[Carlos Ivorra]

Este hilo está dedicada a exponer una demostración elemental (no en el sentido de "tonta", sino de no requerir más que conocimientos elementales sobre los números enteros, polinomios y números complejos) del Último Teorema de Fermat para exponente \( p=5 \).

Para facilitar la lectura he creado otro hilo de comentarios, de modo que ruego a cualquiera interesado en participar con cualquier observación, pregunta, etc. que lo haga en dicho hilo. En los primeros mensajes hay algunas indicaciones sobre las motivaciones y la finalidad de este proyecto.

El lector interesado debería comparar con la prueba de Gauss presentada en este otro hilo para el caso p = 3.


Indice del Curso (Dale click a la sección a que quieras ir)


Introducción
Números Ciclotómicos
Unicidad
Conjugaciones
La Norma
p=p
La División Euclidea
Primos Ciclotómicos
Factorización Unica
Congruencias
Unidades Ciclotómicas
¡La Demostración!
La Aritmética Ideal




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[Carlos Ivorra]

Como todo el mundo sabe, el Último Teorema de Fermat es la afirmación de que, cuando \( n\geq 3 \), las ecuaciones

\( \color{blue} x^n+y^n=z^n \)

no admiten soluciones enteras no triviales, donde se consideran triviales las soluciones en las que una de las variables \( x, y, z \) toma el valor \( 0 \).

Fermat sólo demostró el caso \( n=4 \), a partir del cual es fácil probar que el UTF es cierto para todo exponente \( n\geq 3 \) si y sólo si es cierto para todo exponente primo \( p>2 \).

La primera prueba para \( p=3 \) se debe a Euler, y se apoyaba fuertemente en la factorización

\( \color{red} z^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2), \)

junto con un estudio de bajo qué condiciones el segundo factor puede ser un cubo perfecto. Para \( p=5 \) podríamos factorizar igualmente

\( \color{red} z^5 = (x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4), \)

pero el segundo factor se vuelve poco menos que intratable. Dirichlet presentó una prueba de este caso en la que, mediante un cambio de variable y algunas manipulaciones, lograba pasar a una expresión algo más simple, a saber:

\( \color{red} z^5 = 2p(p^4+10p^2q^2+5q^4). \)

Esta prueba está descrita en el libro de H.M. Edwards Fermat's Last Theorem, a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory.

Sin embargo, a la hora de obtener sistemáticamente pruebas para exponentes primos mayores, esta clase de argumentos se vuelve cada vez más intrincada y sin futuro. En su lugar, Lamé propuso una estrategia diferente que fue la que luego aprovechó Gauss para simplificar la prueba de Euler del caso \( p=3 \) y que, según veremos, también funciona para \( p=5 \). Más aún, abre una vía para demostrar el UTF para un gran número de exponentes, aunque la generalización del argumento pasa por algunos puntos nada triviales.

Esta estrategia está descrita en el hilo sobre el caso \( p = 3 \), y ahora vamos a presentarla de nuevo en el caso que nos interesa. Para ello consideramos el número complejo

\( \color{blue}\omega = \cos\frac{2\pi}5+i\sen\frac{2\pi}5. \)

Equivalentemente, se trata del número \( 1_{2\pi/5} \) de módulo \( 1 \) y argumento \( 2\pi/5 \). Teniendo en cuenta que el producto de dos números complejos se obtiene multiplicando sus módulos y sumando sus argumentos, vemos que las potencias de \( \omega \) son:

\( \omega^0 = 1,\quad  \omega^1 = \cos\frac{2\pi}5+i\sen\frac{2\pi}5, \quad\omega^2= \cos\frac{4\pi}5+i\sen\frac{4\pi}5,\quad\omega^3 =\cos\frac{6\pi}5+i\sen\frac{6\pi}5, \)

\( \omega^4 =\cos\frac{8\pi}5+i\sen\frac{8\pi}5,\quad \omega^5 =\cos 2\pi+i\sen2\pi = 1. \)

Tal y como muestra la figura, las potencias de \( \omega \) se sitúan en los vértices de un pentágono regular, y si añadimos sus opuestas tenemos un decágono regular.

En particular las potencias \( 1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4 \) son distintas dos a dos, y todas ellas cumplen que \( (\omega^k)^5 = (\omega^5)^k=1 \), luego todas ellas son raíces del polinomio \( T^5-1 \). Como un polinomio de grado 5 no puede tener más de 5 raíces, concluimos que las potencias de \( \omega \) son todas las potencias de dicho polinomio, luego éste factoriza como:

\( T^5-1 = (T-1)(T-\omega)(T-\omega^2)(T-\omega^3)(T-\omega^4) \).

Ahora sustituimos \( T=-x/y \) y multiplicamos por \( -y^5 \), con lo que obtenemos:

\( \color{blue} x^5+y^5 = (x+y)(x+\omega y)(x+\omega^2 y)(x+\omega^3y)(x+\omega^4y) \).

Así pues, si el UTF para exponente 5 es falso, existen números enteros no nulos \( x, y, z \) tales que

\( \color{blue} z^5 = (x+y)(x+\omega y)(x+\omega^2 y)(x+\omega^3y)(x+\omega^4y) \).

Esta ecuación será nuestro punto de partida para llegar a una contradicción, en completa analogía con lo que vimos en el caso \( p=3 \). Pero todavía necesitamos algo de trabajo para estar en condiciones de aprovecharla convenientemente.

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[Carlos Ivorra]

Las demostraciones de los casos \( p =3 \) o \( p=5 \) "clásicas", que no usan más que números enteros usan fuertemente, como no podría ser de otra manera, la aritmética de los números enteros (la factorización única en primos, la existencia de máximo común divisor, etc.) Al factorizar \( x^5+y^5 \) con números complejos perdemos en principio toda esta aritmética, ya que no tiene sentido descomponer un número complejo en factores primos, o calcular el máximo común divisor de dos números complejos, etc. Sin embargo, veremos que podemos recuperar algo muy parecido a la aritmética de los números enteros si en lugar de trabajar con números complejos cualesquiera nos limitamos a los imprescindibles para poder sumar y multiplicar y contar además con \( \omega \).

Concretamente, llamaremos números ciclotómicos (de orden \( 5 \)) a los números complejos de la forma

\( \color{blue} \alpha = a_4\omega^4+a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0 \),

donde los \( a_i \) son números racionales. Los enteros ciclotómicos serán los números complejos de esta forma con los \( a_i \) enteros.

Observemos que sería redundante prolongar la expresión con potencias superiores de \( \omega \), ya que \( \omega^5 = 1, \omega^6=\omega, \omega^7=\omega^2 \), etc. Un hecho básico es el siguiente:

La suma y el producto de dos números ciclotómicos (resp. de dos enteros ciclotómicos) es de nuevo un número ciclotómico (resp. un nuevo entero ciclotómico).

En efecto, para el caso de la suma es claro que

\( a_4\omega^4+a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0\quad +\quad b_4\omega^4+b_3\omega^3+b_2\omega^2+b_1\omega+b_0 \)
\( =(a_4+b_4)\omega^4+(a_3+b_3)\omega^3+(a_2+b_2)\omega^2+(a_1+b_1)\omega+a_0+b_0, \)

de modo que si los coeficientes de los sumandos son racionales (resp. enteros), los de la suma también lo son.

Similarmente, es obvio que la resta de números (resp. enteros) ciclotómicos sigue siendo un número (resp. entero) ciclotómico.

Dejamos al lector formalista que encuentre una prueba formal de que el producto de números ciclotómicos es un número ciclotómico y que el producto de enteros ciclotómicos es un entero ciclotómico. En su lugar vamos a describir con un ejemplo en concreto un algoritmo para calcular el producto de dos números ciclotómicos de modo que quedará claro que es aplicable a dos cualesquiera y que el resultado siempre es un número ciclotómico (o un entero ciclotómico si los factores son enteros ciclotómicos).

Por ejemplo, vamos a calcular el producto \( (2\omega^4+\omega^3-\omega+1)(\omega^4-2\omega^3+\omega^2+3\omega+5) \) Primero damos una versión "basta" del algoritmo y luego la refinaremos sucesivamente. Se trata de copiar el algoritmo que nos enseñaron en la escuela para multiplicar números naturales:

\(
\begin{array}{rrrrrrrrr}
&&&&2\omega^4&+\omega^3&&-\omega&+1\\
&&&&\times\ \ \ \ \omega^4&-2\omega^3&+\omega^2&+3\omega&+5\\
\hline
&&&&10\omega^4&+5\omega^3&&-5\omega&+5\\
&&&6\omega^5&+3\omega^4&&-3\omega^2&+3\omega\\
&&2\omega^6&+\omega^5&&-\omega^3&+\omega^2\\
&-4\omega^7&-2\omega^6&&+2\omega^4&-2\omega^3\\
+\ \ 2\omega^8&+\omega^7&&-\omega^5&+\omega^4\\
\hline
2\omega^8&-3\omega^7&&+6\omega^5&+16\omega^4&+2\omega^3&-2\omega^2&-2\omega&+5
\end{array}
 \)

Sin embargo, como \( \color{red}\omega^5=1 \), es más práctico escribir los sumandos con esta potencia en la primera columna, y los sumandos con \( \omega^6=\omega \) en la segunda columna, etc., de modo que la multiplicación queda así:

\( \begin{array}{rrrrrrrrr}
2\omega^4&+\omega^3&&-\omega&+1\\
\times\ \ \ \ \omega^4&-2\omega^3&+\omega^2&+3\omega&+5\\
\hline
10\omega^4&+5\omega^3&&-5\omega&+5\\
+3\omega^4&&-3\omega^2&+3\omega&+6\omega^5\\
&-\omega^3&+\omega^2&+2\omega^6&+\omega^5\\
+2\omega^4&-2\omega^3&-4\omega^7&-2\omega^6\\
+\ \ +\omega^4&+2\omega^8&+\omega^7&&-\omega^5\\
\hline
16\omega^4&+4\omega^3&-5\omega^2&-2\omega&+11
\end{array} \)

Y, finalmente, puestos a hacer una multiplicación a mano, escribir las potencias de \( \omega \) no es más que un engorro, y resulta más práctico trabajar sólo con los coeficientes, igual que cuando se aplica la regla de Rufini:

\( \begin{array}{rrrrrrrrr}
2&1&0&-1&1\\
\times\ \ \ \ 1&-2&1&3&5\\
\hline
10&5&0&-5&5\\
3&0&-3&3&6\\
0&-1&1&2&1\\
2&-2&-4&-2&0\\
+\ \ \ \ 1&2&1&0&-1\\
\hline
16&4&-5&-2&11
\end{array} \)

Cada fila se obtiene multiplicando el coeficiente correspondiente de la segunda fila por todos los de la primera fila, empezando por su columna y siguiendo hacia la derecha, salvo que, a diferencia de lo que hacemos cuando multiplicamos naturales, cuando llegamos a la quinta columna, en lugar de seguir hacia la izquierda volvemos a empezar.

La conclusión es que (si no me he equivocado en las cuentas, en las que sí que me había equivocado, pero mente oscura me lo ha advertido y las he corregido):

\( (2\omega^4+\omega^3-\omega+1)(\omega^4-2\omega^3+\omega^2+3\omega+5)=16\omega^4+4\omega^3-5\omega^2-2\omega+11 \)

Ahora es claro que el producto de dos números ciclotómicos es un número ciclotómico, y como los coeficientes del producto se obtienen sumando y multiplicando los de los factores, si éstos son enteros aquéllos también lo son, por lo que el producto de enteros ciclotómicos es un entero ciclotómico.

Nota histórica

Cuando multiplicamos dos polinomios, el grado del producto es la suma de los grados, pero cuando multiplicamos dos números ciclotómicos, que son como "polinomios de grado 4 en \( \omega \)", el grado no aumenta, porque las potencias de omega vuelven a tener exponente 0 cuando llegamos al exponente 5 y se repiten cíclicamente. Hay quien dice que fue como descripción de este fenómico por lo que Hilbert acuñó el término "anillo numérico" para referirse a los conjuntos de números complejos que son cerrados para la suma y el producto, y posteriormente el témino "anillo" pasó a emplearse en álgebra para representar a cualquier conjunto dotado de una suma y un producto con propiedades razonables.

[cerrar]

Así pues, ya sabemos que si sumamos, restamos o multiplicamos números ciclotómicos nunca dejamos de tener un número ciclotómico, y el resultado es entero ciclotómico si lo son los números de partida. Debemos dejar para más adelante la cuestión de qué pasa con el cociente de números ciclotómicos.

La prueba del UTF para exponente 5 se basa fuertemente en el hecho de que los enteros ciclotómicos de orden 5 poseen una aritmética muy similar a la de los enteros ordinarios, y por ello dedicaremos los mensajes siguientes a familiarizarnos con dicha aritmética.

Nota didáctica

Hay dos formas de sentirse cómodo con un argumento matemático de la naturaleza de los que estamos viendo y vamos a ver aquí: una es tener una base lo suficientemente sólida en matemática abstracta como para que nada de lo que digamos le pille a uno de nuevo; la otra es meterse en harina y familiarizarse con los números ciclotómicos hasta el punto de asimilar que son unos objetos "tangibles" con los que podemos experimentar, de modo que cualquier afirmación que nos planteemos sobre ellos no es una mera sopa de letras, sino una afirmación concreta sobre unos objetos concretos. Si un lector no tiene el suficiente bagaje y pasa este mensaje y los siguientes con una lectura superficial convencido de que todo lo dicho son cosas elementales, no dejará de tener razón, pero llegará inevitablemente el momento en que pase a no entender nada, porque empezará a ver sopas de letras donde los lectores que se hayan "metido en harina" (= hecho los ejercicios y hayan manipulado los enteros ciclotómicos hasta "cogerles el punto") verán afirmaciones con pleno sentido y razón de ser.

No va a hacer falta para nada en este hilo, pero un sano ejercicio para un lector familiarizado con la informática sería programar una "calculadora ciclotómica" que permita operar con números ciclotómicos y calcular sumas, productos y otras operaciones que iremos presentando.

[cerrar]

Una característica de los números ciclotómicos que es fundamental para no perdernos al tratar con ellos la ilustran los tres números ciclotómicos  siguientes (los dos primeros enteros y el tercero no):

\( \omega^3+3\omega,\quad 2\omega^4+3\omega^3+2\omega^2+5\omega+2,\quad -\frac12\omega^{\color{red}4}+\frac12\omega^3-\frac12\omega^2+\frac52\omega-\frac12. \)

Si el lector se ha creído que realmente son tres números ciclotómicos de los cuales dos son enteros y el tercero no, comprenderá la importancia de lo que vamos a analizar ahora, pues la realidad es que esos "tres" números son en realidad uno solo, y es un entero ciclotómico. Ello se debe al teorema siguiente:

Teorema Se cumple

\( a_4\omega^4+a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0=b_4\omega^4+b_3\omega^3+b_2\omega^2+b_1\omega+b_0 \)

si y sólo si existe un número racional \( r \) tal que \( b_i=a_i+r \), para \( i=0,\ldots, 4 \).

En otros términos: si a los coeficientes de un entero ciclotómico les sumamos un mismo número racional, el número no se ve alterado, y dos expresiones para un mismo número ciclotómico tienen que estar relacionadas necesariamente de esta forma.

La razón es sencilla: tenemos la factorización

\( x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \)

y \( \omega \) anula el miembro izquierdo, pero no al primer factor de la derecha, luego necesariamente

\( \color{blue} \omega^4+\omega^3+\omega^2+\omega+1=0. \)

Por lo tanto, si \( r \) es cualquier número racional tenemos que

\( a_4\omega^4+a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0=a_4\omega^4+a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+r\cdot 0
 \)
\(
 = a_4\omega^4+a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0+r(\omega^4+\omega^3+\omega^2+\omega+1)=(a_4+r)\omega^4+(a_3+r)\omega^3+(a_2+r)\omega^2+(a_1+r)\omega+a_0+r. \)

En el ejemplo anterior, el "segundo" entero ciclotómico resulta de sumar 2 a todos los coeficientes del primero (por lo que no es otro, sino el mismo) y el "tercero" resulta de restar 1/2 a los coeficientes del primero.

Lo que no es tan inmediato es que ésta es la única forma en que dos expresiones pueden corresponder al mismo número ciclotómico, es decir, que, por ejemplo,

\( 3\omega^3+5\omega^2-\omega\neq \omega^4+4\omega^3-2\omega^2+7 \)

Admitiendo el teorema anterior, esta desigualdad es inmediata, pues las diferencias entre los coeficientes \( 1-0, 4-3, -2-5, 0-(-1), 7-4 \) no son todas iguales.

Pospondremos la demostración de la segunda parte del teorema hasta el mensaje siguiente. De momento observemos una consecuencia:

Todo número ciclotómico \( \alpha \) se expresa de forma única como

\( \color{blue} \alpha = a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0, \)

donde los coeficientes son números racionales, y son enteros si y sólo si \( \alpha \) es un entero ciclotómico.

Es decir, siempre podemos eliminar la potencia \( \omega^4 \) de la expresión de cualquier número ciclotómico (de hecho, podemos eliminar cualquier potencia que queramos, pero sólo una, porque si queremos eliminar otra, nos puede reaparecer la primera).

