[Carlos Ivorra]

Me he encontrado con la demostración de Gauss del Último Teorema de Fermat para p = 3, que es mucho más clara y elegante que la de Euler, que puse en mi libro de Álgebra. Aunque tengo pensado revisarlo un día de éstos, como no va a ser a corto plazo, la voy a contar aquí, haciendo un esfuerzo por que pueda seguirse sin necesidad de ningún conocimiento de álgebra más allá de los rudimentos sobre los números complejos.

Más concretamente, voy a tratar de que sea accesible para los usuarios serios de este foro que tratan de demostrar el UTF con técnicas elementales. Entiendo por usuarios serios los que dominan razonablemente las técnicas que ellos mismos usan, que son algunos, pero no todos.

No deja de darme la impresión de que quienes tratan de probar el UTF por métodos elementales, más que restringirse a usar las matemáticas que conocía Fermat, están restringiéndose realmente a las matemáticas que ellos mismos conocen, que a veces parecen ser menos que las que conocía Fermat. (Por ejemplo, algunos parecen hacerles ascos también a las congruencias, que Fermat sí que conocía, aunque tal vez no usara la notación moderna). En la medida en que algunos aficionados al UTF puedan tener más bien aversión a lo desconocido que amor a la fidelidad histórica, voy a tratar de mostrar que algunas de esas ``técnicas desconocidas" que evitan —sospecho— más por desconocimiento que por algún principio sólido, no son tan extrañas como podría parecer, y que esquivarlas no es más artificial que esquivar el uso de una calculadora o de un ordenador cuando pueden simplificar sustancialmente las cuentas de una demostración.

Lo que es la demostración en sí la he sacado del libro "100 Great Problems of Elementary Mathematics, their history and solution", de Heinrich Dörrie, que trata muchos otros problemas interesantes, aritméticos, geométricos y de muy diversa índole, así que puede que guste a más de uno, aunque no esté nada interesado en el UTF.

Todos los preliminares para hacer accesible la solución son de cosecha propia.

ATENCIÓN: Para facilitar la lectura y la participación he creado un hilo paralelo destinado a observaciones, comentarios, preguntas o discusión en general del hilo. Por favor, usad este hilo para participar.


En sentido estricto, el UTF es un problema sobre números naturales, y que para el caso concreto de exponente 3 que aquí vamos a tratar consiste —recordemos— en demostrar que no existen números naturales no nulos \( x, y, z \) que cumplan la ecuación de Fermat

\( \color{blue} x^3+y^3=z^3 \).

Sin embargo, parece haber consenso unánime entre quienes abordan el problema en que es más práctico demostrar que la ecuación no tiene soluciones enteras (salvo en los casos triviales en los que alguna variable toma el valor 0). La no existencia de soluciones enteras es equivalente a la no existencia de soluciones naturales, pero el paso de los números naturales a los enteros simplifica sustancialmente las posibilidades de manipulación algebraica. Por ejemplo, si tenemos una igualdad de la forma \( A+B=C+D \), en caso de trabajar exclusivamente con números naturales, no podríamos pasar a \( A-C=D-B \) si no podemos asegurar que \( C\leq A \) y \( B\leq D \). En cambio, si operamos en \( \mathbb Z \) esto no tiene que preocuparnos.

Pues bien, la moraleja de este hilo pretende ser que, del mismo modo que a nadie le parece una herejía usar números enteros para abordar un problema que en principio habla de números naturales si con ello aumentamos sensiblemente la potencia de nuestros argumentos posibles, tampoco debería ver nadie una herejía en usar números imaginarios si con ello la potencia de nuestros argumentos aumenta muchísimo más. Quien se siente incómodo metiendo números imaginarios en la prueba es como alguien que sólo se sienta cómodo con los números naturales y arrugue la nariz al ver escrito \( A-C \) cuando cabe la posibilidad de que le estemos restando 8 a 5, a pesar de que si tienes 5 no te pueden quitar 8.

Mi propósito es dar la oportunidad a los aficionados (serios) al UTF a que entiendan en este caso las técnicas "modernas" y que, con la perspectiva adecuada que supone entender algo antes de juzgarlo, juzguen si realmente es importante o no que Fermat conociera o no estas técnicas a la hora de incluirlas en el arsenal propio para abordar éste y otros problemas aritméticos.

Los números complejos

Dedicamos este primer apartado a recordar las propiedades básicas de los números complejos, los herejes que vamos a introducir en la demostración de un teorema sobre números naturales. En principio voy a suponer que cualquier lector interesado conoce los números complejos, pero si no es así y alguno se manifiesta, lo que vamos a necesitar es tan poca cosa que no costaría nada desarrollar un poco más estos preliminares. En principio no lo hago por no enseñar a nadar a los peces, pero si hay algún alevín, que lo diga.

Recordemos que los números complejos son números de la forma \( a+bi \), donde \( a \) y \( b \) son números reales e \( i \) es la unidad imaginaria, caracterizada por la propiedad de que \( i^2=-1 \).

Cada número complejo se escribe de forma única como \( a+bi \), de modo que si \( a+bi=c+di \) es porque \( a=c \) y \( b=d \). El número \( a \) se llama parte real y el número \( b \) se llama parte imaginaria del número complejo \( z=a+bi \).

Un algebrista diría que los números complejos forman un cuerpo, pero eso en la práctica significa simplemente que los números complejos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo que no se puede dividir entre 0) de modo que se cumplen exactamente las mismas reglas de manipulación de expresiones algebraicas que valen para los números enteros y los racionales. Quiero decir que una igualdad como \( (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 \) vale igual si \( x \) e \( y \) son números enteros, racionales o complejos, o que en una fracción podemos tachar términos comunes que multiplican al numerador y al denominador, que podemos sacar factor común en una expresión, etc., exactamente en las mismas condiciones que si estamos trabajando con números enteros o racionales.

