[athairdos]

Gracias; la última parte de la respuesta (sobre la condición que deben satisfacer las coordenadas de los puntos \( P_{i} \) no la he leído todavía para tratar de entender cual es la condición que podrían tener que satisfacer.; de ahí que hago una pregunta adicional); es posible considerar, por ej., el sistema dado por los puntos \( \alpha=(3:3) \), \( \beta=(4:2) \) y \( \beta-\alpha=(1:-1) \) como un sistema (ya) normalizado y respecto del cual, las coordenadas de \( \alpha \) serian \( (1:0) \) y las coordenadas de \( \beta-\alpha=(0:1) \) (punto del infinito)? Si esto fuera afirmativo, entonces la condición seria que la suma de las coordenadas resulte igual al vector de coordenadas del punto unidad, es decir \( (1:1) \)? (no se si en este "intento" hay algo circular o tautológico: aquí las coordenadas no homogéneas respectivas de \( \alpha \) y \( \beta-\alpha \) serian \( 0 \) y \( \infty \)...)? Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias; la última parte de la respuesta (sobre la condición que deben satisfacer las coordenadas de los puntos \( P_{i} \) no la he leído todavía para tratar de entender cual es la condición que podrían tener que satisfacer.; de ahí que hago una pregunta adicional); es posible considerar, por ej., el sistema dado por los puntos \( \alpha=(3:3) \), \( \beta=(4:2) \) y \( \beta-\alpha=(1:-1) \) como un sistema (ya) normalizado y respecto del cual, las coordenadas de \( \alpha \) serian \( (1:0) \) y las coordenadas de \( \beta-\alpha=(0:1) \) (punto del infinito)?

Si. Si tomas la referencia proyectiva \( R=\{(3:3),(1:-1); (4,2)\} \) (En este orden. El uso es escribir el punto unido de último).

Spoiler

Si cambias el orden cambia la referencia y por tanto las coordenadas. Estas serían otras distintas:

 \( R'=\{(1:-1),(3:3); (4,2)\} \)
 \( R''=\{(3:3),(4:2); (1,.-1)\} \)

[cerrar]

Las coordenadas de \( (3:3) \) en esa referencia son \( (1:0)_R \) y las de \( (1:-1) \) serían \( (0:1)_R \).

Si esto fuera afirmativo, entonces la condición seria que la suma de las coordenadas resulte igual al vector de coordenadas del punto unidad, es decir \( (1:1) \)

¿La condición para qué? No se de que condición hablas.

(no se si en este "intento" hay algo circular o tautológico: aquí las coordenadas no homogéneas respectivas de \( \alpha \) y \( \beta-\alpha \) serian \( 0 \) y \( \infty \)...)? Saludos

¿Intento de qué?¿Qué se supone que estás "intentado"?.

Si trabajamos con la carta afín que tiene a \( \beta=(1:-1)=(0:1)_R \), como punto del infinito, entonces todo punto de la recta afín tiene coordenadas \( (1:y)_R \), es decir, la coordenada no homogénea es \( y \); efectivamente cuando \( y=0 \) se refiere al punto \( \alpha \).

Saludos.

[athairdos]

Gracias; en este contexto es válido hablar de cartas y atlas? por ejemplo, relacionar el hecho de la elección de distintos puntos del infinito con la elección de distintas cartas, por un lado; y, por otro, hablar de la colección de esas cartas como un atlas (en particular, se me ocurre la pregunta de si dicho enfoque, de cartas y atlases, podría ser apropiado para dar contexto a la afirmación de que, por ejemplo, la recta proyectiva es homeomorfa al circulo unitario y/o a la afirmación de que la recta proyectiva es isomorfa a la unión de 2 copias de una recta afín; esta ultima, parece particularmente adecuada para hablar de, en este caso una recta proyectiva, como una colección de cartas (que serian las cartas de cuya unión surge el espacio en cuestión, isomorfo a \( \mathbb{P^{1}} \))(?)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias; en este contexto es válido hablar de cartas y atlas?

Haces las preguntas de manera tan genérica, que dudo que de algunas dudo que se pueda sacar algo en limpio.

Si, si es válido hablar de cartas y atlas. Cuando uno escoge una recta afín dentro de la recta proyectiva, dejando fuera un punto (que será el del infinito de la recta afín), está escogiendo una carta afín. Un conjunto de cartas que recubra la recta proyectiva (dos en concreto) sería un atlas.

por ejemplo, relacionar el hecho de la elección de distintos puntos del infinito con la elección de distintas cartas

Si, lo acabo de comentar.