Por ejemplo, el producto de la multiplicación que hemos puesto antes de ejemplo es

\( 15\omega^4+6\omega^3-4\omega^2-3\omega+10=-9\omega^3-19\omega^2-18\omega-5 \)

Para eliminar \( \omega^4 \) hemos restado 15 a todos los coeficientes.

Diremos que un número ciclotómico está expresado en forma reducida si \( a_4=0 \). De momento hemos probado que todo número ciclotómico admite una forma reducida, pero no que la expresión en forma reducida es única. Cuando tengamos probada la segunda parte del teorema anterior esto será inmediato, pues dos expresiones en forma reducida de un mismo número cumplen \( a_4-b_4=0-0=0 \), luego también deben cumplir que \( a_i-b_i=0 \) para todo \( i \).

Termino este mensaje con algunos ejercicios que todo lector sin buenos conocimientos de teoría algebraica de números o, al menos, de teoría de cuerpos, debería hacer para asimilar bien los números ciclotómicos. Todos ellos serán necesarios más adelante. Espero respuestas en el hilo de comentarios.

Problema 1 (cálculos ciclotómicos): Consideremos los enteros ciclotómicos \( \eta= \omega+\omega^4 \) y \( \eta'=\omega^2+\omega^3 \). Calcular \( \eta+\eta' \) y \( \eta\eta' \) y concluir que ambos son enteros usuales.

Calcular también las potencias \( \eta, \eta^2, \eta^3, \eta^4, \eta^5 \) en forma reducida. (El cálculo puede hacerse con multiplicaciones sucesivas o bien mediante el binomio de Newton. Lo segundo es más rápido, lo primero más ilustrativo.) En realidad, no necesitaremos estas potencias, sino las que indico más abajo, también en rojo.

Problema 2 (el coseno de \( 2\pi/5 \)): Es bien conocido que

\( \cos 2\pi = 1,\quad \cos \frac{2\pi}2=-1,\quad\cos\frac{2\pi}3=-1/2,\quad \cos\frac{2\pi}4=0,\quad\cos\frac{2\pi}5=?,\quad\cos\frac{2\pi}6=\frac12,\quad \cos\frac{2\pi}7=?,\quad\cos\frac{2\pi}8=\frac{\sqrt2}2 \).

No vamos a necesitar nada de esto, pero vamos a calcular el primer interrogante. El lector aficionado a la geometría sintética tal vez conozca (o le podría interesar) una demostración basada en considerar congruencias en un pentágono regular. Aquí vamos a dar una demostración puramente algebraica.

Para ello observamos que \( \eta=\omega+\omega^4= \cos\frac{2\pi}5+i\sen\frac{2\pi}5+\cos\frac{2\pi}5-i\sen\frac{2\pi}5=2\cos\frac{2\pi}5 \).

• Usando el problema anterior, desarrollar \( p(x)=(x-\eta)(x-\eta') \) para expresarlo como un polinomio con coeficientes enteros.
• Calcular las raíces de \( p(x) \) mediante la fórmula para la ecuación de segundo grado.
• Identificar cuál de las dos raíces es \( \eta \).
• Calcular \( \cos\frac{2\pi}5 \).

Como consecuencia:

• Probar que el número áureo \( \epsilon = \dfrac{1+\sqrt 5}2 \) es un entero ciclotómico. Expresarlo en forma reducida.
• Probar que \( \sqrt 5 \) es un entero ciclotómico. Expresarlo en forma reducida.

Las potencias que conviene calcular y expresar en forma reducida son \( \color{red} \epsilon, \epsilon^2,\epsilon^3,\epsilon^4, \epsilon^5 \).

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[Carlos Ivorra]

Tenemos una demostración pendiente:

Hemos probado que si sumamos un mismo número racional a todos los coeficientes de un número ciclotómico el resultado es otra expresión para el mismo número ciclotómico, lo cual nos permite reducir las expresiones haciendo desaparecer el término en \( \omega^4 \). Sin embargo, queda pendiente demostrar que si dos números ciclotómicos son iguales, es porque los coeficientes de uno pueden transformarse en los del otro justo de esta forma, y no hay otras relaciones adicionales que tener en cuenta.

Para entender la trascendencia de esto, pensemos que hemos probado que "casualmente"

\( \sqrt 5=-2\omega^3-2\omega^2-1 \)

y uno podría plantearse si no podría darse también la casualidad de que, por ejemplo,

\( \frac7{11}\omega^3-5\omega^2+\frac35\omega+\frac43=\frac29 \),

pero, en cuanto tengamos probado lo que tenemos pendiente probar, podremos afirmar trivialmente que esto es imposible, ya que para transformar el miembro izquierdo en el derecho tendríamos que restar \( 10/9 \) a los coeficientes (para que coincidan los términos independientes), pero esto no anula a los demás coeficientes.

Para probar que un mismo entero ciclotómico no admite más expresiones que las que resultan de sumar un mismo número a todos los coeficientes de una de ellas necesitamos recordar algunas propiedades de la conjugación de números complejos. Las pongo en spoiler para que se las salten los lectores que no necesiten el recordatorio.

La conjugación compleja

El conjugado de un número complejo \( z=a+bi \) es el número \( \bar z = a-bi \). Geométricamente se trata del punto simétrico respecto del eje real. Es claro que \( z=\bar z \) equivale a que \( b=0 \), es decir, a que \( z \) sea un número real. En otras palabras: un número complejo es real si y sólo si coincide con su conjugado.

La conjugación tiene las propiedades siguientes: \( \overline{z+z'}=\bar z+\bar z' \), \( \overline{zz'}=\bar z\bar z' \), es decir, el conjugado de la suma es la suma de los conjugados y el conjugado de un producto es el producto de los conjugados.

Esto hace que si \( p(x) \) es un polinomio con coeficientes reales y \( \alpha \) es una raíz compleja, es decir, un número complejo tal que \( p(\alpha)=0 \), entonces \( \bar\alpha \) también es una raíz, también se cumple \( p(\bar\alpha)=0 \).

En efecto, basta expresar \( p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x+a_0 \), donde los \( a_i \) son números reales, y observar que de \( a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots + a_1\alpha+a_0=0 \) podemos pasar a que \( \overline{a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots + a_1\alpha+a_0}=\bar 0 =0 \), pero, como la conjugación atraviesa sumas y productos y deja igual a los números reales, esto es lo mismo que \( a_n\bar \alpha^n+a_{n-1}\bar\alpha^{n-1}+\cdots + a_1\bar\alpha+a_0=0 \), es decir, \( p(\bar\alpha)=0 \)

Otro hecho que conviene recordar es que \( z\bar z = (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 = |z|^2 \), por lo que, si \( z\neq 0 \), se cumple que \( z\cdot \frac{\bar z}{|z|^2}=1 \), lo cual significa que \( z^{-1}=\frac{\bar z}{|z|^2} \) es el inverso de \( z \).

En particular, si \( |z|=1 \) se cumple que \( z^{-1}=\bar z \).

[cerrar]

Observemos que \( \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4 \) son números complejos de módulo 1, luego sus conjugados son sus inversos. Como \( \omega\omega^4=1 \) y \( \omega^2\omega^3=1 \), resulta que \( \bar\omega = \omega^4 \) y \( \bar\omega^2 = \omega^3 \). Esto también puede deducirse de su representación gráfica, pues ciertamente \( \omega^4 \) es el simétrico de \( \omega \) respecto del eje real, e igualmente sucede con \( \omega^2 \) y \( \omega^3 \).

Ahora podemos probar lo siguiente:

Teorema: No existe ningún polinomio \( p(x) \) no nulo, con coeficientes racionales y de grado \( \leq 3 \) que cumpla \( p(\omega)=0 \).

Observemos que esto ya no es cierto para grado 4, ya que \( \omega \) es raíz del polinomio ciclotómico de orden \( 5 \), que es el polinomio de grado 4

\( \color{blue}c_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1 \).

Demostración: Si \( p(x) \) tiene por raíz a \( \omega \), también tiene que tener por raíz a su conjugado \( \omega^4 \), luego el grado de \( p(x) \) tiene que ser al menos 2. ¿Puede ser exactamente 2? Veamos que no. En tal caso, tendría que ser

\( p(x)= a(x-\omega)(x-\omega^4)=a(x^2-(\omega+\omega^4)x+1)=a(x^2-\eta x+1) \),

donde \( a \) es un número racional no nulo, pero entonces \( a\eta \) sería también un número racional (ya que suponemos que \( p(x) \) tiene coeficientes racionales), y \( \eta \) también sería un número racional, cuando hemos comprobado que es irracional (si fuera racional, también lo sería \( \sqrt 5 \)).

Con esto hemos comprobado que \( p(x) \) no puede tener grado 2. Veamos que tampoco puede tener grado 3. En tal caso podríamos dividir \( c_5(x)=p(x)q(x)+r(x) \), donde el resto \( r(x) \) tiene grado menor que \( p(x) \), es decir, menor que 3. Evaluando en \( \omega \) vemos que \( r(\omega)=0 \), pero ya hemos probado que ningún polinomio no nulo de grado menor que 3 se anula en \( \omega \), luego el resto tiene que ser el polinomio nulo, y así \( c_5(x)=p(x)q(x) \), donde \( q(x) \) es un polinomio de grado 1.

Pero la descomposición en factores irreducibles de \( c_5(x) \) es

\( c_5(x)= (x-\omega)(x-\omega^2)(x-\omega^3)(x-\omega^4) \)

y el hecho de que \( p(x) \) divida a \( c_5(x) \) se traduce en que los factores irreducibles de \( p(x) \) tienen que ser tres de los factores irreducibles de \( c_5(x) \). Dos de ellos ya sabemos que son \( x-\omega \) y \( x-\omega^4 \), y el tercero tiene que ser \( x-\omega^2 \) o bien \( x-\omega^3 \), pero esto es imposible, porque entonces \( \omega^2 \) o bien \( \omega^3 \) sería raíz de \( p(x) \), pero su conjugado también tendría que serlo, y llegaríamos a que \( p(x) \) tendría por raíces las cuatro potencias de \( \omega \), en contradicción con que un polinomio de grado 3 sólo puede tener tres raíces.

Teorema: Si \( p(x) \) es un polinomio no nulo con coeficientes racionales que tiene por raíz a \( \omega \), entonces existe otro polinomio \( q(x) \), también con coeficientes racionales, tal que \( p(x)=c_5(x)q(x) \).

En otras palabras, los únicos polinomios con coeficientes racionales que tienen a \( \omega \) por raíz son los múltiplos del polinomio ciclotómico.

Demostración: Dividimos \( p(x)=c_5(x)q(x)+r(x) \), donde el resto \( r(x) \) tiene grado menor que el grado del divisor, es decir, menor que 4. Evaluando en \( \omega \) queda que \( r(\omega)=0 \), pero hemos probado que ningún polinomio no nulo con coeficientes racionales de grado menor que \( 4 \) tiene por raíz a \( \omega \), luego \( r=0 \) y queda que \( p(x)=c_5(x)q(x) \), como había que probar.

De aquí ya se deduce la unicidad de las expresiones de un mismo número ciclotómico salvo suma de números racionales a sus coeficientes:

Supongamos que

\( a_4\omega^4+a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0=b_4\omega^4+b_3\omega^3+b_2\omega^2+b_1\omega+b_0 \)

Entonces

\( (a_4-b_4)\omega^4+(a_3-b_3)\omega^3+(a_2-b_2)\omega^2+(a_1-b_1)\omega+a_0-b_0=0 \)

Consideramos el polinomio \( p(x)=(a_4-b_4)x^4+(a_3-b_3)x^3+(a_2-b_2)x^2+(a_1-b_1)x+a_0-b_0 \), que tiene coeficientes racionales y a \( \omega \) por raíz. Según hemos probado, existe un polinomio \( q(x) \) tal que

\( (a_4-b_4)x^4+(a_3-b_3)x^3+(a_2-b_2)x^2+(a_1-b_1)x+a_0-b_0=q(x)c_5(x) \)

Pero el miembro izquierdo tiene grado a lo sumo 4, y el miembro derecho tiene grado \( 4+\mbox{grad}\, q(x) \) (salvo que \( q(x) \) sea el polinomio nulo. Necesariamente entonces \( q(x) \) tiene grado 0, es decir, es una constante \( r \) (racional). En definitiva:

\( (a_4-b_4)x^4+(a_3-b_3)x^3+(a_2-b_2)x^2+(a_1-b_1)x+a_0-b_0=r(x^4+x^3+x^2+x+1) \).

Ahora bien, dos polinomios iguales tienen sus coeficientes iguales:

\( a_4-b_4=r,\quad a_3-b_3=r,\quad a_2-b_2=r,\quad a_1-b_1=r,\quad a_0-b_0=r \).

Así queda probado que para que dos expresiones de un mismo número ciclotómico sean iguales es necesario que se pueda pasar de una a otra sumando el mismo número racional \( r \) a todos los coeficientes, como queríamos probar.

Algunas consecuencias elementales:

• Como ya habíamos señalado, esto implica que dos números ciclotómicos expresados en forma reducida sólo pueden ser iguales si tienen todos sus coeficientes iguales, es decir, la expresión en forma reducida es única.
• Por ejemplo, un número ciclotómico \( a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0 \) es irracional salvo que \( a_3=a_2=a_1=0 \), pues la forma reducida de un número racional \( r \) es \( r \) (con \( a_0=r \) y los demás coeficientes nulos).
• Por el mismo motivo, los enteros ciclotómicos que son racionales son los números enteros ordinarios, ya que puesto en forma estándar será simplemente \( r \), con \( a_0=r \), y los coeficientes de un entero ciclotómico en forma estándar son enteros ordinarios.
  

Ahora podemos plantearnos en qué circunstancias un número ciclotómico es real. Para ello observemos que si

\( \alpha = a_4\omega^4+a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0, \)

su conjugado es

\( \bar\alpha = a_4\omega+a_3\omega^2+a_2\omega^3+a_1\omega^4+a_0, \)

donde hemos usado que la conjugación atraviesa sumas y productos, deja igual a los coeficientes racionales y conjuga las potencias de \( \omega \) como ya hemos visto.

\( \alpha \) será real si y sólo si \( \alpha = \bar\alpha \), lo cual equivale a que exista un número racional \( r \) tal que

\( a_4=a_1+r,\quad a_3=a_2+r,\quad a_2=a_3+r,\quad a_1=a_4+r,\quad a_0=a_0+r \).

Pero la última ecuación implica que \( r=0 \), luego \( \alpha \) es real si y sólo si \( a_4=a_1 \)y \( a_2=a_3 \).

Concluimos que los reales ciclotómicos son los números ciclotómicos de la forma

\( a(\omega+\omega^4)+b(\omega^3+\omega^2)+c=a\eta+b\eta'+c, \)

donde \( a, b,c \) son números racionales (o números enteros si hablamos de enteros ciclotómicos). Claramente, al ponerlos en forma reducida el término en \( \omega \) desaparece junto al término en \( \omega^4 \) y queda una expresión de tipo \( b\eta'+c \).

Problema 1 Probar que los números ciclotómicos reales son los números de la forma \( a+b\sqrt 5 \), donde \( a, b \) son números racionales. Pero no es cierto que los enteros ciclotómicos reales sean los de la forma \( a+b\sqrt 5 \) con \( a, b \) enteros. El propio \( \eta \) es un contraejemplo.

El problema siguiente será crucial en la prueba del UTF5:

Problema 2 Se dice que dos enteros ciclotómicos \( \alpha \) y \( \beta \) son congruentes módulo un tercero \( \gamma \) (y se expresa \( \alpha\equiv \beta(\mbox{mód}\gamma) \)) si existe un entero ciclotómico \( \delta \) tal que \( \alpha=\beta+\gamma\delta \).

• Dar un criterio sencillo que permita reconocer a simple vista si un entero ciclotómico expresado en forma reducida es congruente con un entero módulo 5.
• Extenderlo para que sea aplicable a números presentados en forma no necesariamente reducida.
• Aplicarlo a las potencias
  
  \(
  \epsilon = -\omega^3-\omega^2,\quad \epsilon^2=-\omega^3-\omega^2+1,\quad \epsilon^3=-2\omega^3-2\omega^2+1,\quad \epsilon^4=-3\omega^3-3\omega^2+2,\quad \epsilon^5=-5\omega^3-5\omega^2+3.
   \)
  ¿Cuáles de ellas son congruentes con un entero módulo 5?
  
• Para \( k=0,1,2,3,4, l=0,1,2,3,4,5 \), ¿cuáles de los enteros ciclotómicos \( \omega^k\epsilon^l \) son congruentes con un entero módulo 5?

Ayudas: Para el primer punto, pensad en un ejemplo "típico" como

\( 7+5(3\omega^3+6\omega^2-2\omega+3) \)

Si lo operamos, ¿qué podría observar alguien que viera el resultado para adivinar que ha sido obtenido de esta forma?

El último punto puede razonarse analizando los 30 casos uno por uno, pero si habéis resuelto el punto anterior, podéis concluir directamente analizando el efecto que tiene sobre los coeficientes de un entero ciclotómico la multiplicación por una potencia de \( \omega \).