El hecho de que los números complejos cumplan las propiedades algebraicas que los enteros o los racionales hace que la relación \( i^2=-1 \) baste para calcular la suma, la resta o el producto de cualquier par de números complejos:

\( (a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i \)      \( (a+bi)(c+di)=ac+bdi^2+adi+bci=ac-bd+(ad+bc)i \)

Por ejemplo,

\( 2+3i\ +\ 5-2i=7+i \),           \( (2+3i)(5-2i)=10-6i^2-4i+15i=16+11i \).

Una diferencia notable entre los números complejos y los enteros o los racionales es que no pueden ser ordenados de forma que las reglas algebraicas de manipulación de desigualdades sigan siendo válidas. Si uno se empeña puede ordenar los números complejos, pero la ordenación que obtendrá será como si uno ordena los números enteros así:

\( 0< 1<-1<2<-2<3<-3<\cdots \)

Queda muy bonito, pero con esa ordenación no se cumple ninguna propiedad intersesante, como que \( x\leq y\rightarrow -x\leq -y \), o cosas así.

No obstante, aunque no podamos ordenar provechosamente los números complejos, sí que podemos hablar de números complejos mayores o menores en tamaño. El tamaño de un número complejo lo determina su módulo, definido como

\( |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} \)

Esto tiene una interpretación geométrica, y es que podemos identificar a cada número complejo \( a+bi \) con el punto del plano de coordenadas \( (a, b) \), y entonces el módulo de un número complejo \( z=a+bi \) es la distancia de \( z \) al \( 0 = 0+0i \).

Sin embargo, en contra de lo que es habitual en análisis, nosotros no trabajaremos con el módulo de los números complejos, sino con su norma, definida como

\( N(a+bi)=a^2+b^2 \)

Es decir, para medir lo grande o pequeño que es un número complejo no calcularemos la raíz cuadrada que exige el módulo. De este modo, la norma de un número complejo se interpreta como el cuadrado de su distancia al 0, lo cual sirve igualmente para determinar si un número complejo es mayor o menor que otro (quiero decir que \( |z_1|<|z_2| \) es equivalente a \( N(z_1)<N(z_2) \), de modo que comparar módulos es equivalente a comparar normas). La razón para prescindir de la raíz cuadrada es que nos proponemos ser herejes, pero no libertinos. Vamos a introducir números complejos en nuestros argumentos sobre el UTF, pero no vamos a alejarnos de los números enteros más de lo estrictamente necesario y así, si consideramos el número complejo \( z= 2+i \), vemos que su norma es \( N(z)=5 \), un número natural, mientras que si usáramos el módulo nos saldría \( |z|=\sqrt 5 \), que es un número irracional, con lo que estaríamos metiendo en nuestras cuentas un pecaminoso irracional cuando, con la norma, tendremos un piadoso número natural. No vamos a pecar por puro vicio.

El conjugado de un número complejo \( a+bi \) se define como el número \( \overline{a+bi}=a-bi \). Así pues, conjugar un número complejo es cambiarle el signo a su parte imaginaria.

Observemos que \( N(z)=z\bar z \).

En efecto, si \( z=a+bi \), entonces \( z\bar z=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2 = a^2+b^2=N(z) \).

La conjugación es importante porque nos permite dividir números complejos. Por ejemplo:

\( \dfrac{3+2i}{5-3i}=\dfrac{(3+2i)(5+3i)}{(5-3i)(5+3i)}=\dfrac{9+19i}{34}=\dfrac9{34}+\dfrac9{34}i \)

Hemos multiplicado numerador y denominador por el conjugado y así en el denominador nos ha quedado la norma, que es un número real por el que podemos dividir tanto la parte real como la imaginaria del numerador para llegar a una expresión de la forma \( a+bi \).

En particular el inverso de un número complejo no nulo se calcula como

\( z^{-1}=\dfrac{\bar z}{N(z)} \)

En efecto: \( z^{-1}=\dfrac1z =\dfrac{\bar z}{z\bar z}=\dfrac{\bar z}{N(z)} \).

La conjugación tiene una propiedad muy importante, y es que respeta sumas y productos:

\( \overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2 \),        \( \overline{z_1z_2}=\bar z_1\,\bar z_2 \)

En realidad, lo que nos importa de aquí es que la norma es multiplicativa:

\( N(z_1z_2)=N(z_1)N(z_2) \)

En efecto, \( N(z_1z_2)=z_1z_2\overline{z_1z_2}=z_1z_2\bar z_1\,\bar z_2 = z_1\bar z_1\, z_2\bar z_2=N(z_1)N(z_2) \).

Pues bien, esto es todo lo que hay que saber para seguir este hilo, aparte de conocer las reglas usuales de manipulación algebraica, como que \( x^3x^4=x^7 \), los conceptos aritméticos básicos, como múltiplo, divisor, división con cociente y resto, primo, etc. y las nociones básicas sobre polinomios y ecuaciones, como que si sabemos que la ecuación

\( x^3-7x+6=0 \)

tiene soluciones \( x=-3,1,2 \), eso se traduce en la factorización

\( x^3-7x+6=(x+3)(x-1)(x-2) \).

En el próximo mensaje veremos cómo introducir los pecaminosos números complejos en un marco de trabajo adecuado para demostrar el UTF para exponente 3.

En su momento necesitaremos también las propiedades básicas y elementales de las congruencias, pero las repasaremos cuando las vayamos a necesitar. No vamos a usar nada más complicado que lo dicho.

[Carlos Ivorra]

Vamos a calcular las raíces del polinomio \( t^3-1 \). Una de ellas es obviamente \( t=1 \), que nos da la factorización \( t^3-1=(t-1)(t^2+t+1) \). Falta, pues, resolver la ecuación \( t^2+t+1=0 \), cuyas soluciones son

\( \dfrac{-1\pm\sqrt{-3}}2 \)

Equivalentemente,

\( \omega=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt 3}2\,i \)     y     \( \omega'=-\dfrac12-\dfrac{\sqrt 3}2\ i \)

Debemos observar dos relaciones:  \( \omega'=\bar\omega=\omega^2 \). Que \( \omega' \) es el conjugado de \( \omega \) se ve a simple vista, en cuanto a que es el cuadrado de \( \omega \) se comprueba sin más que hacer una multiplicación.

