Resumo lo que sabemos hasta ahora: tenemos definidos los números ciclotómicos, que son unos números complejos (de la forma \( a+b\,\omega \), o más en general, \( a+b\,\omega+c\,\omega^2 \), con \( a, b, c \) números racionales) con la propiedad de que al sumar, restar, multiplicar o dividir números ciclotómicos obtenemos de nuevo números ciclotómicos. Además, tenemos definida la norma de un número ciclotómico, dada por
\( N(a+b\,\omega)=a^2-ab+b^2 \) (2)
que es un número racional, y que es multiplicativa, en el sentido de que \( N(z_1z_2)=N(z_1)N(z_2) \).
Hay una propiedad de la norma en la que no hemos hecho hincapié y que va a ser muy importante, y es que es siempre \( \geq 0 \). Más aún, el único número ciclotómico de norma 0 es el 0.
Alguien podría pensar: ¡un momento! Vale que \( a^2 \) y \( b^2 \) son \( \geq 0 \), pero si \( a,b \) son números racionales cualesquiera, el termino \( -ab \) puede ser negativo, y no tenemos garantía de que la suma de los tres términos no pueda ser negativa también en algún caso.
Hay varias formas de convencerse de que eso no puede ocurrir. La más sencilla es no mirar la expresión anterior, que es la más útil para calcular la norma en la práctica, sino recordar la definición de norma:
\( N(z)=z\bar z = |z|^2 \).
La norma de un número ciclotómico es el cuadrado de su módulo como número complejo o, si lo preferimos, es el cuadrado de su distancia a 0. Por lo tanto, es siempre \( \geq 0 \), y el único número ciclotómico que está a distancia 0 del 0 es el 0.
Otra prueba para quien sepa más
El lector familiarizado con la clasificación de las formas cuadráticas puede deducir de la expresión (2) para la norma —sin más que calcular un determinante— que corresponde a una forma cuadrática definida positiva, y eso significa justamente que cumple lo que estamos afirmando: que es siempre \( >0 \) salvo en el 0, donde vale 0.
Aclarado esto, pasamos al concepto que vamos a analizar en esta entrega:
Llamaremos
enteros ciclotómicos (de orden 3, o de orden 6, que es lo mismo) a los números de la forma
\( \color{blue} \alpha = a+b\,\omega \),
donde \( a, b \) son números enteros.
Por ejemplo, aquí tenemos dos números ciclotómicos, de los cuales el primero es un entero ciclotómico, pero el segundo no:
\( \alpha = -5+7\omega,\qquad \qquad z = \dfrac37+\dfrac25\omega \).
En un número ciclotómico, las coordenadas pueden ser números racionales cualesquiera, pero será un entero ciclotómico si de hecho son enteras. Una pregunta para cazar incautos:
¿Es un entero ciclotómico el número \( \alpha = \dfrac32+\dfrac72\,\omega-\dfrac12\,\omega^2 \)?
Solución
Sí que lo es, porque, si sumamos \( 1/2 \) a todas las componentes, queda:
\( \alpha = \dfrac32+\dfrac72\,\omega-\dfrac12\,\omega^2=2+4\omega \)

Un número ciclotómico es entero ciclotómico si
en forma canónica tiene coordenadas enteras. No obstante, esto era para pillar. En la práctica, aunque al operar con enteros ciclotómicos es conveniente dejarlos, aunque sea temporalmente, en forma expandida, sólo consideraremos formas expandidas \( a+b\,\omega+c\,\omega^2 \) con \( a, b, c \) enteros. Es claro que cualquier número ciclotómico de esta forma es un entero ciclotómico, porque para pasarlo a forma canónica sólo hay que restar \( c \) a todas las coordenadas, y éstas no dejan de ser enteras.
No la necesitamos para nada, pero incluyo una "foto" de los enteros ciclotómicos, por si uno quiere ver lo que tenemos entre manos:
Los enteros ciclotómicos se distribuyen en una red de triángulos equiláteros por todo el plano complejo.