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[Carlos Ivorra]

Vamos a introducir ahora un concepto fundamental en el álgebra de los números ciclotómicos. Primero probaremos un resultado sencillo que vamos a necesitar y a su vez pongo antes un ejercicio sencillo para situarnos:

Problema 1 Consideremos los polinomios \( f(x)= x^9+2x^7+4x^5+x^2-3 \) y \( g(x)=2x^7-2x^6-x^3+x \). Comprobar que \( f(\omega)=g(\omega) \).

El ejercicio anterior muestra que dos polinomios distintos pueden determinar el mismo número ciclotómico. El teorema siguiente muestra que hay una operación que podemos hacer sobre los números ciclotómicos que es independiente del polinomio con el que los representemos:

Teorema Sea \( k=1, 2, 3, 4 \) y sean \( f(x), g(x) \) dos polinomios con coeficientes racionales. Si \( f(\omega)=g(\omega) \), entonces también \( f(\omega^k)=g(\omega^k) \).

Demostración: La hipótesis es que el polinomio \( f(x)-g(x) \) vale 0 en \( \omega \), y el segundo teorema de la entrega anterior nos da que entonces \( f(x)-g(x)=c_5(x)q(x) \) para cierto polinomio \( q(x) \). Ahora basta observar que el polinomio ciclotómico \( c_5(x) \) se anula en todas las potencias \( \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4 \), luego sustituyendo \( x=\omega^k \) en la igualdad anterior concluimos que \( f(\omega^k)-g(\omega^k)=0 \).

Enseguida intepretaremos este resultado, pero para motivar lo que vamos a tratar aquí conviene comparar los casos \( p=3 \) y \( p=5 \). En el caso \( p=3 \) tenemos tres raíces cúbicas de la unidad, \( 1, \omega, \omega^2 \) (donde ahora \( \omega = \cos(2\pi/3)+i\sen(2\pi/3) \)), de las cuales \( \omega \) y \( \omega^2 \) son conjugadas.

Los números ciclotómicos son de la forma \( a_2\omega^2+a_1\omega+a_0 \), o en forma reducida \( \alpha= a_1\omega+a_0 \). El conjugado de \( \alpha \) es \( \bar\alpha = a_1\omega^2+a_0 \).

En el hilo para el caso p = 3 definíamos la norma de un número ciclotómico como el cuadrado de su módulo:

\( N(\alpha) = |\alpha|^2 = \alpha\bar \alpha = (a_1\omega+a_0)(a_1\omega^2+a_0)=a_1^2\omega^3+a_0a_1\omega^2+a_0a_1\omega+a_0^2 = a_0^2+a_1^2-a_0a_1 \).

Esta expresión muestra que la norma de un número ciclotómico es un número racional, y que la norma de un entero ciclotómico es un número natural (un número entero que además es positivo, porque se trata del módulo al cuadrado).

Más precisamente, la norma de un entero ciclotómico así definida tiene tres propiedades fundamentales:

1) Es un número natural.

2) Es multiplicativa (la norma de un producto es el producto de las normas).

3) Cada entero ciclotómico \( \alpha \) divide a su norma (porque \( N(\alpha)=\alpha\bar\alpha \)).

Estas propiedades convierten a la norma en una herramienta fundamental para relacionar la aritmética de los enteros ciclotómicos con la de los enteros ordinarios. En la entrega siguiente definiremos la norma de un número ciclotómico de orden 5, pero ahora vamos a ver por qué la generalización "natural" (o sería mejor decir "ingenua") de esta definición de norma que vale para \( p=3 \) no sirve para \( p=5 \).

En efecto, consideremos un número ciclotómico sencillo, como \( \alpha = \omega+1 \). Su conjugado es \( \bar\alpha=\omega^4+1 \), luego si pretendemos definir su norma como

\( N(\alpha)=\alpha\bar\alpha = (\omega+1)(\omega^4+1)=\omega^5+\omega^4+\omega+1=\omega^4+\omega+2=-\omega^3-\omega^2+1=-\eta'+1 \),

vemos que, por supuesto, es un entero ciclotómico real (el cuadrado del módulo), pero no sólo no es un número natural, sino que de hecho no es un número racional, porque los números racionales en forma reducida son los que tienen todos los coeficientes nulos menos el término independiente.

Esto hace que tal "norma" no aproveche para nada, pero eso no significa que nos quedamos sin norma en el caso \( p=5 \), sino que generalizar tiene su arte, y no estamos generalizando bien o, dicho de otro modo, no estamos viendo la situación desde la perspectiva adecuada.

Para entender qué estamos haciendo mal conviene reflexionar un poco sobre qué es la conjugación compleja. Mucha gente asume que el conjugado de un número complejo \( a+bi \) es \( a-bi \) porque sí, y que la conjugación es útil porque casualmente tiene propiedades que la hacen útil, pero esto tiene una explicación (la pongo en spoiler para que sea más fácil orientarse en el mensaje):

Sobre la conjugación compleja

En los números complejos hay dos raíces cuadradas de \( -1 \). Si llamamos a una \( i \), entonces la otra es \( -i \), pero no hay ningún criterio algebraico que nos permita determinar cuál de las dos debe ser llamada \( i \) y a cuál le corresponde, por tanto, el nombre de \( -i \).

Imaginemos dos matemáticos A y B, el primero de los cuales ha llamado \( i \) a una raíz cuadrada de \( -1 \), mientras que el segundo ha decidido trabajar con la otra raíz cuadrada, a la que llama \( j \), de modo que \( j=-i \). El primer matemático expresa los números complejos como \( a+bi \), mientras que el segundo los llama \( a+bj \). El primero los suma y los multiplica con las reglas:

\( (a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i,\qquad (a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i \),

mientras que el segundo usa las reglas

\( (a+bj)+(c+dj)=a+c+(b+d)j,\qquad (a+bj)(c+dj)=ac-bd+(ad+bc)j \).

En definitiva, los dos hacen lo mismo, aunque hayan elegido raíces distintas de la unidad \( i\neq j) \). El número que el matemático A llama \( 3+5i \), para el matemático B es \( 3-5j \). Imaginemos, por complicar un poco el asunto, que ambos matemáticos llaman \( i \) a su unidad imaginaria, aunque para cada uno es una distinta. Entonces sus reglas de suma y multiplicación son indistinguibles, y el conjugado \( a-bi \) es el nombre que da el matemático B al número que el matemático A llama \( a+bi \). Equivalentemente, podemos pensar que el conjugado \( a-bi \) de un número complejo es el número que habríamos llamado \( a+bi \) si en la elección arbitraria de la raíz de \( -1 \) que nombramos como \( i \) hubiéramos hecho la elección opuesta. El hecho de que haber elegido la otra raíz no cambia en nada las reglas de la suma y el producto de los números complejos (los matemáticos A y B usan las mismas reglas a pesar de manejar raíces distintas) es lo que confiere a la conjugación todas sus propiedades.

[cerrar]

Ahora pensemos en el caso de los números ciclotómicos:

Conjugaciones ciclotómicas

El polinomio \( x^5-1 \) tiene cinco raíces, de las cuales una es especial (el 1), pero las otras cuatro, \( \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4 \), son indistinguibles desde el punto de vista puramente algebraico. Nosotros hemos definido \( \omega = \cos(2\pi/5)+i\sen(2\pi/5) \), pero ¿qué ocurriría si otro matemático decidiera trabajar con \( \zeta=\omega^3 \), por ejemplo? Entonces tendría que las potencias de \( \zeta \) son

\( \zeta^0=1,\ \zeta^1 = \omega^3, \ \zeta^2=\omega,\ \zeta^3 = \omega^4,\ \zeta^4=\omega^2 \),

de modo que el número ciclotómico que nosotros escribimos como \( a_4\omega^4+a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0 \) él lo escribiría como \( a_4\zeta^3+a_3\zeta+a_2\zeta^4+a_1\zeta^2+a_0 \).

Complicando un poco más las cosas, imaginemos que el matemático B llama también \( \omega \) en vez de \( \zeta \) al número que nosotros llamamos \( \omega^3 \), de modo que nuestro \( \omega \) es su \( \omega^2 \). Entonces el número que nosotros representamos por \( a_4\omega^4+a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0 \) él lo llamaría \( a_4\omega^3+a_3\omega+a_2\omega^4+a_1\omega^2+a_0 \).

En otras palabras, podemos decir que \( a_4\omega^3+a_3\omega+a_2\omega^4+a_1\omega^2+a_0 \) es el número que habríamos llamado \( a_4\omega^4+a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0 \) si hubiéramos llamado \( \omega \) al número que estamos llamando \( \omega^3 \). En este sentido podemos decir que los números ciclotómicos \( a_4\omega^3+a_3\omega+a_2\omega^4+a_1\omega^2+a_0 \) y  \( a_4\omega^4+a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0 \) son conjugados en el mismo sentido (profundo) en que decimos que los números complejos \( a+bi \) y \( a-bi \) lo son.

La clave es que si un matemático decide llamar \( \omega \) a lo que nosotros llamamos \( \omega^3 \) expresará los números ciclotómicos igual que nosotros (en la forma \( a_4\omega^4+a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0 \) y los operará igual que nosotros, ya que para operar los números ciclotómicos sólo hay que tener en cuenta que \( \omega^4+\omega^3+\omega^2+\omega+1=0 \), y esto lo cumplen tanto \( \omega \) como \( \omega^2 \), como \( \omega^3 \) como \( \omega^4 \). Y el hecho de que no se note en nada el cambio de \( \omega \) por \( \omega^k \) a la hora de operar con los números ciclotómicos hace que los cambios consistentes en cambiar \( \omega\mapsto \omega^k \) satisfagan propiedades análogas a la conjugación compleja, y merezcan el nombre de "conjugaciones ciclotómicas". Vamos a precisar esta idea.

[cerrar]

Definición Si \( k=1,2,3,4 \) y \( \alpha=f(\omega) \) es un número ciclotómico (donde \( f(x) \) es un polinomio con coeficientes racionales), definimos \( \sigma_k(\alpha)=f(\omega^k) \), y diremos que es el conjugado \( k \)-ésimo de \( \alpha \).

En definitiva, el conjugado \( k \)-ésimo de \( \alpha \) se obtiene sustituyendo \( \omega \) por \( \omega^k \) en cualquier expresión polinómica de \( \alpha \) en términos de \( \omega \). El teorema que hemos demostrado al principio justifica que no importa la expresión polinómica que usemos para calcular conjugados. También es evidente que todo conjugado de un entero ciclotómico es un entero ciclotómico.

Por ejemplo:

\( \sigma_2(a_4\omega^4+a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0)=a_4\omega^8+a_3\omega^6+a_2\omega^4+a_1\omega^2+a_0=a_2\omega^4+a_4\omega^3+a_1\omega^2+a_3\omega+a_0 \).

Así pues, cada número ciclotómico tiene cuatro conjugados (aunque algunos pueden ser iguales entre sí, igual que un número complejo puede ser igual a su conjugado complejo), si bien hay que tener en cuenta que la conjugación \( \sigma_1 \) que consiste en cambiar \( \omega \) por \( \omega^1 \) es la conjugación "tonta" dada por \( \sigma_1(\alpha)=\alpha \). En este sentido, cada número complejo tiene dos conjugados: él mismo y el conjugado usual.

Resulta cómodo tener una tabla con la forma en que las conjugaciones ciclotómicas transforman las distintas potencias de \( \omega \):

\( \begin{array}{c|cccc}
&\omega&\omega^2&\omega^3&\omega^4\\
\hline
\sigma_1&\omega&\omega^2&\omega^3&\omega^4\\
\sigma_2&\omega^2&\omega^4&\omega&\omega^3\\
\sigma_3&\omega^3&\omega&\omega^4&\omega^2\\
\sigma_4&\omega^4&\omega^3&\omega^2&\omega
\end{array} \)

Por ejemplo, vemos que aplicar la conjugación \( \sigma_4 \) consiste en intercambiar \( \omega \) con \( \omega^4 \) y \( \omega^2 \) con \( \omega^3 \), pero eso es justo lo que ya hacíamos para calcular el conjugado complejo de un número ciclotómico, luego concluimos que la conjugación ciclotómica \( \sigma_4 \) no es sino la conjugación compleja. Pero ahora nos han aparecido dos conjugaciones más (aparte de la tonta \( \sigma_1 \)) cuya existencia ni siquiera sospechábamos, que son \( \sigma_2 \) y \( \sigma_3 \).

Ahora ya podemos entender por qué no funcionaba bien nuestro intento de generalizar el concepto de norma: porque dábamos por hecho que teníamos que considerar únicamente la conjugación compleja (y la tonta, pues \( N(\alpha)=\alpha\bar\alpha \) es equivalente a \( N(\alpha)=\sigma_1(\alpha)\sigma_4(\alpha) \)) y nos estábamos "olvidando" de \( \sigma_2 \) y \( \sigma_3 \).

Dedicaremos la entrega siguiente a definir y estudiar la norma de los números ciclotómicos, pero de momento nos ocupamos de estudiar las conjugaciones.

Como ejercicio de calentamiento:

Problema 2 Calcular \( \sigma_k(\alpha) \) para \( k=1, 2, 3, 4 \) cuando \( \alpha = 2\omega+3\omega^2 \), \( \alpha = 2\omega^2+2\omega^3 \), \( \alpha = 3/4 \).

Veamos una propiedad fundamental de las conjugaciones ciclotómicas:

Teorema Si \( k=1, 2, 3, 4 \) y \( \alpha, \beta \) son números ciclotómicos, entonces \( \sigma_k(\alpha+\beta)=\sigma_k(\alpha)+\sigma_k(\beta) \), \( \sigma_k(\alpha\beta)=\sigma_k(\alpha)\sigma_k(\beta) \).

Demostración: Podemos expresar \( \alpha = f(\omega) \), \( \beta=g(\omega) \), donde \( f(x), g(x) \) son polinomios con coeficientes racionales. Sea \( h(x)=f(x)g(x) \). Entonces \( \alpha\beta=h(\omega) \) y por definición de conjugación:

\( \sigma_k(\alpha\beta)=h(\omega^k)=f(\omega^k)g(\omega^k)=\sigma_k(\alpha)\sigma_k(\beta) \).

El caso de la suma se razona igualmente, tomando \( h'(x)= f(x)+g(x) \).

Es obvio que \( \sigma_1(\alpha)=\alpha \) lo cumplen todos los números ciclotómicos. Por otra parte, en la entrega anterior hemos visto que los números ciclotómicos reales, es decir, los números \( \alpha \) que cumplen que \( \sigma_4(\alpha)=\alpha \), son exactamente los que tienen \( a_1=a_4, a_2=a_3 \). El problema siguiente se resuelve con el mismo esquema de razonamiento empleado allí:

Problema 3 Determinar qué números ciclotómicos son los que cumplen \( \sigma_2(\alpha)=\alpha \), así como los que cumplen \( \sigma_3(\alpha)=\alpha \).

Para terminar observemos que si aplicamos a un número \( \alpha=f(\omega) \) una conjugación y luego otra, el efecto es el mismo que aplicar una única conjugación. Por ejemplo,

\( \sigma_4(\sigma_2(\alpha))= \sigma_4(\sigma_2(f(\omega))=\sigma_4(f(\omega^2))= f(\omega^8)=f(\omega^3)=\sigma_3(\alpha) \),

luego concluimos que \( \sigma_4(\sigma_2(\alpha))=\sigma_3(\alpha) \).

Problema 4 Completar la tabla siguiente:

\(
\begin{array}{c|cccc}
&\sigma_1&\sigma_2&\sigma_3&\sigma_4\\
\hline
\sigma_1&\sigma_1&\sigma_2&\sigma_3&\sigma_4\\
\sigma_2&\sigma_2&&&\sigma_3\\
\sigma_3&\sigma_3&&&\\
\sigma_4&\sigma_4&&&
\end{array} \)

Por ejemplo, el \( \sigma_3 \) que aparece en la segunda fila significa que, tal y como acabamos de calcular, si aplicamos \( \sigma_2 \) y luego aplicamos \( \sigma_4 \), el efecto es el mismo que aplicar \( \sigma_3 \).

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[Carlos Ivorra]

En este mensaje terminaremos la exposición de los resultados que vamos a necesitar sobre lo que podríamos llamar el álgebra de los números ciclotómicos, y con ello estaremos listos para estudiar la aritmética de los enteros ciclotómicos. El último ingrediente algebraico que tenemos que introducir es la norma de un número ciclotómico \( \alpha \), que se define como

\( \color{blue}N(\alpha)=\sigma_1(\alpha)\sigma_2(\alpha)\sigma_3(\alpha)\sigma_4(\alpha). \)

Recordando que \( \sigma_4 \) es la conjugación compleja y que \( \sigma_3(\alpha)=\sigma_4(\sigma_2(\alpha))=\overline{\sigma_2(\alpha)} \), podemos expresar alternativamente la norma como

\( N(\alpha)=\alpha\bar\alpha\, \sigma_2(\alpha)\overline{\sigma_2(\alpha)}=|\alpha|^2|\sigma_2(\alpha)|^2 \).

