Muchas gracias por tu interés RDC. Procuraré que te sea rentable.
Me sorprende que empieces considerando que \( a^3+b^3=-c^3 \) Me choca un poco. Por curiosidad, no sé si me podrías comentarlo un poco.
En el caso de los exponentes impares si las letras individuales son negativas lo son elevadas a ese exponente. La forma habitual de resolver esta ecuación es por descenso infinito, da igual que los factores implicados sean positivos o negativos. El motivo de poner esto: \( a^3+b^3+c^3=0 \) , es porque así las 3 letras tienen las mismas propiedades y le puedo asignar una condición a una de ellas sin perder generalidad de no haber hecho lo mismo pero en vez de esa letra con otra. Por ejemplo. Si parto de \( c^3=a^3+b^3 \) -y- demuestro que una letra es múltiplo de 3, entonces tengo que hacer un desarrollo completo para el caso de que \( c^3 \) sea múltiplo de 3 y luego otro desarrollo en el caso que otra de las letras que están al otro lado de la igualdad \( a^3 \) ó \( b^3 \) sean las que son múltiplos de 3.
Yo lo hago por esto último; pero presenta problemas si no utilizas el descenso infinito. Entonces el sentido del signo (-) es crítico y hay que utilizarlo muy escrupulosamente. Si encima la contradicción se basa en que tal cosa es congruente con 1 o es congruente con -1, no te digo. Esta demostración es especialmente complicada por eso y lo más seguro que el error esté en un signo aunque lo haya repasado 10 veces. Tengo otra propuesta similiar que se basa en una contradicción más cómoda, sobre la no coprimalidad de las letras de partida. Al final te comento.
Perfecto, entiendo que nos dices: \( a^3+b^3=-(3^{3k})(c_1·c_2)^3=-[3^{3k-1}c_1^3][3c_2^3] \) Además, me gusta porque es la parte donde yo le veo problemas a mi planteamiento. Aunque no sé si es necesario que el exponente sea 3k. No bastaría con k? Aunque no le veo problemas a ello.
Este es otro clásico, pero que embarulla. Sería más cómodo decir que \( 3 \) divide á \( c \) -y- punto, pero no es completo. De hecho se demuestra que es 9 como mínimo el que divide á \( c \) . Por eso \( 3^{k}\mid c \) -y- conocemos que k es como mínimo 2. Entonces \( 3^{3k}\mid c^3 \) .
Ahora bien, no estaría de acuerdo si se afirmara que dado \( a^3+b^3=\pm{c^3} \), uno de los tres elementos deba ser, sí o sí, múltiplo de 3. Es sólo una opción posible. Creo que la opción que no sea ninguno es factible cuando a y b son congruentes modulo 3 -No sé si lo digo bien.
Por ejemplo, si sumo \( 2^3+5^3 \) el resultado no será un múltiplo de 3 (es 133).
Efectivamente es como dices, pero claro 133 no es un cubo. Yo sé que 3 divide a una de las variables no por el 3 sino por el 9. Todo número al cubo dividido entre nueve resta, por decirlo así, 1 ó -1. Tengo \( a^3+b^3+c^3=0 \) : No sale, si ninguna variable es múltiplo de 9: -1 +1 -1 \( \neq \) 0 , etc. Imagina que parto de \( c^3=a^3+b^3 \) , entonces: -1 \( \neq \) -1 -1 ; tampoco sale porque -1 es 8 en el ciclo de 9 ¿ok? Luego 9 divide a una letra (que tiene que ser 0) y por tanto 3.
No tengo ni idea de qué son los anillos, ni los enteros de Eisenstein. Éstos últimos los he buscado en la wiki. Y tengo dudas.
Entiendo que:
Dado que \( c^3+b^3=(c+b)[c^2+b^2-cb] \), aquí aplicas lo que pone en el wikipedia sobre los primos, polinomios y los números de Eisenstein:
Por tanto, entiendo que transformas el polinomio \( [c^2+b^2-cb] \) por el siguiente producto de factores de Eisenstein: \( (b+c\omega)(b+c\omega^2) \).
Como ya he dicho no tengo ni idea de estos números, pero según la captura del wikipedia diría que esta expresión como producto de dos factores sólo se puede hacer cuando el polinomio expresa un número primo (y además el factor \( (b+c\omega) \) es un primo de Einsestein).
Por lo tanto, eso me genera dudas, porque entiendo que el polinomio \( [c^2+b^2-cb] \), si bien representa un número coprimo con \( (b+c) \), no necesariamente tiene que ser un número primo; verdad? De hecho ahí se dice que no debe ser un primo sino un cubo perfecto.
Así pues, ahí mi duda: cuando este polinomio no es un número primo, sino un cubo perfecto, ¿aún vale esta transformación en dos factores de "números de Einstein"?
Aquí voy a ser bruto matemáticamente en aras de explicarme. No te hacen falta conceptos como Anillo y Enteros de Eisenstein. Anillo: Un campo donde sólo se utilizan las operaciones de sumar, restar y multiplicar, NO dividir y por lo tanto sólo caben núlmeros enteros. Olvídate. Enteros de Eisenstein: El nombre de los enteros de un anillo concreto de esos.
Yo lo que hago es lo que has entendido:
Por tanto, entiendo que transformas el polinomio \( [c^2+b^2-cb] \) por el siguiente producto de factores de Eisenstein: \( (b+c\omega)(b+c\omega^2) \). . Sólo me interesa eso, poder factorizar algo que en Z no podría, para eso quiero ese anillo. En el terreno en el que yo me muevo no hay principios, sólo fines. Claro, que algunos principios sí hay que estudiar, te dejo los enlaces de los hilos de Carlos Ivorra donde yo aprendí estas cosas:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=82024.0https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=89121.0Eso y luego por curiosidad leyendo algunos libros y enlaces de internet. Lo de los números primos que comentas de la wiki está dicho en otro contexto, olvídate también "en ese sentido" de la palabra primo. Yo tengo dos factores \( (b+c\omega)(b+c\omega^2) \) que podrían ser en sí mismo primos pero que con toda probabilidad no lo son y representarían de ser el Teorema falso a números compuestos gigantescos. Lo relevante es que son
co-primos. Esto significa que si son iguales a un cubo, los dos tienen que ser cubos. Esto sí es necesario que lo sepas y lo comprendas. Míratelo y si no lo entiendes pregunta.
En todo caso, comentar que por lo que estoy entendiendo parece que será algo difícil generalizar este planteamiento a exponentes más grandes, no?
Muy buena intuición. No tiene generalización ninguna. A mí me parece por lo menos imposible.
De momento estas son mis dudas; para lo otro necesito un poco más de tiempo.
Tengo en dique seco otras 2 propuestas más sencillas que ésta por si quieres que las publique y abordarlas mejor. Una de ellas sí sería generalizable y por tanto el error no debe ser difícil de encontrar. Tú me vas diciendo.
Un cordial saludo