La afirmación siguiente debería ser evidente:
Al sumar, restar o multiplicar enteros ciclotómicos obtenemos enteros ciclotómicos, pero al dividir enteros ciclotómicos podemos obtener números ciclotómicos que no sean enteros ciclotómicos.En efecto, basta tener en cuenta que la suma se calcula como
\( a+b\,\omega\ + \ c+d\,\omega = a+c+(b+d)\,\omega \),
y si las coordenadas de los sumandos son enteras, las de la suma también lo son. Con el producto sucede algo similar: las coordenadas del producto se calculan sumando y multiplicando las coordenadas de los factores, luego si éstas son enteras, las del resultado también lo son. Más precisamente, en la entrega anterior hemos encontrado la fórmula explícita para el producto:
\( (a+b\,\omega)(c+d\,\omega)=ac-bd+(ad+bc-bd)\omega \).
En cambio, en el hilo anterior hemos visto, por ejemplo, que al dividir los enteros ciclotómicos \( 17+5\omega \) y \( 2-3\omega \) el resultado no era un entero ciclotómico.
Esta situación debería ser totalmente familiar para el lector, pues es lo mismo que pasa con los números enteros y racionales:
Al sumar, restar, multiplicar o dividir números racionales se obtienen números racionales, y al sumar, restar y multiplicar números enteros se obtienen números enteros, pero al dividir números enteros se obtiene un número racional que no tiene por qué ser entero.Lo que acabamos de ver es que esto sigue siendo cierto si cambiamos "número racional" por "número ciclotómico" y "número entero" por "entero ciclotómico".
Conviene pensar que los números ciclotómicos son una generalización de los números racionales, y que los enteros ciclotómicos son la generalización correspondiente de los números enteros.
Por ejemplo, todo número racional es el cociente de dos números enteros, e igualmente todo número ciclotómico es el cociente de dos enteros ciclotómicos. En efecto:
\( \dfrac pq+\dfrac rs\,\omega = \dfrac{ps}{qs}+\dfrac{qr}{qs}\,\omega=\dfrac{ps+qr\,\omega}{qs} \).
Habíamos dicho que en lo sucesivo íbamos a considerar únicamente números ciclotómicos, y ahora podemos decir, más precisamente, que vamos a considerar casi exclusivamente enteros ciclotómicos. La idea es que, al igual que alguien que esté trabajando con números enteros puede permitirse en medio de sus cálculos pasar cosas dividiendo de un miembro a otro y formar fracciones, aunque al final las elimine y termine con una relación entre enteros, también nosotros, al manipular enteros ciclotómicos, podremos sin problemas formar fracciones y considerar temporalmente números ciclotómicos no enteros, aunque al final terminemos con conclusiones sobre enteros ciclotómicos.
Observemos ahora otro hecho fundamental:
La norma de un entero ciclotómico es un número natural, y el único entero ciclotómico de norma 0 es el 0.En efecto, si \( a+b\,\omega \) es un entero ciclotómico, la expresión (2) para la norma, donde ahora \( a,b \) son enteros, nos da que \( N(a+b\,\omega) \) es un número entero, y al principio de esta entrega hemos razonado que es \( \geq 0 \), luego es un número natural, y también hemos razonado que sólo es 0 cuando el entero ciclotómico es el 0.
Hemos definido la norma como el cuadrado del módulo, es decir, hemos prescindido de la raíz cuadrada que aparece en la definición del módulo de un número complejo, precisamente para que se cumpla esto: así
todos los enteros ciclotómicos tienen norma natural. Si hubiéramos dejado la raíz cuadrada esto sería falso.
Recapitulamos:
Tenemos definidos los enteros ciclotómicos, que son los números de la forma
\( \color{blue} \alpha=a+b\,\omega \) o \( \color{blue}\alpha = a+b\,\omega+c\,\omega^2 \),
donde \( a, b, c \) son enteros (aunque siempre podemos reducirlos a la forma canónica en la que \( c=0 \)).
Los enteros ciclotómicos se pueden sumar, restar y multiplicar, de modo que se cumplen todas las propiedades algebraicas que usamos para manipular enteros ordinarios (salvo que no podemos considerar desigualdades entre ellos). También se pueden dividir, aunque el resultado no es necesariamente un entero ciclotómico, pero sí un número ciclotómico.
Tenemos definida la norma \( N(a+b\,\omega)=a^2-ab+b^2 \) que a cada entero ciclotómico le asigna un número natural, y sólo el 0 tiene norma 0.
Esta norma tiene la propiedad de que \( N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta) \). Es importante que, si hablamos de enteros ciclotómicos, esta igualdad
es una igualdad de números naturales.
¿Y para qué hemos definido los enteros ciclotómicos? Muy sencillo. Lo que queremos probar es:
Teorema: No existen números enteros \( a, b, c \) no nulos tales que \( a^3+b^3+c^3=0 \).Pues en lugar de esto, Gauss demostró (y nosotros demostraremos):
Teorema: No existen enteros ciclotómicos \( \alpha, \beta, \gamma \) no nulos tales que \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \).Obviamente, como los números enteros son en particular enteros ciclotómicos, si la ecuación \( x^3+y^3+z^3=0 \) no tiene soluciones no triviales en los enteros ciclotómicos, tampoco las tendrá en los números enteros. Por lo tanto, el segundo teorema implica el primero.
Y entonces uno piensa, ¡qué monstruo este Gauss! Los matemáticos sudando para demostrar que la ecuación no tiene soluciones enteras (no triviales) y él va y no sólo demuestra eso, sino que demuestra algo más difícil aún: que no tiene soluciones (no triviales) en los enteros ciclotómicos.
Pero no, es decir, sí, Gauss era un monstruo, pero no por demostrar algo más difícil, sino por darse cuenta de que ¡es más fácil demostrar el segundo teorema que el primero! Y el lector se preguntará: ¿cómo va a ser más fácil demostrar un resultado más general que otro más particular? Pues aunque parezca extraño así es, y voy a explicar por qué (en realidad hay un detalle del argumento que todavía no estoy en condiciones de anticipar, así que voy a contar una pequeña mentira piadosa irrelevante):
Demostraremos el segundo teorema mediante un descenso infinito, es decir, supondremos que existe una solución no trivial \( (\alpha, \beta, \gamma) \) de la ecuación de Fermat de exponente 3 y, a partir de ella calcularemos otra solución no trivial \( (\alpha', \beta', \gamma') \) tal que \( N(\gamma')<N(\gamma) \) (ésta es la mentira piadosa, en realidad no será esta condición, sino otra que para lo que aquí nos ocupa no importa cuál sea). Esto implica que no puede haber ninguna solución, porque como \( N(\gamma) \) es un número natural, si hubiera una, de entre todas ellas podríamos tomar una con el menor valor posible para \( N(\gamma) \), pero nuestro argumento probará que siempre podríamos encontrar otra menor, y tenemos una contradicción.
Por si el lector no está familiarizado con el concepto de descenso infinito, lo explico con más detalle en un spoiler:
Descenso infinito
Detallo la contradicción a la que da lugar el argumento que acabo de esbozar:
Queremos probar que no existen soluciones no triviales de la ecuación. Por reducción al absurdo, suponemos que existe una, digamos \( (\alpha_0, \beta_0, \gamma_0) \). El argumento que vamos a dar prueba que entonces existe otra, digamos \( (\alpha_1, \beta_1, \gamma_1) \), con \( N(\gamma_1)<N(\gamma_0) \), pero entonces podríamos aplicarle de nuevo el argumento y encontrar otra \( (\alpha_2, \beta_2, \gamma_2) \) con \( N(\gamma_2)<N(\gamma_1) \), y procediendo de este modo podríamos construir una sucesión estrictamente decreciente
\( N(\gamma_0)>N(\gamma_1)>N(\gamma_2)>N(\gamma_3)>\cdots \)
de números naturales, y eso es una contradicción: uno no puede partir de un número natural e ir pasando a números menores sin acabar nunca. No existen descensos infinitos desde un número natural. Equivalentemente, tiene que haber una solución \( (\alpha, \beta, \gamma) \) con \( N(\gamma) \) mínimo, que no permita descender más, pero nosotros vamos a probar que siempre se puede seguir descendiendo (si es que hay una solución de partida). La conclusión es que no puede haber ninguna solución de partida.
Y ahora nos preguntamos: ¿qué pasaría si quisiéramos demostrar directamente el primer teorema (sólo para números enteros)? Si tratamos de adaptar nuestro argumento, partimos de una solución \( (a, b, c) \) de números enteros, pero el que sean enteros no nos ayuda en nada. Cuando aplicamos el argumento que veremos, acabamos igualmente en una solución \( (\alpha', \beta', \gamma') \) de enteros ciclotómicos con \( N(\gamma')<N(c) \) y esto no nos serviría. Tendríamos que arreglárnoslas para obtener a partir de ella una solución \( (a', b', c') \) formada por enteros, y eso no tiene por qué ser fácil. De hecho, no sé si sería posible. En suma, alguien que quiera usar el argumento de Gauss para probar directamente el teorema para enteros se encuentra con el problema adicional de que las técnicas de cirugía ciclotómica que vamos a emplear hacen que al manipular la solución inicial acabemos, queramos o no, con una solución de enteros ciclotómicos. Y es un problema complicado —tal vez imposible— convertirla de nuevo en una solución formada por enteros. Y ese problema complicado desaparece por completo si decidimos probar el teorema en general para enteros ciclotómicos, pues entonces nos vale la solución de enteros ciclotómicos y no tenemos ninguna necesidad de convertirla en otra formada por enteros. Probar el segundo teorema es más fácil que probar el primero.
Para terminar, planteo deberes previos a la próxima entrega. Pero éstos no son de mero entrenamiento, sino que son parte del argumento. Quien los resuelva estará aportando un granito de arena necesario para la demostración del UTF para exponente 3. Estará haciendo de ayudante de Gauss:
Problema: Encontrar todos los enteros ciclotómicos de normas 1, 2 y 3.
Es decir, buscamos todos los números \( a+b\,\omega \) con \( a, b \) enteros, tales que
\( N(a+b\,\omega)=a^2-ab+b^2=1, 2, 3 \)
Notemos que es un problema que puede abordarse sin saber nada de enteros ciclotómicos (de hecho, no ayudan en mucho, al revés, esto ayudará a estudiarlos a ellos). Sólo hay un número finito de soluciones. Y es conveniente buscarlas por separado, primero de norma 1, luego de norma 2 y luego de norma 3.
Un ejemplo de solución es \( N(2+\omega)=3 \), pero no se trata de encontrar algunas, sino de justificar que las que se muestren son todas las que hay. Pongo en un spoiler una pista sobre el camino que yo he seguido, pero no me sorprendería que alguien encontrara otro argumento mejor:
Pista
Yo he considerado la identidad \( a^2-ab+b^2=(a-b)^2+ab \), y he usado la primera cuando \( a, b \) tienen signos opuestos y la segunda cuando tienen el mismo signo. Así no hay sumandos negativos.
Y esto último es una sugerencia opcional para aquellos con curiosidad y que sepan darle órdenes a un ordenador. Se trata de calcular las normas de muchos enteros ciclotómicos, digamos \( N(a+b\,\omega) \) para \( a, b \) entre 0 y 10, o más, pero no creo que haga falta más, y formular una conjetura (ojo, que sólo propongo formular la conjetura, no demostrarla) sobre qué números naturales son normas de enteros ciclotómicos.
La respuesta depende de la descomposición en primos de cada número natural, luego habría que programar a un ordenador para que calculara normas y las presentara descompuestas en factores primos, para estar en condiciones de formular la conjetura.
Insisto en que esto no es necesario en absoluto ni para la demostración del teorema de Fermat ni para seguir el hilo. Lo propongo sólo por si alguien le coge el gusto y le apetece explorar un poco. La conjetura es sutil, pero no es complicada. Quien la conozca puede deducir en un segundo si un número dado es o no norma de un entero ciclotómico (otra cosa es calcularlo).