Observación irrelevante

Ninguna de las dos relaciones es casual: que las dos raíces sean conjugadas es una propiedad conocida de las raíces imaginarias de los polinomios con coeficientes reales: se dan siempre en pares de números complejos conjugados. En cuanto a que \( \omega'=\omega^2 \), también tiene su razón de ser al margen de que pueda comprobarse con un cálculo: tenemos que \( 1 \), \( \omega \) y \( \omega' \) son todas las raíces del polinomio \( t^3-1 \), luego \( \omega^3=1 \), luego \( (\omega^2)^3 = (\omega^3)^2=1^2=1 \). Por lo tanto \( \omega^2 \) es también una raíz del polinomio, luego tenía que ser una de las tres \( 1,\omega, \omega' \). Es fácil descartar que \( \omega^2 \) pueda ser \( 1 \) u \( \omega \), por lo que tiene que ser \( \omega^2=\omega' \).

[cerrar]

Así pues, a partir de ahora ya no escribiremos más \( \omega' \), sino \( \omega^2 \). Concluimos que las raíces del polinomio \( t^3-1 \) son \( 1, \omega, \omega^2 \) o, lo que es lo mismo, son los tres únicos números complejos \( z \) que cumplen \( z^3=1 \).

En particular debemos recordar que \( \omega \) es un número complejo que cumple las dos relaciones:

\( \color{blue} \omega^3=1 \)           \( \color{blue} \omega^2+\omega+1=0 \)

De aquí deducimos que \( -1, -\omega, -\omega^2 \) son los únicos tres números complejos \( z \) que cumplen \( z^3=-1 \). En otras palabras, son las tres raíces del polinomio \( t^3+1 \). Por consiguiente, éste factoriza como

\( t^3+1=(t+1)(t+\omega)(t+\omega^2) \).

Ahora sustituimos \( t=x/y \):

\( \frac{x^3}{y^3}+1=(\frac xy+1)(\frac xy+\omega)(\frac xy+\omega^2) \)

y multiplicamos por \( y^3 \), repartiendo en la derecha una \( y \) en cada factor:

\( x^3+y^3=(x+y)(x+y\, \omega)(x+y\,\omega^2) \).

Ésta es casi la expresión que necesitamos, pero conviene hacerle un pequeño retoque. Vamos a multiplicar el segundo factor por \( \omega \) y el tercero por \( \omega^2 \). Con ello, en total hemos multiplicado el miembro derecho por \( \omega^3=1 \), con lo que en realidad no hemos cambiado nada. El resultado es:

\( \color{blue} x^3+y^3=(x+y)(x\,\omega +y\,\omega^2)(x\,\omega^2+y\,\omega) \)                (1)

La ventaja de esta expresión frente a la anterior es que ahora la suma de los factores es nula:

\( \color{blue} x+y\ +\ x\,\omega +y\,\omega^2\ + \ x\,\omega^2+y\,\omega = 0 \)

En efecto: \( x+y\ +\ x\,\omega +y\,\omega^2\ + \ x\,\omega^2+y\,\omega \)\( =x(1+\omega +\omega^2)+y(1+\omega +\omega^2)=0 \).

Con esto tenemos ya el primer ingrediente para la prueba del UTF con exponente 3. La prueba original de Euler se limitaba a factorizar

\( \color{red} x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) \)

Y luego sacaba partido de que si existe una solución entera de la ecuación \( x^3+y^3=z^3 \), entonces

\( \color{red} (x+y)(x^2-xy+y^2)=z^3 \)

Esto obliga a analizar un primer factor muy sencillo y un segundo factor más complicado, que, sin ser intratable, da bastante guerra. En cambio, la demostración de Gauss utiliza en el fondo la misma idea que la de Euler, pero trabaja con la factorización (1) en la que los tres factores son de grado 1 y presentan una simetría a la que Gauss le supo sacar partido (no sólo la que muestra la ecuación, sino el hecho de que la suma de sus factores sea nula). La factorización abortada de Euler no sólo tiene un factor más complicado, sino que eso hace además que carezca de la simetría que se consigue al terminar de factorizar.

Por supuesto, la diferencia entre trabajar con la factorización abortada o con (1) es la diferencia entre trabajar sólo con números enteros o permitir el uso de números complejos. En realidad, no es así, porque Euler tuvo igualmente que usar números imaginarios para estudiar el segundo factor de su expresión. Consideró números de la forma \( a+b\sqrt{-3} \), con \( a, b \) enteros, que están cerca de \( \omega \), pero no llegó a considerar \( \omega \) y eso da lugar a muchas complicaciones innecesarias.

En resumen, la diferencia entre empeñarse en trabajar sólo con números enteros o admitir el uso de \( \omega \) para descomponer el segundo factor es la diferencia entre que dos siameses sin órganos compartidos a quienes los médicos les digan que pueden separarlos mediante una simple operación quirúrgica acepten la propuesta o que, por el contrario, respondan que no quieren emplear técnicas modernas que no conocen y prefieren la penitencia de vivir pegados el uno al otro.

El lector escéptico ante las técnicas "modernas" que no conocía Fermat debe plantearse si en pleno siglo XXI tiene sentido negarse a usar el bisturí \( \omega \) para separar los factores siameses de la factorización de Euler, o si, por el contrario, prefiere esforzarse en sudar siguiendo un razonamiento que mantiene absurdamente pegadas dos raíces que no tienen más motivo para permanecer unidas que el que uno no sepa cómo operarlas de forma que puedan llevar vida independiente.


Termino este mensaje comentando la representación gráfica de los seis números \( \pm 1, \pm\omega, \pm\omega^2 \) que estamos considerando. Nada de lo que sigue será necesario más adelante. Helos aquí:

Todos ellos tienen módulo 1. Si nos fijamos en \( 1,\omega,\omega^2 \), vemos que forman un triángulo equilátero, mientras que, si consideramos los seis en su conjunto, se encuentran en los vértices de un hexágono regular.

Quien esté familiarizado con la interpretación del producto de números complejos en términos de su módulo y su argumento sabrá que esto no es casual, sino que es consecuencia directa de las relaciones \( \omega^3=1 \), \( (-\omega)^6 = 1 \).

[Carlos Ivorra]

La demostración que vamos a dar del UTF para exponente 3 usará los números complejos para separar completamente los factores del polinomio \( x^3+y^3 \), pero no es cierto que necesitemos todos los números complejos. Para este fin nos bastan los números \( \omega \) y \( \omega^2 \), pero tampoco es correcto decir que sólo necesitemos esos dos. Necesitamos los justos para que entre ellos estén esos dos y, al mismo tiempo, sean suficientes para operar sin restricciones.

En definitiva, nuestro espacio de trabajo serán los llamados números ciclotómicos de orden 3 (o de orden 6, que es lo mismo). El nombre es rimbombante, pero los números ciclotómicos de orden 3 (o 6) son simplemente los números complejos de la forma

\( \color{blue} z=a+b\,\omega \),

donde \( a,b \) son números racionales. Notemos que no estamos excluyendo a \( \omega^2=-1-\omega \).

Minicurso de griego

"Ciclotómico" en griego significa "que divide el círculo", y el nombre hace referencia a que son los números construidos a partir de los tres números \( 1,\omega,\omega^2 \), que dividen el círculo en tres partes iguales, o de los números \( 1,-\omega^2, \omega,-1,\omega^2,-\omega \), que dividen el círculo en seis partes iguales.

[cerrar]

Lo primero que conviene observar es que cada número ciclotómico se expresa de forma única como \( a+b\,\omega \), es decir, que no podemos estar considerando dos números aparentemente distintos, como \( 5-7\omega \) y \( 3+4\omega \) y que en un momento dado podamos descubrir que realmente son el mismo.

Demostración

Supongamos que \( a+b\,\omega= a'+b'\,\omega \) y vamos a ver que necesariamente \( a=a' \) y \( b=b' \).

Si fuera \( b\neq b' \) podríamos despejar

\( \omega= \dfrac{a'-a}{b-b'} \)

y concluiríamos que \( \omega \) es un número racional, pero sabemos que es imaginario, así que esto es imposible y tiene que ser \( b=b' \). Entonces \( a+b\,\omega=a'+b\,\omega \), de donde también \( a=a' \).

[cerrar]

Aunque no vamos a tener necesidad de hacer muchos cálculos concretos con números ciclotómicos, puestos a hacerlos, es preferible expresarlos más laxamente en la forma

\( z=a+b\,\omega+c\,\omega^2 \),

donde \( a,b,c \) son números racionales.

Ciertamente, todo número de esta forma es un número ciclotómico, ya que siempre se puede eliminar \( \omega^2 \) sustituyéndolo por \( -1-\omega \).

Diremos que un número ciclotómico está en forma canónica si \( c=0 \).  En caso contrario diremos que está en forma expandida. Teniendo en cuenta la relación fundamental \( 1+\omega+\omega^2=0 \), vemos que

\( \color{blue} z=a+b\,\omega+c\,\omega^2=a+d+(b+d)\, \omega+(c+d)\,\omega^2 \),

pues para pasar del miembro izquierdo al derecho lo único que hemos hecho ha sido sumar \( d(1+\omega+\omega^2)=0 \).

En otras palabras: si tenemos un número ciclotómico en forma expandida, podemos sumar (o restar) un mismo número racional a todas sus coordenadas sin que el número varíe. Para ponerlo en forma canónica basta restarle a todas las coordenadas la coordenada de \( \omega^2 \). Por ejemplo,

\( 3+2\omega-7\omega^2=5+4\omega-5\omega^2=10+9\omega \)

En la primera igualdad hemos sumado 2 a todas las coordenadas, y en la segunda hemos sumado 5 para poner el número en forma canónica. En general:

Para saber si dos números ciclotómicos en forma expandida son iguales, los ponemos en forma canónica. Serán iguales si y sólo si el resultado es el mismo.

Ahora notamos un hecho fundamental:

La suma, la resta, el producto, el conjugado y el cociente de dos números ciclotómicos es de nuevo un número ciclotómico.

En efecto:

Para la suma (y la resta) es inmediato: \( a+b\,\omega + c+d\,\omega = a+c+(b+d)\,\omega \).

Para el producto, un ejemplo ilustra el caso general:

\( (3+\omega-\omega^2)(2+\omega+3\omega^2)=(4+2\omega)(-1-2\omega)=-4-10\omega-4\omega^2 \).

Notemos que hemos puesto los factores en forma canónica para simplificar el cálculo del producto. Luego, si queremos, podemos poner también el resultado en forma canónica. La fórmula general es:

\( (a+b\,\omega)(c+d\,\omega)=ac+(ad+bc)\omega+bd\omega^2=ac-bd+(ad+bc-bd)\omega \),

pero no es necesario recordar esta fórmula tan fea. En la práctica basta operar usando la relación \( \omega^3=1 \) y al final, si se quiere, se reduce el resultado a forma canónica.

El conjugado de un número ciclotómico es

\( \overline{a+b\,\omega+c\,\omega^2}=\bar a+\bar b\,\bar\omega+\bar c\,\bar\omega^2=a+b\,\omega^2+c\,\omega \).

Aquí hemos usado que el conjugado de la suma y el producto es la suma o el producto de los conjugados, respectivamente, que los números reales (en particular, los números racionales \( a,b,c \)) son invariantes por conjugación y que \( \omega \) y \( \omega^2 \) son mutuamente conjugados. En resumen:

El conjugado de un número ciclotómico se obtiene intercambiando \( \omega \) con \( \omega^2 \).

Esto es análogo al hecho de que el conjugado de un número complejo en general \( a+bi \) se obtiene intercambiando \( i \) con \( -i \).

En cuanto al inverso, basta tener en cuenta que los números ciclotómicos no son más que números complejos, y que su inverso se calcula con la fórmula válida en general para números complejos:

\( z^{-1}=\dfrac{\bar z}{N(z)} \)

Para ver que, en efecto, esta expresión da lugar a un número ciclotómico vamos a obtener en primer lugar una expresión explícita para la norma:

\( N(a+b\,\omega)=(a+b\,\omega)\overline{a+b\,\omega}=(a+b\,\omega)(a+b\,\omega^2)=a^2+ab\,\omega+ab\,\omega^2+b^2\,\omega^3 \)\( a^2+ab\,\omega+ab\,\omega^2+b^2=a^2-ab+b^2 \).

Vamos a usar varias veces la expresión que acabamos de obtener:

\( \color{blue} N(a+b\,\omega)=a^2-ab+b^2 \)        (2)

En particular, vemos que la norma de un número ciclotómico es un número racional (porque \( a, b \) lo son). A su vez, esto implica que si \( z\neq 0 \) es un entero ciclotómico, también lo es \( z^{-1} \), porque hemos visto que \( \bar z \) lo es y, al dividir el conjugado por un número racional seguimos teniendo un número ciclotómico. Por ejemplo (si no me equivoco en las cuentas):

\( \dfrac{17+5\omega}{2-3\omega}=\dfrac{(17+5\omega)(2-3\omega^2)}{(2-3\omega)(2-3\omega^2)} \) \( = \dfrac{34+10\omega-51\omega^2-15}{2^2+3^2-2(-3)}=\dfrac{19+10\omega-51\omega^2}{19}=\dfrac{70+61\omega}{19}=\dfrac{70}{19}+\dfrac{61}{19}\,\omega \).

Notemos que la primera operación ha sido multiplicar y dividir por el conjugado del denominador.

La conclusión de todo esto es que podemos trabajar exclusivamente con números ciclotómicos sabiendo que todas las expresiones algebraicas que consideremos, que incluyan sumas, restas multiplicaciones y divisiones de tales números corresponderán siempre a números ciclotómicos. Y, puesto que no son más que números complejos, el lector debe contar con que todas las manipulaciones algebraicas que sabe realizar con números enteros, o racionales, o complejos (reglas para operar potencias, para desarrollar potencias de sumas, para simplificar fracciones, etc.) son válidas sin restricción alguna cuando se aplican a números ciclotómicos. Lo que no tenemos, eso sí, es una ordenación que nos permita operar con desigualdades. Ni falta que nos hace.

Con esto ya hemos expuesto el segundo ingrediente de la prueba que vamos a presentar: elegir como entorno de trabajo el de los números ciclotómicos. Todos los números complejos que vamos a mencionar en lo sucesivo serán ciclotómicos, no necesitamos ninguno más, pero al restringirnos a ellos contamos con los necesarios para factorizar completamente el polinomio \( x^3+y^3 \).


La mayor parte de los hilos que he desarrollado en este foro eran un tanto técnicos, por lo que comprendo que muchos  (o pocos) lectores prefieran leer en silencio, pero este hilo es eminentemente práctico y creo sinceramente que está al alcance de todos los lectores interesados (quitado algún usuario patológico que otro, de los que hay pocos) el comprender plenamente todo cuanto estoy exponiendo. Así que, para que éste no sea un hilo fantasma visitado por espíritus, me declaro bruja de la Bella Durmiente y dejaré el hilo en coma hasta que aparezca algún príncipe (o mejor, algunos) que expresen su amor resolviendo estos simples ejercicios o preguntando las dudas que susciten:

1) Calcular \( N(3-5\omega-2\omega^2) \).

2) Resolver la ecuación:     \( (3+\omega)z+\omega^2+3=\omega^2(z-\omega+2) \)   operando únicamente con números ciclotómicos.

Huelga decir que no están pensados para que los resuelva el_manco, precisamente. Recordad que antes de hacer operaciones que se puedan volver farragosas es conveniente poner los números en forma canónica.

[Carlos Ivorra]

Resumo lo que sabemos hasta ahora: tenemos definidos los números ciclotómicos, que son unos números complejos (de la forma \( a+b\,\omega \), o más en general, \( a+b\,\omega+c\,\omega^2 \), con \( a, b, c \) números racionales) con la propiedad de que al sumar, restar, multiplicar o dividir números ciclotómicos obtenemos de nuevo números ciclotómicos. Además, tenemos definida la norma de un número ciclotómico, dada por

\( N(a+b\,\omega)=a^2-ab+b^2 \)                             (2)

que es un número racional, y que es multiplicativa, en el sentido de que \( N(z_1z_2)=N(z_1)N(z_2) \).

Hay una propiedad de la norma en la que no hemos hecho hincapié y que va a ser muy importante, y es que es siempre \( \geq 0 \). Más aún, el único número ciclotómico de norma 0 es el 0.

Alguien podría pensar: ¡un momento! Vale que \( a^2 \) y \( b^2 \) son \( \geq 0 \), pero si \( a,b \) son números racionales cualesquiera, el termino \( -ab \) puede ser negativo, y no tenemos garantía de que la suma de los tres términos no pueda ser negativa también en algún caso.

Hay varias formas de convencerse de que eso no puede ocurrir. La más sencilla es no mirar la expresión anterior, que es la más útil para calcular la norma en la práctica, sino recordar la definición de norma:

\( N(z)=z\bar z = |z|^2 \).

La norma de un número ciclotómico es el cuadrado de su módulo como número complejo o, si lo preferimos, es el cuadrado de su distancia a 0. Por lo tanto, es siempre \( \geq 0 \), y el único número ciclotómico que está a distancia 0 del 0 es el 0.

Otra prueba para quien sepa más

El lector familiarizado con la clasificación de las formas cuadráticas puede deducir de la expresión (2) para la norma —sin más que calcular un determinante—  que corresponde a una forma cuadrática definida positiva, y eso significa justamente que cumple lo que estamos afirmando: que es siempre \( >0 \) salvo en el 0, donde vale 0.

[cerrar]

Aclarado esto, pasamos al concepto que vamos a analizar en esta entrega:

Llamaremos enteros ciclotómicos (de orden 3, o de orden 6, que es lo mismo) a los números de la forma

\( \color{blue} \alpha = a+b\,\omega \),

donde \( a, b \) son números enteros.

Por ejemplo, aquí tenemos dos números ciclotómicos, de los cuales el primero es un entero ciclotómico, pero el segundo no:

\( \alpha = -5+7\omega,\qquad \qquad z = \dfrac37+\dfrac25\omega \).

En un número ciclotómico, las coordenadas pueden ser números racionales cualesquiera, pero será un entero ciclotómico si de hecho son enteras. Una pregunta para cazar incautos:

¿Es un entero ciclotómico el número \( \alpha = \dfrac32+\dfrac72\,\omega-\dfrac12\,\omega^2 \)?

Solución

Sí que lo es, porque, si sumamos \( 1/2 \) a todas las componentes, queda:

\( \alpha = \dfrac32+\dfrac72\,\omega-\dfrac12\,\omega^2=2+4\omega \)       

Un número ciclotómico es entero ciclotómico si en forma canónica tiene coordenadas enteras. No obstante, esto era para pillar. En la práctica, aunque al operar con enteros ciclotómicos es conveniente dejarlos, aunque sea temporalmente, en forma expandida, sólo consideraremos formas expandidas \( a+b\,\omega+c\,\omega^2 \) con \( a, b, c \) enteros. Es claro que cualquier número ciclotómico de esta forma es un entero ciclotómico, porque para pasarlo a forma canónica sólo hay que restar \( c \) a todas las coordenadas, y éstas no dejan de ser enteras.

[cerrar]

No la necesitamos para nada, pero incluyo una "foto" de los enteros ciclotómicos, por si uno quiere ver lo que tenemos entre manos:

Los enteros ciclotómicos se distribuyen en una red de triángulos equiláteros por todo el plano complejo.

La afirmación siguiente debería ser evidente:

Al sumar, restar o multiplicar enteros ciclotómicos obtenemos enteros ciclotómicos, pero al dividir enteros ciclotómicos podemos obtener números ciclotómicos que no sean enteros ciclotómicos.

En efecto, basta tener en cuenta que la suma se calcula como

\( a+b\,\omega\ + \ c+d\,\omega = a+c+(b+d)\,\omega \),

y si las coordenadas de los sumandos son enteras, las de la suma también lo son. Con el producto sucede algo similar: las coordenadas del producto se calculan sumando y multiplicando las coordenadas de los factores, luego si éstas son enteras, las del resultado también lo son. Más precisamente, en la entrega anterior hemos encontrado la fórmula explícita para el producto:

\( (a+b\,\omega)(c+d\,\omega)=ac-bd+(ad+bc-bd)\omega \).

En cambio, en el hilo anterior hemos visto, por ejemplo, que al dividir los enteros ciclotómicos \( 17+5\omega \) y \( 2-3\omega \) el resultado no era un entero ciclotómico.

Esta situación debería ser totalmente familiar para el lector, pues es lo mismo que pasa con los números enteros y racionales:

Al sumar, restar, multiplicar o dividir números racionales se obtienen números racionales, y al sumar, restar y multiplicar números enteros se obtienen números enteros, pero al dividir números enteros se obtiene un número racional que no tiene por qué ser entero.

Lo que acabamos de ver es que esto sigue siendo cierto si cambiamos "número racional" por "número ciclotómico" y "número entero" por "entero ciclotómico".

Conviene pensar que los números ciclotómicos son una generalización de los números racionales, y que los enteros ciclotómicos son la generalización correspondiente de los números enteros.

Por ejemplo, todo número racional es el cociente de dos números enteros, e igualmente todo número ciclotómico es el cociente de dos enteros ciclotómicos. En efecto:

\( \dfrac pq+\dfrac rs\,\omega = \dfrac{ps}{qs}+\dfrac{qr}{qs}\,\omega=\dfrac{ps+qr\,\omega}{qs} \).

Habíamos dicho que en lo sucesivo íbamos a considerar únicamente números ciclotómicos, y ahora podemos decir, más precisamente, que vamos a considerar casi exclusivamente enteros ciclotómicos. La idea es que, al igual que alguien que esté trabajando con números enteros puede permitirse en medio de sus cálculos pasar cosas dividiendo de un miembro a otro y formar fracciones, aunque al final las elimine y termine con una relación entre enteros, también nosotros, al manipular enteros ciclotómicos, podremos sin problemas formar fracciones y considerar temporalmente números ciclotómicos no enteros, aunque al final terminemos con conclusiones sobre enteros ciclotómicos.

Observemos ahora otro hecho fundamental:

La norma de un entero ciclotómico es un número natural, y el único entero ciclotómico de norma 0 es el 0.

En efecto, si \( a+b\,\omega \) es un entero ciclotómico,  la expresión (2) para la norma, donde ahora \( a,b \) son enteros, nos da que \( N(a+b\,\omega) \) es un número entero, y al principio de esta entrega hemos razonado que es \( \geq 0 \), luego es un número natural, y también hemos razonado que sólo es 0 cuando el entero ciclotómico es el 0.

Hemos definido la norma como el cuadrado del módulo, es decir, hemos prescindido de la raíz cuadrada que aparece en la definición del módulo de un número complejo, precisamente para que se cumpla esto: así todos los enteros ciclotómicos tienen norma natural. Si hubiéramos dejado la raíz cuadrada esto sería falso.

Recapitulamos:

Tenemos definidos los enteros ciclotómicos, que son los números de la forma

\( \color{blue} \alpha=a+b\,\omega \)   o   \( \color{blue}\alpha = a+b\,\omega+c\,\omega^2 \),

donde \( a, b, c \) son enteros (aunque siempre podemos reducirlos a la forma canónica en la que \( c=0 \)).

Los enteros ciclotómicos se pueden sumar, restar y multiplicar, de modo que se cumplen todas las propiedades algebraicas que usamos para manipular enteros ordinarios (salvo que no podemos considerar desigualdades entre ellos). También se pueden dividir, aunque el resultado no es necesariamente un entero ciclotómico, pero sí un número ciclotómico.

Tenemos definida la norma \( N(a+b\,\omega)=a^2-ab+b^2 \) que a cada entero ciclotómico le asigna un número natural, y sólo el 0 tiene norma 0.

Esta norma tiene la propiedad de que \( N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta) \). Es importante que, si hablamos de enteros ciclotómicos, esta igualdad es una igualdad de números naturales.


¿Y para qué hemos definido los enteros ciclotómicos? Muy sencillo. Lo que queremos probar es:

Teorema: No existen números enteros \( a, b, c \) no nulos tales que \( a^3+b^3+c^3=0 \).

Pues en lugar de esto, Gauss demostró (y nosotros demostraremos):

Teorema: No existen enteros ciclotómicos \( \alpha, \beta, \gamma \) no nulos tales que \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \).

Obviamente, como los números enteros son en particular enteros ciclotómicos, si la ecuación \( x^3+y^3+z^3=0 \) no tiene soluciones no triviales en los enteros ciclotómicos, tampoco las tendrá en los números enteros. Por lo tanto, el segundo teorema implica el primero.

Y entonces uno piensa, ¡qué monstruo este Gauss! Los matemáticos sudando para demostrar que la ecuación no tiene soluciones enteras (no triviales) y él va y no sólo demuestra eso, sino que demuestra algo más difícil aún: que no tiene soluciones (no triviales) en los enteros ciclotómicos.

Pero no, es decir, sí, Gauss era un monstruo, pero no por demostrar algo más difícil, sino por darse cuenta de que ¡es más fácil demostrar el segundo teorema que el primero! Y el lector se preguntará: ¿cómo va a ser más fácil demostrar un resultado más general que otro más particular?  Pues aunque parezca extraño así es, y voy a explicar por qué (en realidad hay un detalle del argumento que todavía no estoy en condiciones de anticipar, así que voy a contar una pequeña mentira piadosa irrelevante):

Demostraremos el segundo teorema mediante un descenso infinito, es decir, supondremos que existe una solución no trivial \( (\alpha, \beta, \gamma) \) de la ecuación de Fermat de exponente 3 y, a partir de ella calcularemos otra solución no trivial \( (\alpha', \beta', \gamma') \) tal que \( N(\gamma')<N(\gamma) \) (ésta es la mentira piadosa, en realidad no será esta condición, sino otra que para lo que aquí nos ocupa no importa cuál sea). Esto implica que no puede haber ninguna solución, porque como \( N(\gamma) \) es un número natural, si hubiera una, de entre todas ellas podríamos tomar una con el menor valor posible para \( N(\gamma) \), pero nuestro argumento probará que siempre podríamos encontrar otra menor, y tenemos una contradicción.

Por si el lector no está familiarizado con el concepto de descenso infinito, lo explico con más detalle en un spoiler:

Descenso infinito

Detallo la contradicción a la que da lugar el argumento que acabo de esbozar:

Queremos probar que no existen soluciones no triviales de la ecuación. Por reducción al absurdo, suponemos que existe una, digamos \( (\alpha_0, \beta_0, \gamma_0) \). El argumento que vamos a dar prueba que entonces existe otra, digamos \( (\alpha_1, \beta_1, \gamma_1) \), con \( N(\gamma_1)<N(\gamma_0) \), pero entonces podríamos aplicarle de nuevo el argumento y encontrar otra \( (\alpha_2, \beta_2, \gamma_2) \) con \( N(\gamma_2)<N(\gamma_1) \), y procediendo de este modo podríamos construir una sucesión estrictamente decreciente

\( N(\gamma_0)>N(\gamma_1)>N(\gamma_2)>N(\gamma_3)>\cdots \)

de números naturales, y eso es una contradicción: uno no puede partir de un número natural e ir pasando a números menores sin acabar nunca. No existen descensos infinitos desde un número natural. Equivalentemente, tiene que haber una solución \( (\alpha, \beta, \gamma) \) con \( N(\gamma) \) mínimo, que no permita descender más, pero nosotros vamos a probar que siempre se puede seguir descendiendo (si es que hay una solución de partida). La conclusión es que no puede haber ninguna solución de partida.

[cerrar]

Y ahora nos preguntamos: ¿qué pasaría si quisiéramos demostrar directamente el primer teorema (sólo para números enteros)? Si tratamos de adaptar nuestro argumento, partimos de una solución \( (a, b, c) \) de números enteros, pero el que sean enteros no nos ayuda en nada. Cuando aplicamos el argumento que veremos, acabamos igualmente en una solución \( (\alpha', \beta', \gamma') \) de enteros ciclotómicos con \( N(\gamma')<N(c) \) y esto no nos serviría. Tendríamos que arreglárnoslas para obtener a partir de ella una solución \( (a', b', c') \) formada por enteros, y eso no tiene por qué ser fácil. De hecho, no sé si sería posible. En suma, alguien que quiera usar el argumento de Gauss para probar directamente el teorema para enteros se encuentra con el problema adicional de que las técnicas de cirugía ciclotómica que vamos a emplear hacen que al manipular la solución inicial acabemos, queramos o no, con una solución de enteros ciclotómicos. Y es un problema complicado —tal vez imposible— convertirla de nuevo en una solución formada por enteros. Y ese problema complicado desaparece por completo si decidimos probar el teorema en general para enteros ciclotómicos, pues entonces nos vale la solución de enteros ciclotómicos y no tenemos ninguna necesidad de convertirla en otra formada por enteros. Probar el segundo teorema es más fácil que probar el primero.


Para terminar, planteo deberes previos a la próxima entrega. Pero éstos no son de mero entrenamiento, sino que son parte del argumento. Quien los resuelva estará aportando un granito de arena necesario para la demostración del UTF para exponente 3. Estará haciendo de ayudante de Gauss:

Problema: Encontrar todos los enteros ciclotómicos de normas 1, 2 y 3.

Es decir, buscamos todos los números \( a+b\,\omega \) con \( a, b \) enteros, tales que

\( N(a+b\,\omega)=a^2-ab+b^2=1, 2, 3 \)

Notemos que es un problema que puede abordarse sin saber nada de enteros ciclotómicos (de hecho, no ayudan en mucho, al revés, esto ayudará a estudiarlos a ellos). Sólo hay un número finito de soluciones. Y es conveniente buscarlas por separado, primero de norma 1, luego de norma 2 y luego de norma 3.

Un ejemplo de solución es \( N(2+\omega)=3 \), pero no se trata de encontrar algunas, sino de justificar que las que se muestren son todas las que hay. Pongo en un spoiler una pista sobre el camino que yo he seguido, pero no me sorprendería que alguien encontrara otro argumento mejor:

Pista

Yo he considerado la identidad \( a^2-ab+b^2=(a-b)^2+ab \), y he usado la primera cuando \( a, b \) tienen signos opuestos y la segunda cuando tienen el mismo signo. Así no hay sumandos negativos.

[cerrar]

Y esto último es una sugerencia opcional para aquellos con curiosidad y que sepan darle órdenes a un ordenador. Se trata de calcular las normas de muchos enteros ciclotómicos, digamos \( N(a+b\,\omega) \) para \( a, b \) entre 0 y 10, o más, pero no creo que haga falta más, y formular una conjetura (ojo, que sólo propongo formular la conjetura, no demostrarla) sobre qué números naturales son normas de enteros ciclotómicos.

La respuesta depende de la descomposición en primos de cada número natural, luego habría que programar a un ordenador para que calculara normas y las presentara descompuestas en factores primos, para estar en condiciones de formular la conjetura.

Insisto en que esto no es necesario en absoluto ni para la demostración del teorema de Fermat ni para seguir el hilo. Lo propongo sólo por si alguien le coge el gusto y le apetece explorar un poco. La conjetura es sutil, pero no es complicada. Quien la conozca puede deducir en un segundo si un número dado es o no norma de un entero ciclotómico (otra cosa es calcularlo).

[Carlos Ivorra]

Para ilustrar la situación de los enteros ciclotómicos con normas pequeñas he hecho del dibujo que sugerí hacer en el hilo de comentarios:

Aquí vemos los enteros ciclotómicos más cercanos a 0 y las circunferencias de radio \( \sqrt n \) para \( n=1,\ldots, 10 \). En la figura se aprecia que los enteros ciclotómicos de norma 1 son exactamente

\( \pm 1,\quad \pm \omega, \quad \pm \omega^2 \).

Vemos también que no hay de norma 2 y que los de norma 3 son

\( -1+\omega,\quad 2+\omega, \quad  1+ 2\omega,\quad  1-\omega,\quad -2-\omega,\quad -1-2\omega \).

Para una prueba que justifique formalmente que éstas son todas las soluciones remito a la que ha propuesto Piockñec:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=81450.msg327915#msg327915


Pero aprovechando la figura podemos hacer algunas observaciones más (ninguna de las cuales nos va a hacer falta). La tabla siguiente muestra el número de enteros ciclotómicos de cada norma:

\( \begin{array}{c|cccccccccc}
N&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
&6&0&6&6&0&0&12&0&6&\color{red}0
\end{array} \)

Hay una razón por la que todos los números son múltiplos de 6. Si tomamos, por ejemplo, un entero ciclotómico de norma \( 3 \), por ejemplo, \( \pi=\omega-1 \), entonces, para cada uno de los seis enteros ciclotómicos \( \epsilon \) de norma 1 se cumple que \( N(\epsilon\pi)=N(\epsilon)N(\pi)=3 \), luego tenemos automáticamente seis enteros ciclotómicos de norma \( 3 \), que son

\( \pm \pi,\quad \pm\omega\pi,\quad \pm\omega^2\pi \).

En este caso, estos seis son todos los que hay. En cambio si tomamos uno de norma 7, por ejemplo, \( 1+3\omega \), los de la forma

\( \pm (1+3\omega),\quad \pm\omega(1+3\omega),\quad \pm\omega^2(1+3\omega) \)

son seis de los doce existentes. Si tomamos otro más y lo multiplicamos por los seis de norma 1 obtenemos los seis restantes. En general, todos los enteros ciclotómicos de una misma norma no nula se dividen de este modo en grupos de 6.


Respecto a la conjetura sobre qué números naturales son normas de enteros ciclotómicos, robinlambada ha encontrado la respuesta para los primos:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=81450.msg327897#msg327897

Como es algo que no nos va a hacer falta, dejo en el aire la extensión de esta conjetura para los números compuestos, para lo cual habrá que mirar los datos que ha aportado pabloN con una salida de datos muy cuidada:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=81450.msg327877#msg327877

[Carlos Ivorra]

El cociente de dos números enteros es un número racional, pero no necesariamente un entero. Ahora bien, podemos dividir números enteros sin salirnos de los enteros si consideramos la división euclídea, con cociente y resto. Enunciémosla primero para números naturales, que es como la aprendimos de niños:

Principio de la división euclídea (para números naturales) