Hola
Juan Luis usa sus propias fórmulas para descartar los múltiplos de 2, de 3, de 5, de 7, de 11, … menores que cualquier número par $$x$$.
Deduzco que intenta acotar los números primos para poder definir, finalmente, las parejas de primos que cumplen Goldbach.
Seguramente este método, como otros muchos, tiene sus limitaciones, entre ellas la falta de rigurosidad numérica.
En Teoría de Números de Rincón Matemático he publicado un documento sobre la Conjetura de Goldbach.
Inicialmente, para estudiar esta conjetura se pueden formar dos sucesiones aritméticas (A y B), que incluyan números primos, y que estén emparejadas de modo que cada término de la sucesión A, sumado con su pareja de la sucesión B, dé el número par $$x$$ correspondiente.
En la parte que uso progresiones aritméticas de módulo 30, aparece la expresión: $$\pi_{(ax)}\approx \frac{\pi_{(x)}}{8}$$ siendo:
$$\pi_{(x)}$$ Número de primos iguales o menores que $$x$$
$$\pi_{(ax)}$$ Número de primos de la sucesión A para $$x$$
8 Número total de progresiones aritméticas de módulo 30 disponibles
Para $$x = {10}^6$$, el error máximo de la aproximación de la fórmula anterior es 0,428%.
Para $$x = {10}^9$$, el error máximo es 0,0215%.
El valor de este error va disminuyendo a medida que es mayor el número par $$x$$ analizado.
Aplicamos también la función contadora de primos iguales o menores que un número $$x$$: $$\pi_{(x)}\sim{}\frac{x}{\text{ln}(x)}$$
Esta función tiene un comportamiento asintótico dando resultados numéricos menores que los valores reales.
El error absoluto (número real de primos $${-}$$ resultado de la fórmula), aumenta a medida que avanzamos en la recta numérica pero el error relativo va disminuyendo tendiendo a 0% cuando $$x$$ tiende a infinito.
Finalmente, uniendo las dos fórmulas anteriores: $$\pi_{(ax)}\sim{}\frac{x}{8\text{ln}(x)}$$
Con progresiones aritméticas de módulo 30, y usando la fórmula anterior, se puede afirmar, finalmente, que la Conjetura de Goldbach se cumple, como mínimo, hasta $${x}={10}^{11,4}$$ ya que, por debajo de este valor, todos los parámetros que intervienen en el proceso son mayores que un valor mínimo definido para el cual la conjetura sería falsa.
Usando progresiones de módulo 210 se cumple, como mínimo, hasta $${x}={10}^{21}$$. Con progresiones de módulo 2.310, hasta $${x}={10}^{27}$$
Estos valores aumentan a medida que aumenta el módulo de las progresiones llegando a infinito, resultando, de este modo, resuelta la conjetura.
Por ejemplo, para módulo $$1,89·10^{247}$$ se cumple, como mínimo, hasta $${x}={10}^{3018}$$
Analicemos el posible error o desviación de la fórmula: $$\pi_{(ax)}\sim{}\frac{x}{8\text{ln}(x)}$$
En el documento se analiza un supuesto error negativo del 30% (superando el error máximo real). 100%$${-}$$30% = 70%.
En este supuesto tenemos que: 70% de 11,4 = 8 70% de 21 = 14,7 70% de 27 = 18,9 … 70% de 3.018 = 2.112 …
La conjetura se cumpliría: hasta $$10^8$$ hasta $$10^{14,7}$$ hasta $$10^{18,9}$$ … hasta $$10^{2112}$$ …
Comprobamos que, aún con un supuesto error negativo del 30%, la Conjetura de Goldbach sigue cumpliéndose hasta el infinito.
Del documento en PDF que he publicado sobre la Conjetura de Goldbach aún no he recibido opiniones matemáticas concretas (negativas o … positivas).
Lo que expongo a continuación no está incluido en el documento mencionado.
Supongamos que en el proceso que incluye la fórmula $$\pi_{(ax)}\sim{}\frac{x}{8\text{ln}(x)}$$ resulta un error negativo del 75%. 100% $${-}$$75% = 25%.
Es similar a la suposición de que el número de primos de la recta numérica fuera solamente el 25% de los que realmente son.
En este supuesto tenemos que: 25% de 11,4 = 2,85 25% de 21 = 5,25 25% de 27 = 6,75 … 25% de 3.018 = 754,5 …
Con progresiones de módulo 30, la conjetura se cumpliría hasta: $${x}={10}^{2,85}=708$$
Con progresiones de módulo 210, la conjetura se cumpliría hasta: $${x}={10}^{5,25}=177.828$$
Con progresiones de módulo 2.310, la conjetura se cumpliría hasta: $${x}={10}^{6,75}=5.623.413$$
…
Con progresiones de módulo $$1,89·10^{247}$$, la conjetura se cumpliría hasta: $${x}={10}^{754,5}$$
…
Y así hasta el infinito.
Verificamos que, aún con un supuesto error negativo del 75%, la Conjetura de Goldbach sigue cumpliéndose hasta el infinito.
Todo lo que he explicado para esta conjetura en esta respuesta, se puede aplicar en los mismos términos a la Conjetura de los Primos Gemelos.
Con lo que se ha expuesto, considero que hay un margen muy amplio para compensar errores negativos que se puedan generar, supuestamente, en las fórmulas usadas en el proceso.
Saludos
