648087202995   0.0475849529441689  -1.6380959348680877)

\( \bf\color{red}e-04=\times 10^{-4} \)

[cerrar]

La misma respuesta,     Gracias Octave 


No creo que después de ver tantos pasos para resolver este problema alguien más sea tentado con este procedimiento (Excepto Feriva  , amante del álgebra de batalla)

[patrics]

Muchísimas gracias! me habéis ayudado muchísimo!!!!