, por un lado; y, por otro, hablar de la colección de esas cartas como un atlas (en particular, se me ocurre la pregunta de si dicho enfoque, de cartas y atlases, podría ser apropiado para dar contexto a la afirmación de que, por ejemplo, la recta proyectiva es homeomorfa al circulo unitario

No creo que ayude especialmente el enfoque de cartas/atlas para probar dar contexto a la afirmación de que la recta proyectiva es homeomorfa al círculo unitario, aunque puede hacerse. Este homemorfismo viene directamente de la definición de recta proyectiva como el  cociente del plano menos el origen que identifica puntos proporcionales. Cada una de esas rectas corta en un punto a al semicircunferencia positiva e indentifica sus extremos.

Con cartas, habría que ver como tanto circunferencia como recta proyectiva pueden cubrirse con dos cartas que dejan un punto fuera y relacionarlas de manera concreta mediante homeomorfismos locales. Como te digo no es ni especialmente cómodo, ni especialmente intuitivo.

y/o a la afirmación de que la recta proyectiva es isomorfa a la unión de 2 copias de una recta afín;

Esto no es así; no se muy bien que significado das ahí a "isomorfa". La recta proyectiva es homeomorfa al "pegado" de dos rectas afines mediante una cierta aplicación.

esta ultima, parece particularmente adecuada para hablar de, en este caso una recta proyectiva, como una colección de cartas (que serian las cartas de cuya unión surge el espacio en cuestión, isomorfo a \( \mathbb{P^{1}} \))(?)

Insisto que no se que significado estás dando ahí a isomorfo; este enfoque es más bien topológico, así que uno hablaría más bien de homeomorfismo. Por otra parte en este último párrafo no se si estas diciendo algo nueve; vuelves a insistir en usar las cartas para manipular la recta proyectiva.

Saludos.

[athairdos]

Gracias; creo que mi pregunta apuntaba a la relacion entre cartas y abiertos (sin embargo, no estoy seguro de en que topología se deberían considerar los abiertos); me cuesta relacionar los conceptos topológicos, digamos, con los algebraicos (matricial, etc.) implícitos en el tratamiento del espacio proyectivo.

Tambien he leido mas o menos superficialmente sobre la cuestion de localizacion (de un anillo, etc.) y de vez en cuando no puedo evitar tratar de entender en que sentido una carta afin en un espacio proyectivo, digamos, asociada a una deshomogenizacion, tiene un aspecto de localizacion, etc. De ahi algunas preguntas tan genericas. En todo, caso el tema principal sobre las referencias, el punto unido, etc., pienso que me ha quedado bastante claro ahora. Tengo otras dudas un tanto distintas que escribire en otro hilo. Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias; creo que mi pregunta apuntaba a la relacion entre cartas y abiertos (sin embargo, no estoy seguro de en que topología se deberían considerar los abiertos); me cuesta relacionar los conceptos topológicos, digamos, con los algebraicos (matricial, etc.) implícitos en el tratamiento del espacio proyectivo.

Es que las cartas se definen sobre abiertos. La topología depende del contexto; podría ser la topología usual si hablamos de geometría diferencial o variedad topológicas; o la topología de Zariski en el contexto de la geometría algebraica (los abiertos son complementarios de conjuntos de anulación de polinomios). Aunque todo abierto de Zariski lo es usual, así que no hay mucha diferencia en este caso.

También he leído mas o menos superficialmente sobre la cuestión de localización (de un anillo, etc.) y de vez en cuando no puedo evitar tratar de entender en que sentido una carta afin en un espacio proyectivo, digamos, asociada a una deshomogenización, tiene un aspecto de localización, etc. De ahi algunas preguntas tan genericas. En todo, caso el tema principal sobre las referencias, el punto unido, etc., pienso que me ha quedado bastante claro ahora. Tengo otras dudas un tanto distintas que escribireé en otro hilo.

Mi recomendación seria que siguieses un texto concreto y sobre él preguntases las dudas. Siempre tengo la sensación que preguntas las cosas como de "oidas": "me suena que esto está relacionado con esto". Pero los "están relacionado" son muy difusos. En el fondo en matemáticas todo está relacionado.

Por otra parte conviene ir paso a paso; en matemáticas cada concepto se apoya en los anteriores.

Saludos.