Esta expresión muestra que la norma es un número real no negativo pero podemos decir más:

\( \sigma_2(N(\alpha))=\sigma_2(\sigma_1(\alpha))\sigma_2(\sigma_2(\alpha))\sigma_2(\sigma_3(\alpha))\sigma_2(\sigma_4(\alpha))=\sigma_2(\alpha)\sigma_4(\alpha)\sigma_1(\alpha)\sigma_3(\alpha))=N(\alpha) \),

y hemos visto en la entrega anterior que esto implica que \( N(\alpha) \) es un número racional. Más aún, si \( \alpha \) es un entero ciclotómico entonces \( N(\alpha) \) es a la vez un entero ciclotómico y un número racional, y sabemos que esto obliga a que sea un número entero. En resumen:

Teorema La norma de un número ciclotómico es un número racional no negativo, y la norma de un entero ciclotómico es un número natural.

Otra propiedad de la norma que se deduce inmediatamente de la definición es que es multiplicativa, es decir:

\( \color{blue}N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta) \)

En efecto:

\( N(\alpha\beta)=\sigma_1(\alpha\beta)\sigma_2(\alpha\beta)\sigma_3(\alpha\beta)\sigma_4(\alpha\beta)=\sigma_1(\alpha)\sigma_1(\beta)\sigma_2(\alpha)\sigma_2(\beta)\sigma_3(\alpha)\sigma_3(\beta)\sigma_4(\alpha)\sigma_4(\beta)=N(\alpha)N(\beta). \)

También es obvio que \( N(\alpha)=0 \) si y sólo si \( \alpha=0 \).

En efecto, \( N(\alpha)=0 \) si y sólo si un \( \sigma_k(\alpha)=0 \), y esto claramente equivale a que \( \alpha=0 \).

Calcular la norma de un número ciclotómico equivale a realizar tres multiplicaciones, lo cual es un poco tedioso. En algunos casos podemos tomar atajos. Por ejemplo, consideremos la igualdad:

\( (x-\omega)(x-\omega^2)(x-\omega^3)(x-\omega^4)=x^4+x^3+x^2+x+1 \).

Haciendo \( x=1 \) obtenemos que

\( (1-\omega)(1-\omega^2)(1-\omega^3)(1-\omega^4)=5 \),

pero los cuatro números del miembro izquierdo son conjugados, luego \( \color{blue} N(1-\omega^k)=5 \), para \( k=1, 2, 3, 4 \).

Consideremos ahora la fórmula que pretendemos usar para demostrar el UTF5:

\( (x+y)(x+y\omega)(x+y\omega^2)(x+y\omega^3)(x+y\omega^4)=x^5+y^5 \).

Si \( x, y \) son enteros arbitrarios, los cuatro últimos factores del miembro izquierdo son conjugados, luego podemos concluir la fórmula siguiente para la norma de un binomio:

\( \displaystyle \color{blue} N(x+y\omega^k)=\frac{x^5+y^5}{x+y} \),

válida cuando \( x\neq -y \), pero si \( x=-y \) entonces \( N(x-x\omega^k)= N(x(1-\omega^k))=N(x)N(1-\omega^k)=5x^4 \).

Problema 1 Calcular la norma de los números ciclotómicos \( \omega \), \( \omega+2 \), \( \eta=\omega+\omega^4=\omega(1+\omega^3) \) y \( \eta'=\omega^2+\omega^3 =\omega^2(1+\omega) \).

Para calcular la norma de un número ciclotómico arbitrario podemos simplificar el proceso expresando la norma en la forma:

\( N(\alpha)=\alpha\sigma_4(\alpha)\, \sigma_2(\alpha)\sigma_2(\sigma_4(\alpha))=\alpha\bar\alpha\,\sigma_2(\alpha\bar\alpha) \)

Así, en primer lugar calculamos \( \alpha\bar\alpha \), que es un número ciclotómico real, luego el resultado será de la forma \( \alpha\bar\alpha = a+b\eta' \) (o \( a+b\eta \), como resulte más cómodo para el cálculo).

En segundo lugar observamos que \( \sigma_2(a+b\eta')=a+b\eta \), pues \( \sigma_2(\eta')=\sigma_2(\omega^2+\omega^3)=\omega^4+\omega=\eta \).

Por lo tanto \( N(\alpha)=(a+b\eta')(a+b\eta)=a^2+b^2\eta\eta'+ab(\eta+\eta')=a^2-ab-b^2 \), donde hemos usado que, como ya sabíamos, \( \eta\eta'=\eta+\eta'=-1 \).

Problema 2 Usar el procedimiento que acabamos de describir para calcular \( N(-\omega^3+\omega^2-\omega) \).

Como primera aplicación de la norma probamos un hecho básico:

Teorema El cociente de dos números ciclotómicos es un número ciclotómico.

Demostración: Sean \( \alpha \) y \( \beta\neq 0 \) dos números ciclotómicos. Entonces

\( \color{blue}\displaystyle \frac\alpha\beta=\frac{\alpha\,\sigma_2(\beta)\sigma_3(\beta)\sigma_4(\beta)}{N(\beta)}, \)

En particular, tenemos la fórmula siguiente para el inverso de un número ciclotómico no nulo:

\( \color{blue}\displaystyle \alpha^{-1}=\frac{\sigma_2(\alpha)\sigma_3(\alpha)\sigma_4(\alpha)}{N(\alpha)}. \)

Problema 3 Usar la fórmula empleada en la prueba del teorema anterior para expresar en forma reducida el número ciclotómico

\( \displaystyle \frac{\omega^2+2}{\omega+2} \).

Terminamos asociando otro número racional a cada número ciclotómico, que nos proporcionará una cota para su norma. Gauss lo llamó la medida de un entero ciclotómico \( \alpha \), definida como

\( \color{blue} M(\alpha)=|\sigma_1(\alpha)|^2+|\sigma_2(\alpha)|^2+|\sigma_3(\alpha)|^2+|\sigma_4(\alpha)|^2. \)

No es difícil probar que es un número racional mostrando que es invariante por \( \sigma_2 \), pero vamos a necesitar una expresión explícita para \( M(\alpha) \) que volverá este hecho inmediato. Ante todo, como \( \sigma_1(\alpha) \) y \( \sigma_4(\alpha) \) son conjugados complejos, al igual que \( \sigma_2(\alpha) \) y \( \sigma_3(\alpha) \), ambos pares de números tienen el mismo módulo, luego

\( M(\alpha)=2|\alpha|^2+2|\sigma_2(\alpha)|^2=2(\alpha\bar\alpha+\sigma_2(\alpha)\sigma_2(\bar\alpha))=2(\alpha\bar\alpha+\sigma_2(\alpha\bar\alpha)) \).

Si \( \alpha= a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0 \), un cálculo rutinario muestra (¡comprobar!) que \( \alpha\bar\alpha = A+B\eta+C\eta' \), donde

\( A=a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2,\qquad B=a_0a_1+a_1a_2+a_2a_3,\qquad C=a_0a_2+a_0a_3+a_1a_3 \).

Por lo tanto \( \sigma_2(\alpha\bar\alpha)= A+B\eta+C\eta' \). Por lo tanto (¡comprobar!):

\( \color{blue}M(\alpha)=4A-2(B+C)=5A-A-2(B+C)=5(a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2)-(a_0+a_1+a_2+a_3)^2. \)

Esta expresión muestra que la medida de un número ciclotómico es un número racional y que la medida de un entero ciclotómico es un número natural (notemos que la medida es no negativa por definición). En particular nos va a interesar la cota:

\( \color{blue}M(\alpha)\leq 5(a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2). \)

La relación entre la norma y la medida viene dada por la desigualdad siguiente:

Problema 4 Probar que si \( \alpha \) es un número ciclotómico se cumple que

\( \color{blue}\displaystyle N(\alpha)\leq \left(\frac{M(\alpha)}4\right)^2. \)

Ayuda: \( |N(\alpha)|^2 \) es un producto de cuatro factores, que son los sumandos de \( M(\alpha) \). Usar la desigualdad entre la media geométrica y la media aritmética.

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[Carlos Ivorra]

Aprovecho que hemos terminado la exposición de los resultados algebraicos que necesitamos sobre los números ciclotómicos (de orden 5) para mostrar que todos ellos son generalizables a cualquier primo \( p\geq 3 \). Nada de lo que veremos en esta entrega será necesario para la prueba del UTF para \( p=5 \).

En esta entrega \( p \) será un primo impar arbitrario y llamaremos

\( \displaystyle\color{blue} \omega=\cos\frac{2\pi}p+i\sen\frac{2\pi}p. \)

Es claro entonces que las potencias \( 1=\omega^0, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p-1} \) son todas distintas (son números complejos de módulo 1 y argumento \( 2k\pi/p \), para \( k=0,\ldots, p-1 \), así como que \( \omega^p=1 \). Todas ellas son raíces del polinomio

\( x^p-1=(x-1)(x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots + x+ 1) \),

luego \( \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p-1} \) son todas las raíces del polinomio ciclotómico de orden \( p \):

\( \color{blue}c_p(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots + x+1=(x-\omega)(x-\omega^2)\cdots (x-\omega^{p-1}) \)

Como las potencias de \( \omega \) son números complejos de módulo 1, sus conjugados complejos son sus inversos. Como \( \omega^k\omega^{p-k}=\omega^p=1 \), resulta que \( \bar\omega^k = \omega^{p-k} \).

Definimos los números ciclotómicos de orden \( p \) como los números complejos de la forma \( \alpha= p(\omega) \), donde \( p(x) \) es un polinomio con coeficientes racionales. No ponemos límite en principio al grado de \( p(x) \), pero es claro que en la práctica podemos suponer que tiene a lo sumo grado \( p-1 \), de modo que

\( \color{blue}\alpha = a_{p-1}\omega^{p-1}+a_{p-2}\omega^{p-2}+\cdots + a_1\omega+a_0, \)

con los \( a_k \) números racionales, porque las potencias de \( \omega \) de exponente \( \geq p \) se pueden reducir a exponente \( <p \).

Más aún, teniendo en cuenta que \( \omega^{p-1}+\cdots +\omega+1=0 \), un número ciclotómico no se altera si sumamos un mismo número racional a todos sus coeficientes, luego en particular podemos exigir siempre que \( a_{p-1}=0 \), y entonces diremos que el número está expresado en forma reducida.

A los números ciclotómicos (de orden \( p \)) que tienen coeficientes enteros los llamaremos enteros ciclotómicos (de orden \( p \)).

Es claro que la suma y el producto de números ciclotómicos es de nuevo un número ciclotómico. Por ejemplo, si \( \alpha = f(\omega) \) y \( \beta=g(\omega) \), donde \( f(x), g(x) \) son polinomios con coeficientes racionales, basta tomar \( h(x)=f(x)g(x) \) y entonces \( \alpha\beta = h(\omega) \), luego también es un número ciclotómico. Igualmente se razona con la suma. Es inmediato que la suma y el producto de enteros ciclotómicos es también un entero ciclotómico.

El único resultado que hemos visto cuya generalización no es inmediata es el siguiente:

Teorema \( \omega \) no es raíz de ningún polinomio no nulo con coeficientes racionales de grado menor que \( p-1 \).

Este teorema viene demostrado en cualquier libro de teoría de cuerpos (con el enunciado alternativo de que los polinomios ciclotómicos son irreducibles en \( \mathbb Q{[}x{]} \)), pero aquí daremos una demostración elemental sacada del libro de H.M. Edwards Fermat's Last Theorem.

Demostración

Sea \( f(x) \) un polinomio no nulo con coeficientes racionales del menor grado posible tal que \( f(\omega)=0 \). Tenemos que probar que el grado de \( f \) es al menos \( p-1 \). Supongamos, por reducción al absurdo, que tiene grado \( <p-1 \). Multiplicándolo por el producto de los denominadores de sus coeficientes podemos suponer que tiene coeficientes enteros (pues con ello no alteramos su grado ni el hecho de que tenga a \( \omega \) por raíz). Dividiendo entre el máximo común divisor de sus coeficientes podemos suponer también que éstos son primos entre sí, es decir, que no son todos divisibles por un mismo primo.

Dividimos: \( c_p(x)=f(x)q(x)+r(x) \), donde el grado del resto \( r(x) \) es menor que el de \( f(x) \). Evaluando en \( \omega \) resulta que \( r(\omega)=0 \), pero como \( f \) tenía grado mínimo entre los polinomios con raíz \( \omega \), tiene que ser \( r(x)=0 \), luego \( c_p(x)=f(x)q(x) \).

Aquí debemos tener presente que, aunque el dividendo \( c_p(x) \) y el divisor \( f(x) \) tengan coeficientes enteros, el cociente \( q(x) \) no tiene por qué tenerlos. Pero multiplicando por el mínimo común múltiplo \( a>0 \) de los denominadores de los coeficientes de \( q(x) \) tenemos que \( ac_p(x)=f(x)aq(x) \). Cambiando \( q(x) \) por \( aq(x) \) queda:

\( ac_p(x)=f(x)q(x), \)

donde ahora sí que podemos asegurar que todos los polinomios de la relación anterior tienen coeficientes enteros.

Supongamos en primer lugar que \( a\neq 1 \). Entonces podemos tomar un primo \( r \) tal que \( r\mid a \), y así \( r \) divide a todos los coeficientes de \( f(x)q(x) \), y esto implica que divide a todos los coeficientes de \( q(x) \). En efecto, pongamos que

\( f(x)=\sum\limits_{i=0}^ka_ix^i,\qquad q(x)=\sum\limits_{j=0}^lb_j x^j \)

y sean

\( \bar f(x)=\sum\limits_{i=0}^k\bar a_ix^i,\qquad \bar q(x)=\sum\limits_{j=0}^l\bar b_j x^j \),

donde las barras indican las clases de congruencia módulo \( r \). Entonces \( \bar f(x)\bar q(x)=0 \), puesto que \( r \) divide a todos los coeficientes de \( f(x)q(x) \). En cambio \( \bar f(x)\neq 0 \), ya que \( r \) no divide a todos los coeficientes de \( f(x) \) (porque los hemos tomado primos entre sí).

Si llamamos \( \mathbb Z_r \) al conjunto de todas las clases de congruencia módulo \( r \), vamos a usar que se trata de un cuerpo, es decir, que al sumar y multiplicar clases módulo \( p \) se cumplen todas las propiedades básicas que cumplen los números racionales, reales o complejos, y los polinomios con coeficientes en \( \mathbb Z_r \) cumplen las mismas propiedades básicas que los polinomios con coeficientes en dichos cuerpos numéricos.

En particular, si el producto de dos polinomios es el polinomio nulo, es que uno de los factores es el polinomio nulo. En nuestro caso tiene que ser \( \bar q(x)=0 \), lo cual significa que \( r \) divide a todos los coeficientes de \( q(x) \). Consecuentemente:

\( \displaystyle \frac ar c_p(x)=f(x) \frac1r q(x), \)

donde todos los polinomios siguen teniendo coeficientes enteros. Prosiguiendo de este modo podemos terminar simplificando todos los divisores primos de \( a \), hasta llegar a una relación de la forma

\( c_p(x)=f(x)q(x), \)

donde los tres polinomios tienen coeficientes enteros.

Ahora vamos a considerar polinomios con coeficientes en \( \mathbb Z_p \). Tenemos que \( \bar c_p(x)(x-\bar 1)=x^p-\bar 1 \) y si \( n\not\equiv 1\,(\mbox{mód}\,p) \), al evaluar en \( \bar n \) queda \( \bar c_p(\bar n)(\bar n-\bar 1)= \bar n^p-\bar 1=\bar n-\bar 1\neq \bar 0 \) (donde hemos usado el pequeño teorema de Fermat \( n^p\equiv n\,(\mbox{mód}\,p) \)), luego, dividiendo entre \( \bar n-\bar1 \) llegamos a que \( \bar c_p(\bar n)=\bar 1 \).

Por otra parte, para \( n=1 \), la propia definición de \( c_p(x) \) nos da que \( \bar c_p(\bar 1)=\bar p=\bar 0 \). Esto implica que el polinomio \( \bar c_p(x)-(x-\bar 1)^{p-1} \), que tiene a lo sumo grado \( p-1 \), tiene \( p \) raíces distintas en \( \mathbb Z_p \) (a saber, \( \bar 0, \bar 1, \ldots, \overline{p-1} \)). Pero un polinomio de grado a lo sumo \( p-1 \) no puede tener \( p \) raíces distintas (en un cuerpo) salvo si es el polinomio nulo. Concluimos que \( \bar c_p(x)=(x-\bar 1)^{p-1} \), luego \( (x-\bar1)^{p-1}=\bar f(x)\bar q(x) \).

Por consiguiente, \( \bar f(x)=\bar c(x-\bar 1)^u \), \( \bar q(x)=\bar d(x-\bar 1)^v \), con \( u+v=p-1 \), \( \bar c \bar d = \bar1 \).

Sin embargo, no puede suceder que \( \bar f(\bar 1)=\bar 0 = \bar q(\bar 1) \), porque esto equivale a que \( p\mid f(1) \) y \( p\mid q(1) \), luego \( p^2\mid f(1)q(1)=c_p(1)=p \).

Así pues, o bien \( u=0 \) o bien \( v=0 \), es decir, o bien \( \bar q(x)=\bar d(x-\bar 1)^{p-1} \) o bien \( \bar f(x)=\bar c(x-\bar 1)^{p-1} \), pero el segundo caso es imposible, porque el grado de \( \bar f \) es menor que \( p-1 \), luego tiene que ser \( \bar q(x) \) el que tenga grado \( p-1 \), luego lo mismo vale para \( q(x) \), luego la relación \( c_p(x)=f(x)q(x) \) implica que \( f(x) \) tiene grado 0 (y es no nulo), lo cual contradice a que tenga a \( \omega \) por raíz.

[cerrar]

Como consecuencia:

Teorema Si un polinomio \( f(x) \) con coeficientes racionales tiene a \( \omega \) por raíz, entonces \( f(x)=c_p(x)q(x) \), para cierto polinomio \( q(x) \) con coeficientes racionales.

En efecto, basta dividir \( f(x)=c_p(x)q(x)+r(x) \), donde el resto \( r(x) \) tiene grado menor que el divisor, \( c_p(x) \), es decir, grado menor que \( p-1 \), y el teorema anterior implica que \( r(x)=0 \).

En particular, una igualdad de la forma

\( a_{p-1}\omega^{p-1}+\cdots + a_1\omega+a_0=b_{p-1}\omega^{p-1}+\cdots + b_1\omega+b_0 \),

donde los coeficientes son racionales, implica que existe un número racional \( r \) tal que \( b_i=a_i+r \).

En efecto, si llamamos \( f(x)=a_{p-1}x^{p-1}+\cdots + a_1x+a_0 \), \( g(x)=b_{p-1}x^{p-1}+\cdots + b_1x+b_0 \), tenemos que \( g(x)-f(x) \) se anula en \( \omega \), luego existe un \( q(x) \) tal que \( g(x)-f(x)=c_p(x)q(x) \), pero el grado del miembro izquierdo es a lo sumo \( p-1 \), al igual que el grado de \( c_p(x) \), luego \( q(x) \) tiene que tener grado 0, es decir, es una constante \( r \), luego \( g(x)-f(x)=rc_p(x) \), luego \( b_i=a_i+r \) para todo i.

Otra consecuencia es que si \( k= 1, 2, \ldots, p-1 \) y \( f(x), g(x) \) son polinomios con coeficientes racionales tales que \( f(\omega)=g(\omega) \), entonces también \( f(\omega^k)=g(\omega^k) \).

En efecto, tenemos que \( f(x)-g(x) \) se anula en \( \omega \), luego \( f(x)-g(x)=c_p(x)q(x) \), para cierto polinomio \( q(x) \), pero \( c_p(x) \) se anula en \( \omega^k \), luego \( f(\omega^k)-g(\omega^k)=0 \).

Esto nos permite definir el conjugado \( \sigma_k(\alpha) \) de un número ciclotómico \( \alpha = f(\omega) \) como \( \sigma_k(\alpha)=f(\omega^k) \), sin que importe el polinomio \( f(x) \) con el que representamos \( \alpha \).

Así pues, cada número ciclotómico tiene definidos \( p-1 \) conjugados, no necesariamente distintos. La misma prueba que en el caso \( p=5 \) nos da que \( \sigma_k(\alpha+\beta)=\sigma_k(\alpha)+\sigma_k(\beta) \) y \( \sigma_k(\alpha\beta)=\sigma_k(\alpha)\sigma_k(\beta) \).

Además \( \sigma_1(\alpha)=\alpha \) (porque consiste en sustituir \( \omega \) por \( \omega \)) y \( \sigma_{p-1}(\alpha)=\bar\alpha \) es la conjugación compleja, pues consiste en sustituir \( \omega \) por \( \omega^{p-1}=\bar\omega \), y así es como se calcula la conjugación compleja de cualquier número ciclotómico.

Teorema Los números ciclotómicos que quedan invariantes por todas las conjugaciones son los números racionales.

En efecto, sea \( \alpha = a_{p-1}\omega^{p-1}+\cdots +a_1\omega+a_0 \). Entonces \( \sigma_k(\alpha)= a_{p-1}\omega^{k(p-1)}+\cdots +a_1\omega^k+a_0 \). Si \( \sigma_k(\alpha)=\alpha \), como \( a_0 \) es el mismo en ambas expresiones, todos los coeficientes tienen que ser iguales. En particular tienen que serlo los coeficientes de \( \omega^k \), es decir, \( a_k = a_1 \). Como esto vale para todo \( k>0 \), tenemos que

\( \alpha = a_1\omega^{p-1}+a_1\omega^{p-2}+\cdots + a_1\omega+a_0=a_0-a_1 \)

es un número racional.

Observemos que en realidad podemos definir la conjugación \( \sigma_k \) para todo \( k \) que no sea múltiplo de \( p \), de modo que \( \sigma_k(f(\omega))=f(\omega^k) \). Así, \( \sigma_{p+1}=\sigma_1, \sigma_{p+2}=\sigma_2 \), etc., porque es lo mismo sustituir \( \omega \) por \( \omega^{p+2} \) que por \( \omega^2 \), etc.

En estos términos se cumple una relación que ya detectó ingmarov en el caso \( p=5 \), y es que

\( \color{blue}\sigma_k(\sigma_l(\alpha))=\sigma_{kl}(\alpha), \)

pues \( \sigma_k(\sigma_l(f(\omega))=\sigma_k(f(\omega^l))=f(\omega^{kl})=\sigma_{kl}(\omega) \).

Finalmente definimos la norma de un número ciclotómico como

\( \color{blue} N(\alpha)=\sigma_1(\alpha)\cdots \sigma_{p-1}(\alpha). \)

Se trata de un número racional, pues si \( p\nmid k \), tenemos que

\( \sigma_k(N(\alpha))=\sigma_k(\sigma_1(\alpha))\cdots \sigma_k(\sigma_{p-1}(\alpha))=\sigma_k(\alpha)\sigma_{2k}(\alpha)\cdots \sigma_{(p-1)k}(\alpha). \)

Ahora basta observar que si \( 1\leq i<j\leq p-1 \), entonces \( ki\not\equiv kj\,(\mbox{mód}\,p) \), pues en caso contrario \( p\mid kj-ki=k(j-i) \), pero \( p\nmid k \), luego \( p\mid j-i<p \), contradicción.

Por consiguiente, los \( p-1 \) números \( k, 2k, 3k, \ldots, (p-1)k \) son no congruentes dos a dos módulo \( p \), luego las conjugaciones \( \sigma_k, \sigma_{2k}, \ldots, \sigma_{(p-1)k} \) son las \( p-1 \) conjugaciones distintas (tal vez en otro orden), luego \( \sigma_k(N(\alpha))=N(\alpha) \).

Esto prueba que la norma es racional, y si \( \alpha \) es un entero ciclotómico, entonces su norma es un entero ciclotómico racional, luego es un entero, por la unicidad de la expresión reducida.

Más aún, la norma es siempre \( \geq 0 \), pues podemos agrupar sus factores en la forma:

\( N(\alpha)=\sigma_1(\alpha)\sigma_{p-1}(\alpha)\ \sigma_2(\alpha)\sigma_{p-2}(\alpha)\cdots \sigma_{(p-1)/2}(\alpha)\sigma_{(p+1)/2}(\alpha), \)

pero así cada par de términos consecutivos son conjugados, pues \( \bar\sigma_k(\alpha)=\sigma_{p-1}(\sigma_k(\alpha))=\sigma_{pk-k}(\alpha)=\sigma_{p-k}(\alpha) \), porque \( pk-k\equiv p-k\,(\mbox{mód}\,p) \).

Por consiguiente:

\( N(\alpha)=\sigma_1(\alpha)\bar\sigma_1(\alpha)\ \sigma_2(\alpha)\bar\sigma_2(\alpha)\cdots \sigma_{(p-1)/2}(\alpha)\bar\sigma_{(p-1)/2}(\alpha) = |\sigma_1(\alpha)|^2\cdots |\sigma_{(p-1)/2}(\alpha)|^2\geq 0. \)

En definitiva, la norma de un entero ciclotómico es un número natural. Como las conjugaciones son multiplicativas, es inmediato que la norma también lo es:

\( \color{blue} N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta). \)

Teorema Si \( \alpha, \beta \) son dos números ciclotómicos y \( \beta\neq 0 \), entonces

\( \displaystyle \color{blue}\frac\alpha\beta=\frac{\alpha \sigma_2(\beta)\cdots \sigma_{p-1}(\beta)}{N(\beta)} \)

es también un número ciclotómico.

La prueba es completamente análoga a la que hemos visto para \( p=5 \).

Como ilustración propongo algunos problemas para el caso \( p=7 \):

Problema 1 Para cada \( k = 1, \ldots, 6 \), determinar las relaciones que deben cumplir los coeficientes de un número ciclotómico

\( \alpha = a_6\omega^6+a_5\omega^5+a_4\omega^4+a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0 \)

para que cumpla \( \sigma_k(\alpha)=\alpha \).

Problema 2 Probar que \( N(\omega-1)=7 \) (el razonamiento más corto consiste en imitar el que hemos empleado en el caso \( p=5 \)).

Problema 3 Calcular los seis conjugados de \( \alpha=\omega^3+\omega+1 \). Multiplicarlos sucesivamente para obtener (en caso de supervivencia al cálculo) \( N(\alpha) \) (que tiene que ser un número natural).

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[Carlos Ivorra]

En la entrega anterior hemos visto que todos los resultados que hemos probado para enteros ciclotómicos de orden 5 se generalizan a otros órdenes primos, de modo que la diferencia es meramente cuantitativa: cuanto mayor es \( p \), más potencias tiene \( \omega \), más términos tienen los enteros ciclotómicos, más conjugaciones hay, más factores tiene la norma, etc., pero todo funciona igual.

Ahora vamos a ver la primera diferencia cualitativa importante entre los enteros ciclotómicos de distintos órdenes, en el sentido de que el teorema que vamos a demostrar para \( p=5 \) sólo es válido para los primos

\( p = 2,\quad 3,\quad 5,\quad 7,\quad 11,\quad 13,\quad 17,\quad 19, \)

donde el caso \( p=2 \) hay que entenderlo como que los enteros ciclotómicos de orden 2 son los enteros usuales (con \( \omega = -1 \)). Así pues, quitando este caso trivial, el resultado sólo vale en siete casos.

Estamos hablando del teorema siguiente:

Teorema (Principio de la división euclídea) Dado un entero ciclotómico \( \Delta \) (dividendo) y otro \( \delta \neq 0 \) (divisor), existen enteros ciclotómicos \( \kappa \) (cociente) y \( \rho \) (resto) tales que

\( \Delta = \delta\kappa+\rho,\qquad N(\rho)<N(\delta). \)

En la primera parte de este mensaje se discute la relación entre este enunciado y el principio de la división euclídea para números enteros, mientras que en la segunda parte se da la prueba para \( p=3 \), que es muy sencilla. Ahora vamos a ver la prueba para \( p=5 \), que ya no es tan simple y para la cual voy a seguir un artículo de 1909:

Ouspensky, J. Note sur les nombres entiers dépendant d'une racine cinquième de l'unité. Math Ann. 66 (1909) pp 109-112.

El autor la atribuye a Gauss.

Demostración: Observamos en primer lugar que basta demostrar un hecho más simple:

Para todo número ciclotómico \( \alpha \) existe un entero ciclotómico \( \gamma \) tal que \( N(\alpha-\gamma)<1 \).

En efecto, veamos que si se cumple esto también se cumple el teorema. Dados enteros ciclotómicos \( \Delta \) y \( \delta\neq 0 \), llamamos \( \alpha = \Delta/\delta \), que es un número ciclotómico, según sabemos. Estamos suponiendo que existe un entero ciclotómico \( \gamma \) tal que \( N(\alpha-\gamma)<1 \). Llamamos \( \beta=\alpha-\gamma = \frac\Delta\delta-\gamma \). Así \( \Delta = \delta\gamma+\delta\beta \) y basta tomar como cociente \( \kappa = \gamma \) y como resto \( \rho=\delta\beta=\Delta-\delta\gamma \), pues entonces \( N(\rho)=N(\delta)N(\beta)<N(\delta) \).

Pongamos que \( \alpha = a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0 \), donde los coeficientes son números racionales, y descompongamos:

\( \begin{eqnarray*}
4a_0-a_1-a_2-a_3&=&e_0+r_0\\
4a_1-a_0-a_2-a_3&=&e_1+r_1\\
4a_2-a_0-a_1-a_3&=&e_2+r_2\\
4a_3-a_0-a_1-a_2&=&e_3+r_3\\
-a_0-a_1-a_2-a_3&=&e_4+r_4
\end{eqnarray*} \)

donde los \( e_i \) son enteros y \( 0\leq r_{\color{red} i}<1 \) (es decir, \( e_i \) es la parte entera del número racional del miembro izquierdo y \( r_i \) es la parte fraccionaria).  En estos términos

\( \displaystyle\alpha = \frac{e_3-e_4+r_3-r_4}5\,\omega^3+\frac{e_2-e_4+r_2-r_4}5\,\omega^2+\frac{e_1-e_4+r_1-r_4}5\,\omega+\frac{e_0-e_4+r_0-r_4}5. \)

Además \( e_0+e_1+e_2+e_3+e_4+r_0+r_1+r_2+r_3+r_4=0 \).

Consideramos primero el caso en que \( r_0+r_1+r_2+r_3+r_4=0 \). Como todos los sumandos son mayores o iguales que 0, esto equivale a que \( r_i=0 \) para todo \( i \). En particular resulta que

\( \displaystyle a_i=\frac{e_i-e_4}5. \)

Podemos tomar números enteros \( n_i \) tales que \( |a_i-n_i|\leq 1/2 \) (todo número racional está a menos de \( 0.5 \) unidades de un entero). Esto equivale a que

\( \displaystyle\left|\frac{e_i-e_4}5-n_i\right|\leq \frac12\quad \Rightarrow\quad |e_i-e_4-5n_i|\leq 5/2, \)

pero claramente podemos rebajar la cota hasta \( 2 \), porque el miembro izquierdo es entero, luego de hecho tenemos que \( |a_i-n_i|\leq 2/5 \).

Entonces \( \gamma = n_3\omega^3 +n_2\omega^2+n_1\omega+n_0 \) cumple que

\( \displaystyle N(\alpha-\gamma)\leq \left(\frac{M(\alpha-\gamma)}4\right)^2\leq \left(\frac{5(|a_0-n_0|^2+|a_1-n_1|^2+|a_2-n_2|^2+|a_3-n_3|^2)}4\right)^2\leq \left(\frac45\right)^2<1, \)

donde hemos usado la desigualdad entre la norma y la medida que constituyó el problema 4 del hilo sobre la norma así como la desigualdad que demostramos justo antes.

Esto termina la prueba en el caso que habíamos supuesto. Nos queda ahora el caso en que \( m= -e_0-e_1-e_2-e_3-e_4=r_0+r_1+r_2+r_3+r_4>0 \). Notemos que \( m \) es un número entero por la primera expresión y es \( 0<m<5 \) por la segunda, luego \( m=1, 2, 3, 4 \). Además \( e_0+e_1+e_2+e_3+e_4+m=0 \), luego

\( e_0-e_4+e_1-e_4+e_2-e_4+e_3-e_4+m=-5e_4\equiv0\,(\mbox{mód}\, 5). \)

Todo número entero es congruente módulo 5 con uno de los números \( -2, -1, 0, 1, 2 \). Por lo tanto podemos tomar enteros \( s_i \) tales que \( e_i-e_4\equiv s_i\,(\mbox{mód}\,5) \) con \( |s_i|\leq 2 \), para \( i=0, 1, 2, 3 \). La congruencia anterior equivale entonces a que

\( s_0+s_1+s_2+s_3\equiv -m\,(\mbox{mód}\,5). \)

Supongamos que algún \( s_i=0 \), por ejemplo, \( s_2=0 \), con lo que \( e_2-e_4=5k_2 \). Tomemos como antes enteros \( n_i \) tales que \( |a_i-n_i|\leq 1/2 \). Entonces de hecho

\( |a_2-n_2|=\left|\frac{e_2-e_4+r_2-r_4}5-n_2\right|=\left|\frac{r_2-r_4}5+k_2-n_2\right|=\left|\frac{r_2-r_4}5\right|<\frac15.
 \)

La última igualdad se debe a que el miembro izquierdo tiene que ser \( \leq 1/2 \), para lo cual es necesario que \( k_2-n_2=0 \), o de lo contrario dicho miembro izquierdo sería como mínimo \( 3/5=0{.}6 \).

Por lo tanto, si llamamos \( \gamma = n_3\omega^3+n_2\omega^2+n_1\omega+n_0 \), se trata de un entero ciclotómico tal que

\( \alpha-\gamma=c_3\omega^3+c_2\omega^2+c_1\omega+c_0 \)

cumple  \( |c_i|=|a_i-n_i|\leq 1/2 \), pero para uno de los índices se cumple, más precisamente, \( |c_i|<1/5 \). Con esto ya podríamos llegar a la conclusión en este caso, pero mejor pasamos al caso que nos queda y así podremos terminar ambos a la vez.

Supongamos, pues, que ningún \( s_i=0 \). Esto significa que \( s_0, s_1, s_2, s_3 \) toman los valores \( -2, -1, 1, 2 \). Tiene que haber dos índices \( i\neq j \) tales que \( s_i=s_j \), ya que en caso contrario \( s_0, s_1, s_2, s_3 \) tomarían los cuatro valores posibles \( -2, -1, 1, 2 \) y su suma sería 0, pero no puede ser porque dicha suma es congruente con \( -m \) módulo 5 y \( m=1, 2, 3, 4 \).

Supongamos por ejemplo que son \( s_2=s_3 \), con lo que \( e_2-e_3\equiv 0\,(\mbox{mód}\, 5) \). Entonces

\( \begin{eqnarray*}
\omega\alpha &=& \frac{e_3-e_4+r_3-r_4}5\,\omega^4+\frac{e_2-e_4+r_2-r_4}5\,\omega^3+\frac{e_1-e_4+r_1-r_4}5\,\omega^2+\frac{e_0-e_4+r_0-r_4}5\omega\\
&=&\frac{e_2-e_3+r_2-r_3}5\,\omega^3+\frac{e_1-e_3+r_1-r_3}5\,\omega^2+\frac{e_0-e_3+r_0-r_3}5\,\omega+\frac{e_4-e_3+r_4-r_3}5
\end{eqnarray*} \)

y así \( \omega\alpha \) está en el caso anterior, porque \( e_2-e_3 \) es múltiplo de \( 5 \). (En general, si \( s_i=s_j \), multiplicamos \( \alpha \) por la potencia \( \omega^k \) adecuada para que \( e_i \) aparezca acompañando a \( \omega^4 \), y así al reducir la expresión aparece \( e_j-e_i \) acompañando a alguna potencia de \( \omega \)).

En definitiva, en cualquier caso existe un índice \( k \) y un entero ciclotómico \( \gamma' \) de modo que

\( \omega^k\alpha-\gamma'=c_3\omega^3+c_2\omega^2+c_1\omega+c_0 \)

cumple que \( |c_i|\leq 1/2 \) para \( i=0, 1, 2, 3 \), pero uno de los coeficientes cumple, de hecho, \( |c_i|<1/5 \). Por consiguiente

\( \displaystyle M(\omega^k\alpha-{\color{red}\gamma'})\leq 5(\frac14+\frac14+\frac14+\frac1{25})=\frac{79}{20}, \)

\( \displaystyle N(\alpha-\omega^{-k}\gamma')=N(\omega^{-k})N(\omega^k\alpha-\gamma')=N(\omega^k\alpha-\gamma)\leq \left(\frac{79}{80}\right)^2<1, \)

luego \( \gamma = \omega^{\color{red}-k}\gamma' \) cumple lo requerido.

Problema 1: Siguiendo los pasos de la demostración, calcular el cociente y el resto cuando \( \Delta=\omega^2+2 \) y \( \delta=\omega+2 \).

Notemos que en un ejercicio anterior ya habíamos calculado

\( \alpha = \frac{\Delta}{\delta}=-\frac6{11}\omega^3+\frac6{11}\omega^2-\frac7{11}\omega+\frac8{11}. \)

Esto nos da los \( a_i \), luego hay que calcular los \( e_i \) y los \( r_i \), a partir de ahí los \( s_i \), luego el \( \gamma' \) que cumple \( N(\omega^k\alpha-\gamma')<1 \) (que resulta de redondear los coeficientes de \( \omega^k\alpha \) al entero más próximo), luego \( \gamma=\omega^{-k}\gamma' \), y entonces el cociente es \( \kappa = \gamma \) y el resto es \( \rho =\Delta-\delta\gamma \).

Comprobar que \( N(\rho)<N(\delta)=11 \).

El lector que se atreva con el problema se convencerá (si no lo estaba ya antes) de que dividir enteros ciclotómicos de orden 5 es muy farragoso. No obstante, hay que decir que esto es relativo. También es complicado calcular \( \sen 17 \) o \( \sqrt{19} \) "a mano", pero como las calculadoras lo hacen con sólo apretar una tecla, no pensamos que calcular senos o raíces cuadradas sea complicado. Si las calculadoras no dividen enteros ciclotómicos de orden 7 sin más que apretar una tecla es porque la popularidad de los enteros ciclotómicos es algo menor que la de los senos o las raíces cuadradas, pero el proceso que sigue una calculadora para calcular un seno no es más sencillo que el que tendría que seguir para dividir dos enteros ciclotómicos, y no es difícil programar a un ordenador para que divida a golpe de tecla.

Por otra parte, el problema lo he puesto sólo para que el lector se asegure de que entiende la demostración. En la práctica nunca vamos a necesitar el cálculo de divisiones euclídeas ciclotómicas, y nos bastará con saber que es posible hacerlo.

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[Carlos Ivorra]

Lo que vamos a ver en esta entrega es una ligera variante de lo que conté en la entrega correspondiente del hilo sobre el caso \( p = 3 \), pero en vez de remitir a ella e indicar las variantes, me parece más fácil y más cómodo para todos copiarla aquí y retocarla, aunque el parecido será enorme. Es interesante que todo lo que diremos aquí vale para enteros ciclotómicos de cualquier orden primo \( p\geq 3 \), pero si algún lector se ha saltado la entrega sobre la generalización a primos arbitarios, sólo tiene que considerar que lo que decimos se aplica únicamente al caso \( p=5 \).

Como esta entrega es muy conceptual, he procurado poner muchos problemas para que ayuden a sacar a la luz todos los puntos que podrían quedar confusos. Es probable que quien intente hacerlos se encuentre con "dudas existenciales". Sería algo normal y la finalidad de los ejercicios no es sino que uno tenga la oportunidad de tropezarse con ellas y preguntarlas.

El concepto de divisibilidad entre enteros se generaliza de forma obvia al caso de los enteros ciclotómicos:

Definición: Se dice que un entero ciclotómico \( \alpha \) divide a otro \( \beta \), o que \( \beta \) es múltiplo de \( \alpha \), o que \( \beta \) es divisible entre \( \alpha \), y se representa por \( \alpha\mid \beta \), si existe un entero ciclotómico \( \gamma \) tal que \( \beta=\alpha\gamma \).

Es inmediato que la divisibilidad es reflexiva (todo entero ciclotómico se divide a sí mismo) y transitiva: si \( \alpha\mid \beta \) y \( \beta\mid \gamma \), entonces \( \alpha\mid \gamma \).

Notemos que si \( m \) y \( n \) son dos números enteros, ahora \( m\mid n \) tiene, en principio, dos significados distintos:

\( \bullet \) Si hay que entenderlo como una afirmación sobre enteros, significa que existe un entero \( a \) tal que \( n=am \).

\( \bullet \) Si hay que entenderlo como una afirmación sobre enteros ciclotómicos, significa que existe un entero ciclotómico \( \alpha \) tal que \( n=\alpha m \).

Sin embargo, ambas afirmaciones son equivalentes.

Claramente la primera implica la segunda, pues todo entero es un entero ciclotómico, mientras que si \( n=\alpha m \), para cierto entero ciclotómico \( \alpha \), o bien \( m=0 \), en cuyo caso \( n=0 \) y obviamente \( 0\mid 0 \) como números enteros, o bien \( \alpha = n/m \) es a la vez un entero ciclotómico y un número racional, pero sabemos que esto implica que \( \alpha \) es un entero usual (porque \( n/m \) es la expresión de \( \alpha \) en forma reducida, y la expresión reducida de un entero ciclotómico tiene coeficientes enteros). Por lo tanto \( m\mid n \) como enteros usuales.

Así pues, no tenemos que distinguir si decimos que un entero es múltiplo de otro con cociente entero o entero ciclotómico. Si un entero es múltiplo de otro entero, aunque admitamos que el cociente sea entero ciclotómico, de hecho tiene que ser entero.

A partir del concepto de divisibilidad podemos definir el de primo, pero ¿qué es un número primo?

Probablemente, todos aprendimos lo que es un número primo cuando sólo conocíamos los números naturales, y entonces nos dijeron que un número \( p \) es primo cuando sus únicos divisores son \( 1 \) y \( p \).

Aquí habría que aclarar que, por definición, se considera que el 0 y el 1 no son primos. No todos los maestros aclaran esto y no es raro encontrar a gente convencida de que el 1 es primo. No es ese el convenio que usan los matemáticos. Hay que entender que el 5 es primo, el 6 es compuesto y el 0 y el 1 no son ni primos ni compuestos, sino que quedan al margen de esta clasificación.

Cuando los que se aventuran a estudiar los números naturales se convencen de que es más práctico trabajar con números enteros, algunos no se dan cuenta de que la definición anterior de primo deja de ser válida. En efecto, ya no es cierto que los únicos divisores de 5 sean 1 y 5, sino que, si consideramos números enteros, el 5 pasa a tener cuatro divisores:

\( 1,\quad -1, \quad 5, \quad -5 \).

Estos cuatro divisores son de dos clases distintas. Los dos primeros, el 1 y el -1, están ahí porque no pueden faltar, porque dividen a todos los números enteros, así que su presencia no dice nada sobre el 5. A la hora de generalizar la noción de primo a los enteros ciclotómicos debemos reflexionar sobre qué números son los análogos ciclotómicos al 1 y el -1 enteros. La respuesta nos la da este teorema:

Teorema Dado un entero ciclotómico \( \epsilon \), las afirmaciones siguientes son equivalentes:

• \( \epsilon^{-1} \) es un entero ciclotómico.
• \( \epsilon\mid 1 \)
• \( \epsilon \) divide a todos los enteros ciclotómicos.
• \( N(\epsilon)=1 \)

Los números que cumplen esto se llaman unidades ciclotómicas.

Antes de probar las equivalencias, notemos que todas ellas valen igualmente si cambiamos "entero ciclotómico" por "entero", y en la última ponemos \( |\epsilon|=1 \). Así pues, las unidades en los enteros son \( \pm 1 \).

Demostración

Si \( \epsilon^{-1} \) es un entero ciclotómico, entonces \( \epsilon\epsilon^{-1}=1 \) prueba que \( \epsilon\mid 1 \).

Si \( \epsilon\mid 1 \), como claramente 1 divide a todo entero ciclotómico y la divisibilidad es transitiva, concluimos que \( \epsilon \) divide a todo entero ciclotómico.

Si \( \epsilon \) divide a todo entero ciclotómico, en particular divide a 1, luego \( \epsilon\delta=1 \), para cierto entero ciclotómico \( \delta \), luego \( N(\epsilon)N(\delta)=N(1)=1 \), pero esto es una igualdad sobre números naturales, y la única solución posible es que \( N(\epsilon)=1 \).

Si \( N(\epsilon)=1 \), por definición de norma esto es lo mismo que \( \epsilon \sigma_2(\epsilon)\cdots \sigma_{p-1}(\epsilon)=1 \), luego, despejando, \( \epsilon^{-1}= \sigma_2(\epsilon)\cdots \sigma_{p-1}(\epsilon) \). Como los conjugados de los enteros ciclotómicos son enteros ciclotómicos y el producto de enteros ciclotómicos es un entero ciclotómico, concluimos que \( \epsilon^{-1} \) es un entero ciclotómico.

[cerrar]

Observemos que en la demostración del teorema sólo hemos tenido que modificar ligeramente la prueba de la última implicación. Sin embargo, ahora nos encontramos con una diferencia enorme entre los casos \( p=3 \) y \( p=5 \):

En los enteros usuales hay exactamente dos unidades: \( \pm 1 \).

En los enteros ciclotómicos de orden 3 hay exactamente seis unidades: \( \pm 1, \pm \omega, \pm \omega^2 \).

(Esto está planteado como problema en este mensaje.)

Cabría esperar entonces que en los enteros ciclotómicos de orden 5 hubiera 10 unidades, a saber, \( \pm1, \pm\omega, \pm \omega^2, \pm\omega^3, \pm\omega^4 \), pero no. Ciertamente, estos 10 enteros ciclotómicos son unidades. Por ejemplo, porque \( N(\omega)=N(-1)=1 \) y esto implica que los 10 tienen norma 1; pero no son las únicas unidades ciclotómicas de orden 5. Otro ejemplo de unidad es \( \eta=\omega+\omega^4 \), que hemos visto que cumple \( N(\eta)=1 \), luego es una unidad, y por la unicidad de la forma reducida no es ninguna de las 10 anteriores.

Problema 1 Porbar que el número áureo

\( \displaystyle\epsilon = \frac{1+\sqrt 5}2 \)

es una unidad como entero ciclotómico de orden 5.

Usar para ello la expresión que hemos calculado de \( \epsilon \) en términos de \( \omega \). Hay (al menos) dos opciones: una es ver que tiene norma 1, y otra es ver que \( \epsilon\eta=1 \), lo que nos dice además que \( \epsilon^{-1}=\eta \).

Problema 2 Hacer una lista de las unidades ciclotómicas de orden 5 que nos hemos encontrado en ejercicios precedentes.

Más aún, teniendo en cuenta que el número áureo es un número real \( \epsilon>1 \), resulta que sus potencias cumplen

\( \epsilon<\epsilon^2<\epsilon^3<\cdots \)

y es claro que todas ellas son unidades ciclotómicas de orden 5 (el producto de dos unidades es una unidad, porque la norma es multiplicativa, luego el producto de números de norma 1 tiene norma 1).

Concluimos que hay infinitas unidades ciclotómicas de orden 5.

Recapitulando:

• La única unidad de los números naturales es el 1, por lo que cada número natural (que no sea 0 ni 1), como el \( 2 \), tiene al menos dos divisores, \( 1 \) y \( 2 \).
• En los enteros hay dos unidades, por lo que cada número entero (que no sea ni 0 ni \( \pm1 \)), como el \( 2 \) tiene al menos cuatro divisores: \( \pm 1 \) y \( \pm 2 \).
• Entre los enteros ciclotómicos de orden 3 hay seis unidades, por lo que cada entero ciclotómico de orden 3 (que no sea 0 ni unidad), como el \( 2 \), tiene al menos doce divisores:
  
  
  \( \pm1,\quad \pm\omega,\quad, \pm\omega^2,\quad \pm 2,\quad \pm2\omega,\quad \pm2\omega^2 \).
  
  Por ejemplo, la factorización \( 2=(\omega)(2\omega^2) \) prueba que \( \omega \) y \( 2\omega^2 \) son divisores del \( 2 \).
  
• Entre los enteros ciclotómicos de orden 5 hay infinitas unidades, por lo que todo entero ciclotómico \( \alpha \) de orden 5 tiene infinitos divisores "triviales" de la forma \( \epsilon \) (unidad) o bien \( \epsilon\alpha \).
  
  Por ejemplo, la factorización \( 2=\epsilon (\eta2) \) implica que \( \epsilon \) y \( \eta 2 \) son divisores de \( 2 \).
  

Problema 3 Probar que si \( p>3 \) existen infinitas unidades ciclotómicas de orden \( p \). Probar para ello que \( \eta=\omega+\omega^{p-1} \) es una unidad y que es un número real distinto de \( \pm 1 \). Razonar que sus potencias son infinitas unidades distintas dos a dos.

Con esto ya podemos definir sensatamente el concepto de primo ciclotómico, pero antes vamos a dar nombre al segundo grupo de divisores forzados de cualquier número:

Teorema: Si \( \alpha \) y \( \beta \) son enteros ciclotómicos no nulos, las afirmaciones siguientes son equivalentes:

• \( \alpha\mid\beta \) y \( \beta\mid \alpha \)
• \( \alpha \) y \( \beta \) tienen los mismos múltiplos y los mismos divisores.
• Existe una unidad \( \epsilon \) tal que \( \alpha=\epsilon\beta \).

Cuando \( \alpha \) y \( \beta \) cumplen esto se dice que son asociados.

Nuevamente, este teorema es válido igualmente para enteros ordinarios, y para números naturales. Fijándonos en la última propiedad, vemos que cada número natural no nulo sólo es asociado de sí mismo, porque no hay más unidad que 1, pero cada número entero no nulo \( n \) es asociado de \( -n \), luego los números enteros no nulos forman parejas de asociados (1 y -1, 2 y -2, 3 y -3, etc.). En cambio, cada entero ciclotómico [de orden 3] no nulo tiene exactamente seis asociados, los que resultan de multiplicarlo por las seis unidades.

Y cada entero ciclotómico \( \alpha \) de orden \( p>3 \) tiene infinitos asociados, los de la forma \( \epsilon\alpha \), donde \( \epsilon \) recorre las infinitas unidades ciclotómicas.

Demostración

Si \( \alpha \) y \( \beta \) se dividen mutuamente, la transitividad de la divisibilidad hace que tengan los mismos múltiplos y divisores, pues si, por ejemplo, \( \gamma \) es múltiplo de \( \alpha \), entonces \( \beta\mid \alpha\mid \gamma \), luego \( \gamma \) es múltiplo de \( \beta \), y viceversa, e igualmente con divisores en vez de múltiplos.

Si \( \alpha \) y \( \beta \) tienen los mismos múltiplos y divisores, como \( \alpha\mid \alpha \), también \( \alpha\mid \beta \), y viceversa. Tenemos, por consiguiente, que \( \alpha = \beta\epsilon \) y que \( \beta=\alpha\delta \), para ciertos enteros ciclotómicos \( \epsilon \) y \( \delta \).

Pero entonces \( \alpha = \alpha\delta\epsilon \) y, como \( \alpha\neq 0 \), podemos simplificarlo: \( \delta\epsilon=1 \), luego \( \delta \) y \( \epsilon \) son unidades. En particular tenemos la tercera condición: \( \alpha = \epsilon\beta \), donde \( \epsilon \) es una unidad.

Si \( \alpha = \epsilon\beta \), donde \( \epsilon \) es una unidad, entonces, por definición, \( \beta\mid \alpha \), pero también \( \beta=\epsilon^{-1}\alpha \), y, por ser una unidad, \( \epsilon^{-1} \) es un entero ciclotómico, luego también \( \alpha\mid \beta \).

[cerrar]

Ahora podemos afirmar, con el vocabulario que acabamos de introducir, que cada número natural no nulo ni unitario \( n \) tiene al menos como divisores a la única unidad (1) y a su único asociado (\( n \)), igualmente, cada número entero no nulo ni unitario tiene al menos como divisores a las dos unidades (\( \pm 1 \)) y a sus dos asociados (\( \pm n \)) y, análogamente, cada entero ciclotómico no nulo ni unitario [de orden 3] tiene al menos doce divisores: las seis unidades y sus seis asociados.

Notemos que decimos "cada entero ciclotómico que no sea ni 0 ni una unidad" porque, aunque es cierto que una unidad tiene por divisores a las seis unidades y a sus seis asociados, no es cierto que sean doce divisores porque los asociados de las unidades son las unidades, luego en este caso estamos contando dos veces los mismos seis números.

En el caso \( p>3 \), cada entero ciclotómico tiene infinitos divisores "obligatorios" de dos tipos: las infinitas unidades, y sus infinitos asociados.

Finalmente:

Definición: Un entero ciclotómico es primo si no es 0 ni una unidad, y sus únicos divisores son las unidades y sus asociados.

Así, por ejemplo, sabemos que \( 2 \) tiene (en el caso \( p=3 \)) los doce divisores que hemos enumerado más arriba. Aunque parezcan muchos, ahora sabemos que son los indispensables, luego afirmar que \( 2 \) es un primo ciclotómico (de orden 3) equivale a que no haya ninguno más que esos 12. En el caso \( p>3 \) sabemos que \( 2 \) tiene infinitos divisores "triviales", y aunque parezca un número intolerable, afirmar que \( 2 \) es primo equivale a afirmar que todos los divisores de 2 son "triviales", en el sentido de que sean o unidades o asociados.

Conviene observar un hecho elemental:

Teorema Supongamos que un entero ciclotómico no nulo factoriza como \( \alpha=\epsilon\beta \). Entonces \( \epsilon \) es una unidad si y sólo si \( \beta \) es un asociado de \( \alpha \).

Demostración

Si \( \epsilon \) es una unidad entonces \( \beta \) es asociado de \( \alpha \) porque esta es una de las caracterizaciones que hemos dado del concepto de asociado. Recíprocamente, si \( \beta \) es asociado de \( \alpha \), sabemos que \( \alpha=\delta\beta \), donde \( \delta \) es una unidad, luego \( \epsilon\beta=\delta\beta \), luego \( \epsilon=\delta \) es una unidad.

[cerrar]

En otras palabras: llamaremos factorizaciones triviales de un entero ciclotómico \( \alpha \) a las de la forma \( \alpha= \) unidad \( \times \) asociado (o asociado \( \times \) unidad). Lo que estamos diciendo es que siempre que tengamos una factorización \( \alpha = \epsilon\beta \) y uno de los dos factores sea trivial (por ser una unidad o un asociado de \( \alpha \)) entonces el otro también es trivial del tipo opuesto (unidad si el otro era asociado y viceversa).

En los enteros, las factorizaciones triviales de \( 6 \) son \( 6=1\cdot 6 = (-1)(-6) \), mientras que \( 6=2\cdot 3 \) es una factorización no trivial. Lo que hemos visto es que en los enteros ciclotómicos las factorizaciones triviales son un poco más sofisticadas, porque hay seis [o infinitas] unidades en lugar de las meras \( \pm 1 \).

En estos términos podemos dar una caracterización útil de los primos:

Un entero ciclotómico \( \pi \) es primo si y sólo si no es 0 ni una unidad, y siempre que se descompone en un producto \( \pi=\alpha\beta \), la factorización es trivial.

En efecto, los números que aparecen en las factorizaciones \( \pi=\alpha\beta \) son simplemente los divisores de \( \pi \), luego \( \pi \) es primo (siendo no nulo ni unitario) si y sólo si en dichas factorizaciones sólo aparecen unidades y asociados, es decir, si son triviales.

Problema 4 Demostrar que si un entero ciclotómico tiene norma prima, entonces es un primo ciclotómico. (Plantear una posible factorización, tomar normas y concluir que es trivial.) Pero ¡ojo! un entero ciclotómico cuya norma no sea prima también puede ser un primo ciclotómico.

Como consecuencia, \( \pi=\omega-1 \) es un primo ciclotómico (para cualquier orden \( p \)).

Problema 5 Probar que los conjugados de las unidades son unidades y que los conjugados de los primos ciclotómicos son primos ciclotómicos.

Problema 6 En el caso \( p=5 \), consideremos la factorización:

\( 5=(\omega-1)(\omega^2-1)(\omega^3-1)(\omega^4-1) \)

(que se obtiene, como ya sabemos, de la factorización del polinomio ciclotómico.) Probar que es una descomposición de 5 en factores primos.

Demostrar que los cuatro factores son asociados (ayuda: \( 1+\omega+\cdots +\omega^k=\frac{\omega^{k+1}-1}{\omega-1} \)).

Encontrar la unidad \( \epsilon \) que cumple \( 5=\epsilon \pi^4 \), donde \( \pi=\omega-1 \).

Problema 7 Encontrar un primo ciclotómico de norma 11 (buscarlo en los ejercicios de hilos anteriores). Encontrar una descomposición de 11 en factores primos ciclotómicos de orden 5 (usar la definición de norma). ¿Son asociados los factores primos?

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[Carlos Ivorra]

El contenido de esta entrega es prácticamente el mismo que el de la entrega análoga del caso \( p=3 \), pero voy a incorporar una distinción adicional que nos permitirá comprender las dificultades que aparecen cuando se intenta generalizar los argumentos a órdenes mayores que \( 5 \). Se trata de la distinción entre números primos y números irreducibles.

Para empezar tenemos que convenir que para referirnos a lo que hasta ahora hemos llamado enteros ciclotómicos primos, a partir de ahora usaremos el término "irreducibles", y reservaremos el término "primo" para un concepto ligeramente más fuerte que introduciremos a continuación.

Así pues, cuando digamos que un entero ciclotómico \( \pi \) es irreducible nos referimos a lo que hasta ahora llamábamos primos ciclotómicos, es decir, significa que \( \pi \) no es ni \( 0 \) ni una unidad y que no admite más factorizaciones que las triviales (consistentes en una unidad por un asociado).

Todo lo que vamos a exponer aquí vale (salvo que se indique lo contrario) para enteros ciclotómicos de cualquier orden primo \( p \). Es fácil demostrar que todo entero ciclotómico (no nulo ni unitario) se puede descomponer como producto de irreducibles:

Teorema Todo entero ciclotómico que no sea 0 ni una unidad es divisible entre un entero ciclotómico irreducible.

Demostración

Sea \( \alpha \) un entero ciclotómico que no sea cero ni una unidad. Entonces \( N(\alpha)>1 \). De entre todos los divisores de \( \alpha \) de norma \( >1 \) tomemos uno \( \pi \) que tenga la menor norma posible. Notemos que siempre existe un divisor en estas condiciones, pues como mínimo está el propio \( \alpha \). Basta probar que \( \pi \) es irreducible.

En efecto, si \( \pi=\gamma\delta \) es una factorización no trivial de \( \pi \) en enteros ciclotómicos, entonces \( N(\gamma)>1 \), pues si la norma fuera 1 entonces \( \gamma \) sería una unidad y la factorización sería trivia,l y \( 1<N(\gamma)\leq N(\gamma)N(\delta)=N(\pi) \) y \( \gamma\mid \pi\mid \alpha \). Así pues, \( \gamma \) es un divisor de \( \alpha \) de norma \( >1 \). Por la minimalidad de \( \pi \) tiene que ser \( N(\gamma)=N(\pi) \), pero entonces \( N(\delta)=1 \) y la factorización es trivial, contradicción.

[cerrar]

Teorema Todo entero ciclotómico que no sea 0 ni una unidad se descompone como producto de irreducibles.

Demostración

Sea \( \alpha \) un entero ciclotómico que no sea 0 ni una unidad. Entonces tiene un divisor irreducible \( \pi_1 \), de modo que \( \alpha = \pi_1\alpha_1 \), donde \( \alpha_1\neq 0 \). Si \( \alpha_1 \) no es una unidad, tiene un divisor irreducible \( \pi_2 \), de modo que \( \alpha_1=\pi_2\alpha_2 \), y por lo tanto \( \alpha = \pi_1\pi_2\alpha_2 \).

Podemos continuar este proceso mientras los \( \alpha_i \) no sean unidades, pero no puede continuar indefinidamente, pues \( N(\alpha_1)=N(\alpha)/N(\pi_1)<N(\alpha) \), \( N(\alpha_2)=N(\alpha_1)/N(\pi_2)<N(\alpha_1) \), luego las normas de los enteros \( \alpha_i \) forman una sucesión decreciente de números naturales. Así pues, tras un número finito de pasos tenemos que llegar a un \( \alpha_n \) de norma 1, es decir, que sea una unidad, y así \( \alpha = \pi_1\cdots \pi_{n-1}(\pi_n\alpha_n) \), que es una descomposición en irreducibles.

[cerrar]

Lo que no es trivial en absoluto es que las descomposiciones en irreducibles sean únicas. De hecho, en un sentido demasiado estricto esto es falso, pues, por ejemplo, sabemos que

\( 5=(\omega-1)(\omega^2-1)(\omega^3-1)(\omega^4-1)=(-2\omega^3-2\omega^2-\omega)(\omega-1)(\omega-1)(\omega-1) \)

son dos descomposiciones de \( 5 \) en enteros ciclotómicos irreducibles. La segunda la he obtenido de la expresión \( 5=(\omega^3-\omega-1)(\omega-1)^4 \), donde multiplicado la unidad inicial por uno de los factores \( \omega-1 \), para obtener así un irreducible asociado a \( \omega-1 \).

A ojos de alguien que no haya asimilado la entrega anterior, podría parecer que estamos ante dos descomposiciones en irreducibles totalmente distintas entre sí, por lo que las descomposiciones únicas en factores primos de los números enteros no tienen un análogo en el caso de los enteros ciclotómicos, pero nada más lejos de la realidad. Los conceptos de "unidad" y "asociado" nos permiten concebir la situación de modo que resulta esencialmente idéntica a la que se da entre los enteros usuales.

En efecto, en primer lugar observamos que, entre los enteros usuales, también se dan factorizaciones "no únicas", como \( 6=2\cdot 3 = (-2)\cdot (-3) \), pero en ambos casos, la aparente falta de unicidad se reduce a que cada factor irreducible puede sustituirse por un asociado.

Definición Diremos que los enteros ciclotómicos de orden \( p \) tienen factorización única si cuando un entero ciclotómico \( \alpha \) (no nulo ni unitario) se descompone en irreducibles de dos formas:[/i]

\( \alpha = \pi_1\cdots \pi_n=\rho_1\cdots \rho_m \),

entonces \( n=m \) y, ordenando adecuadamente los factores, cada \( \pi_i \) es asociado de \( \rho_i \).

Así, las dos factorizaciones \( 6=2\cdot 3 = (-2)(-3) \) no desmienten la factorización única de los enteros ordinarios, porque ambas tienen dos factores y \( 2 \) es asociado a \( (-2) \) y \( 3 \) es asociado a \( -3 \). Similarmente, las dos factorizaciones de \( 5 \) en enteros ciclotómicos irreducibles que hemos dado no desmienten la factorización única, porque ambas tienen cuatro factores y cada factor de una es asociado al factor correspondiente de la otra. (De hecho, en este caso, todos los factores son asociados entre sí.)

La única diferencia es que, en el caso de los enteros ordinarios, se ve a simple vista que \( 2 \) es asociado a \( -2 \), mientras que en el caso de los enteros ciclotómicos de orden 5, no es evidente que \( -2\omega^3-2\omega^2-\omega \) sea asociado a \( \omega-1 \), pero que algo sea o no evidente a simple vista no es una diferencia aritmética, sino más bien una cuestión subjetiva sobre lo que nos resulta evidente y lo que no.

Vemos, pues, que los conceptos de "unidad" y de "asociado" nos permiten ver factorizaciones "esencialmente idénticas" donde alguien que no conociera estos conceptos vería factorizaciones que (aparentemente) no tienen nada que ver una con otra.

Ahora que sabemos que las dos factorizaciones de \( 5 \) no contradicen la factorización única en este sentido "abstracto" cabe preguntarse si realmente los enteros ciclotómicos tienen o no factorización única: ¿podemos asegurar que siempre que tengamos dos descomposiciones de un mismo entero ciclotómico en irreducibles ambas tendrán el mismo número de factores y, debidamente ordenados, cada factor de una será asociado al factor correspondiente de la otra?

Para responder a esa pregunta introducimos el concepto para el que hemos reservado la palabra "primo":

Definición Diremos que un entero ciclotómico \( \pi \) es primo si no es \( 0 \) ni una unidad y, cuando \( \pi\mid \alpha\beta \), donde \( \alpha,\beta \) son dos enteros ciclotómicos, necesariamente \( \pi\mid\alpha \) o bien \( \pi\mid\beta \).

Equivalentemente, un entero ciclotómico (no nulo ni unitario) es primo si cuando divide a un producto divide necesariamente a uno de los factores.

Es inmediato que esto se generaliza a productos con cualquier número de factores, es decir, si \( \pi \) es primo y \( \pi\mid \alpha_1\cdots \alpha_n \), entonces existe un \( i \) tal que \( \pi\mid \alpha_i \).

¿Y por qué hemos decidido llamar "primos" a los enteros ciclotómicos con esta propiedad si lo natural sería llamar primos a los que ahora estamos llamando "irreducibles"? Ante todo, observamos que entre ambos conceptos se da una implicación obvia:

Teorema Todo entero ciclotómico primo es irreducible.

Demostración

Sea \( \pi \) un entero ciclotómico primo. Entonces, por definición, no es nulo ni unitario, cosa que también exige la definición de irreducible. Supongamos que \( \pi=\alpha\beta \), donde \( \alpha,\beta \) son enteros ciclotómicos. Basta probar que la factorización es trivial, es decir, que uno de los factores es una unidad y el otro es asociado a \( \pi \).

En efecto, tenemos que \( \pi\mid \pi=\alpha\beta \), luego por definición de primo \( \pi\mid\alpha \) o \( \pi\mid \beta \). Suponemos, sin pérdida de generalidad, que \( \pi\mid\alpha \). Como también se cumple que \( \alpha\mid\pi \), concluimos que \( \alpha \) es asociado a \( \pi \), luego necesariamente \( \beta \) es una unidad, la factorización es trivial y \( \pi \) es irreducible.

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Si pudiéramos probar también el recíproco, es decir, que todos los irreducibles son primos, tendríamos en realidad que ser primo es lo mismo que ser irreducible, con lo que el cambio de nomenclatura que hemos introducido al principio de esta entrega sería intrascendente, pues los enteros ciclotómicos primos serían los mismos que hasta ahora habíamos llamado primos. Pero sucede que esto no es exactamente así:

Teorema Para cada primo \( p \), las afirmaciones siguientes son equivalentes:

• Los enteros ciclotómicos de orden \( p \) tienen factorización única.
• Un entero ciclotómico de orden \( p \) es primo si y sólo si es irreducible.

Así pues, la equivalencia entre "ser primo" y "ser irreducible" es exactamente la que determina que las descomposiciones en irreducibles son únicas.

Demostración

Supongamos que los enteros ciclotómicos de orden \( p \) tienen factorización única y sea \( \pi \) un entero cicotómico irreducible. Vamos a probar que es primo. Por definición tenemos que no es nulo ni unitario. Ahora suponemos que \( \pi\mid \alpha\beta \), donde \( \alpha,\beta \) son dos enteros ciclotómicos, necesariamente no nulos. Pongamos, concretamente, que \( \pi\gamma = \alpha\beta \).

Si \( \alpha \) o \( \beta \) es una unidad, digamos \( \beta \), entonces \( \pi\gamma\beta^{-1}=\alpha \), luego \( \pi\mid \alpha \).

Supongamos ahora que \( \alpha,\beta \) son no nulos ni unitarios. Entonces se descomponen en producto de irreducibles, digamos \( \alpha = \pi_1\cdots \pi_r \), \( \beta = \rho_1\cdots \rho_s \). No puede ser que \( \gamma \) sea una unidad, pues entonces

\( \pi\gamma =  \pi_1\cdots \pi_r\rho_1\cdots \rho_s \)

sería una doble descomposición en irreducibles en la que el miembro izquierdo constaría de un único irreducible (\( \pi\gamma \)) y el miembro derecho de al menos dos, en contradicción con la unicidad. Por lo tanto \( \gamma \) puede descomponerse en irreducibles, digamos \( \gamma = \sigma_1\cdots \sigma_t \), y entonces

\( \pi\sigma_1\cdots \sigma_t =  \pi_1\cdots \pi_r\rho_1\cdots \rho_s \)

son dos descomposiciones en irreducibles de un mismo entero ciclotómico. Por la unicidad, \( \pi \) tiene que ser asociado a un \( \pi_i \) o bien a un \( \rho_i \). En el primer caso \( \pi\mid \pi_i\mid \alpha \), mientras que en el segundo \( \pi\mid \rho_i\mid \beta \). Esto prueba que \( \pi \) es primo.

Recíprocamente, supongamos que todo entero ciclotómico de orden \( p \) que sea irreducible es, de hecho, primo y veamos que los enteros ciclotómicos de orden \( p \) tienen factorización única. Para ello suponemos que un mismo entero ciclotómico \( \alpha \) se descompone en irreducibles de dos formas:

\( \alpha = \pi_1\cdots \pi_n=\rho_1\cdots \rho_m \),

Podemos suponer que \( n\leq m \). Como \( \pi_1\mid \rho_1\cdots \rho_m \) y por hipótesis es primo, tiene que dividir a uno de los factores. Reordenándolos podemos suponer que \( \pi_1\mid \rho_1 \). Pero, como \( \rho_1 \) es irreducible, \( \pi_1 \) tiene que ser un divisor trivial. Como no puede ser una unidad (porque es primo) tiene que ser asociado de \( \rho_1 \). Pongamos que \( \rho_1=\pi_1\epsilon_1 \), para cierta unidad \( \epsilon_1 \). Entonces

\( \pi_1\cdots \pi_n=\epsilon_1\pi_1\rho_2\cdots \rho_m \)

y simplificando:

\( \pi_2\cdots \pi_n=\epsilon_1\rho_2\cdots \rho_m \)

Ahora \( \pi_2 \) tiene que dividir a uno de los factores del miembro derecho, y no puede ser a \( \epsilon \), pues si dividiera a una unidad sería una unidad. Reordenando los factores podemos suponer que \( \pi_2\mid\rho_2 \), y como antes esto implica que \( \pi_2 \) es asociado de \( \rho_2 \), digamos que \( \rho_2=\epsilon_2\pi_2 \), para cierta unidad \( \epsilon_2 \). Simplificando,

\( \pi_3\cdots \pi_n=\epsilon_1\epsilon_2\rho_3\cdots \rho_m \)

Repitiendo el razonamiento \( n \) veces llegamos a que

\( 1=\epsilon_1\cdots \epsilon_n\rho_{n+1}\cdots \rho_m \)

Pero entonces los primos "sobrantes" dividen a 1, lo cual es imposible. Por consiguiente no hay primos sobrantes, es decir, \( n=m \), y hemos probado que cada \( \pi_i \) es asociado a \( \rho_i \).

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Así pues, demostrar la factorización única de los enteros ciclotómicos de orden \( p \) equivale a demostrar que los conceptos de "ser irreducible" y "ser primo" son la misma cosa. Esto vale también para los enteros ordinarios, por lo que en ellos se cumple ciertamente que "primo" e "irreducible" es lo mismo, y se trata de la propiedad que toda la vida hemos llamado "ser primo".

Teorema Los enteros ciclotómicos de orden \( 3 \) o \( 5 \) son irreducibles si y sólo si son primos. Por lo tanto, en ambos casos tenemos factorización única.

Demostración

Supongamos que \( \pi \) es irreducible, en cuyo caso ni es nulo ni unitario, y que \( \pi\mid\alpha\beta \). Consideremos todos los enteros ciclotómicos no nulos de la forma \( \delta\pi+\epsilon\alpha \), donde \( \delta \) y \( \epsilon \) son enteros ciclotómicos cualesquiera. De entre todos ellos, tomemos uno \( \eta = \delta\pi+\epsilon\alpha \) de norma mínima. En otras palabras, cualquier otro entero ciclotómico de esta forma con norma menor, tendrá que ser necesariamente 0.

Ahora realizamos la división euclídea \( \pi=\eta\kappa+\rho \), donde \( N(\rho)<N(\eta) \), cosa que sólo tenemos probado que es posible en los casos \( p=5 \) (lo hemos visto en una entrega anterior) y \( p=3 \) (está probado en el hilo correspondiente a este caso).

Pero entonces \( \rho =\pi-\eta\kappa = \pi-\delta\pi\kappa-\epsilon\alpha\kappa=(1-\delta\kappa)\pi-\epsilon\kappa\alpha \). Por la minimalidad de \( \eta \), tiene que ser \( \rho=0 \). Así pues, \( \pi=\eta\kappa \), luego \( \eta\mid \pi \).

Exactamente igual se prueba que \( \eta\mid\alpha \).  Ahora bien, si \( \eta\mid\pi \), como \( \pi \) es irredudible, o bien \( \eta \) es una unidad o bien es asociado de \( \pi \).

Si \( \eta \) es asociado de \( \pi \) entonces \( \pi\mid\eta\mid \alpha \), luego \( \pi\mid\alpha \).

Si \( \eta \) es una unidad, entonces \( \eta\beta=\delta\pi\beta+\epsilon\alpha\beta \) y \( \pi \) divide a los dos sumandos, luego \( \pi\mid \eta\beta \), luego \( \pi\mid \beta \) (porque \( \beta \) y \( \eta\beta \) son asociados).

Con esto hemos probado que todos los irreducibles son primos, y el recíproco se cumple siempre.

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Puede probarse que los únicos primos \( p \) para los que los enteros ciclotómicos tienen factorización única son

\( p = 2,\quad  3,\quad  5, \quad 7,\quad 11,\quad  13,\quad  17, \quad 19 \),

los mismos para los que es posible realizar divisiones euclídeas, donde el caso \( p=2 \) corresponde a los enteros usuales. (He corregido la lista que puse en la entrega de la división euclídea, donde me había dejado el 7 por error.)

A partir de aquí dejamos de hablar de enteros ciclotómicos irreducibles y volvemos a hablar de primos, en principio en el sentido que hemos definido en esta entrega, pero sabiendo que en los casos en los que hay factorización única (que son los únicos que nos van a interesar) son los mismos que estábamos considerando en la entrega precedente.

El teorema anterior es el único en el que hemos usado la división euclídea, y no la vamos a usar más. Solamente era necesaria para justificar la unicidad de las descomposiciones en primos.

Si tenemos una descomposición en factores primos \( \alpha = \pi_1\cdots \pi_n \), podemos agrupar todos los factores que sean asociados entre sí. Por ejemplo, si los factores asociados a \( \pi_1 \) son \( \pi_1,\ldots, \pi_{n_1} \), tenemos que \( \pi_i = \epsilon_i\pi_1 \), para cierta unidad ciclotómica \( \epsilon_i \), con lo que

\( \alpha = \epsilon_2\cdots \epsilon_{n_1}\pi_1^{n_1}\pi_{n_1+1}\cdots \pi_n \).

Repitiendo el proceso con los primos restantes, al cabo de un número finito de pasos llegamos a que todo entero ciclotómico no nulo ni unitario admite una expresión de la forma

\( \color{blue}\alpha = \epsilon \pi_1^{n_1}\cdots \pi_l^{n_l} \),

donde los primos \( \pi_i \) son no asociados dos a dos, y \( \epsilon \) es una unidad (el producto de todas las unidades que han ido apareciendo al sustituir unos primos por asociados).

Omitir la unidad \( \epsilon \) y pretender que todo entero ciclotómico (no nulo ni unitario) puede expresarse como \( \alpha = \pi_1^{n_1}\cdots \pi_l^{n_l} \), donde los factores son no asociados dos a dos, sería un error muy grave en cualquier argumento. Esto es falso incluso en los enteros usuales, pues, por ejemplo, la única forma de agrupar primos asociados en la factorización de \( -144 \) es \( -144 = -1\cdot 2^4\cdot 3^2 \), y no podemos suprimir la unidad inicial (el \( -1 \)) sin asumir los errores a los que podríamos llegar por suponer positivo un número que en realidad es negativo. Por ejemplo, \( 144 \) es un cuadrado perfecto, mientras que \( -144 \) no lo es.

Por ejemplo, si nos preguntamos si \( 5 \) tiene raíz cuarta como entero ciclotómico y consideramos la factorización

\( 5= (\omega^3-\omega-1)(\omega-1)^4 \),

no podemos concluir nada sin investigar primero si la unidad \( \omega^3-\omega-1 \) tiene raíz cuarta como entero ciclotómico. Si no la tiene (como de hecho sucede) entonces \( 5 \) no tendrá raíz cuarta, del mismo modo que el hecho de que \( -1 \) no tiene raíz cuadrada en los enteros usuales implica que \( -144 = -2^4\cdot 3^2 \) no tenga raíz cuadrada.

Problema 1 Sea \( p \) un primo tal que los enteros ciclotómicos de orden \( p \) tengan factorización única. Sean \( \alpha,\beta,\gamma \) enteros ciclotómicos no nulos tales que \( \alpha\beta = \gamma^k \) (con \( k\geq 2 \)) y supongamos que \( \alpha,\beta \) son primos entre sí, es decir, que no hay ningún primo ciclotómico que los divida a ambos. Probar que existen unidades ciclotómicas \( \epsilon, \delta \) y enteros ciclotómicos \( \alpha',\beta' \) tales que \( \alpha = \epsilon \alpha'^k \), \( \beta= \delta \beta'^k \).

Ayuda Tratar primero los casos triviales en que alguno de los números sea una unidad. Excluidos estos casos, descomponer \( \alpha, \beta, \gamma \) en factores primos y usar la unicidad de las descomposiciones.


Lo anterior es lo único que vamos a necesitar para demostrar el UTF para exponente 5. No obstante, con el fin de familiarizarnos con la factorización única haré algunas observaciones más:

Cada primo ciclotómico \( \pi \) divide a un único primo entero \( q \).

En efecto, es claro que \( \pi\mid N(\pi) \) (pues la norma es el producto de los conjugados, uno de los cuales es el propio \( \pi \)). Si descomponemos \( N(\pi) \) en producto de primos (naturales), tenemos que \( \pi \) divide a dicho producto, luego divide a uno de los primos que lo forman, digamos \( \pi\mid q \).

Para probar que es único, suponemos que \( r \) es un primo entero tal que \( \pi\mid r \), digamos \( \pi\alpha = r \). Entonces \( N(\pi)N(\alpha)=N(r)=r^{p-1} \), luego \( N(\pi)\mid r^{p-1} \), luego existe un \( i \) tal que \( 1\leq i< p \) de modo que \( N(\pi)=r^i \). Así pues, la norma de un primo ciclotómico \( \pi \) es necesariamente una potencia de primo (a lo sumo con exponente \( p-1 \)) y la base es el único primo entero divisible entre \( \pi \).

Esto significa que para enumerar todos los primos ciclotómicos (en los casos de factorización única) basta encontrar las descomposiciones en primos de los primos usuales, pues todo primo ciclotómico aparece como factor primo de un primo usual.

He aquí la lista de las descomposiciones en factores primos ciclotómicos de orden 5 de los primos enteros menores que 100 (si no me he equivocado en alguna cuenta, que no sería de extrañar):

\( \begin{array}{|l|}
\hline
\phantom12=2\\
\phantom13=3\\
\phantom15={\color{blue}(\omega^3-\omega-1)}(\omega-1)^4\\
\phantom17=7\\
11=(\omega+2)(\omega^2+2)(\omega^3+2)(\omega^4+2)\\
13=13\\
17=17\\
19=(\omega^2+5\omega+1)(-5\omega^3-4\omega^2-4\omega-5)\\
23=23\\
29=(\omega^2+6\omega+1)(-6\omega^3-5\omega^2-5\omega-6)\\
31=(\omega-2)(\omega^2-2)(\omega^3-2)(\omega^4-2)\\
37=37\\
41=(-\omega^2+2\omega+1)(\omega^3+3\omega^2+\omega+2)(2\omega^3-\omega+1)(-3\omega^3-2\omega^2-2\omega-1)\\
43=43\\
47=47\\
53=53\\
59=(2\omega^3-5\omega^2-5\omega+2)(7\omega^2+2\omega+7)\\
61=(-\omega^2+2\omega+2)(\omega^3+3\omega^2+\omega+3)(2\omega^3-\omega+2)(-3\omega^3-2\omega^2-2\omega)\\
67=67\\
71=(2\omega^3-2\omega^2+2\omega+1)(2\omega^3+4\omega^2+4\omega+3)(-2\omega^2-4\omega-1)(-4\omega^3-2\omega-1)\\
73=73\\
79=(3\omega^3-5\omega^2-5\omega+3)(8\omega^2+3\omega+8)\\
83=83\\
89=(\omega^3-8\omega^2-8\omega+1)(9\omega^2+\omega+9)\\
97=97\\
\hline
\end{array} \)

Todos los factores son primos no asociados, excepto el marcado en azul, que, como sabemos, es una unidad.

Si alguien está interesado, puedo explicar cómo se pueden obtener estas factorizaciones, en particular, cómo se puede demostrar que, por ejemplo, \( 2 \) o \( 3 \) son primos ciclotómicos (de orden 5), que no es inmediato en absoluto. Ahora bien, esto requiere demostrar algunos teoremas y, desde luego, la ayuda de un ordenador.

En los problemas siguientes hay que aceptar como conocidas las factorizaciones de la tabla anterior:

Problema 2 Encontrar una descomposición en factores primos ciclotómicos de orden 5 del número \( 62\,953 \).

El problema siguiente es muy laborioso: si a alguien no le apetece hacerlo será humanamente comprensible:

Problema 3 Descomponer en factores primos el entero ciclotómico de orden 5

\( \alpha=8\omega^3+2\omega^2+12\omega-3 \).

Pista: Sus factores primos tienen que dividir a su norma, luego calculando su norma sabremos cuáles son sus posibles factores primos. Luego hay que ir probando a hacer divisiones como sabemos (no divisiones euclídeas, que son más laboriosas, sino divisiones normales, multiplicando por conjugados, para ver si los cocientes dan o no enteros). Todas las cuentas serían sencillas si dispusiéramos de una "calculadora ciclotómica", que no es difícil de programar.

Problema 4 Puede probarse (no es fácil) que primo entero \( q\neq 5 \) se encuentra en uno de los tres casos siguientes:

• Es un primo ciclotómico de orden 5.
• Se descompone en producto de dos primos ciclotómicos de orden 5 no asociados y de norma \( q^2 \).
• Se descompone en producto de cuatro primos ciclotómicos de orden 5 no asociados y de norma \( q \).

Conjeturar para qué primos se da cada caso. La conjetura debe ser lo suficientemente explícita como para que permita deducir a simple vista en qué caso está, por ejemplo, el primo (entero) \( 48\,619 \).

Problema 5 En este problema consideramos enteros ciclotómicos de orden \( 23 \).

• Probar que los números invariantes por la conjugación \( \sigma_2 \) son de la forma \( a+b\eta_1+c\eta_2 \), para ciertos enteros ciclotómicos \( \eta_1,\eta_2 \) que hay que calcular y \( a, b, c \) enteros (pasando a la forma reducida podemos tomar \( c=0 \).
• Calcular \( \eta_1+\eta_2 \) y \( \eta_1\eta_2 \). Lo segundo es lo más pesado de todo. Si a alguien le da pereza hacer el cálculo pongo aquí la solución:
  
  
  Solución

  \( \eta_1\eta_2=6 \)

  [cerrar]
• Desarrollar el polinomio \( (x-\eta_1)(x-\eta_2) \) y obtener expresiones para \( \eta_1 \) y \( \eta_2 \) (no importa mucho cuál de los dos es cuál).
  
• Probar que \( \color{red}\sigma_{22}(\eta_1)=\eta_2 \) (sabemos que \( \sigma_{22} \) es la conjugación compleja.)
• Si \( \alpha \) es un entero ciclotómico cualquiera, su norma es el producto de sus 22 conjugados. Probar que se pueden agrupar en dos bloques de 11 conjugados, de modo que \( N(\alpha)=A\sigma_{22}(A) \), donde \( A \) es invariante por \( \sigma_2 \).
• Por lo tanto, si \( A=a+b\eta_1 \), se cumple que \( N(\alpha)=(a+b\eta_1)(a+b\eta_2) \). Desarrollar esta expresión.
• Concluir que existen enteros \( a,b \) tales que \( N(\alpha)=\frac14((2a-b)^2+23b^2) \).
• Concluir que no existen enteros ciclotómicos de norma \( 47 \) (esto es un problema sobre enteros ordinarios, no tiene nada que ver con enteros ciclotómicos).
• Calcular \( N(\omega-2) \) (no a lo bruto, sino con la fórmula para normas de binomios). Descomponerla en factores primos.
• Deducir que \( \omega-2 \) es irreducible.
• Deducir que \( \omega-2 \) no es primo (divide a su norma, pero a ninguno de los factores primos (enteros) de su norma).
• Por lo tanto, no hay factorización única.

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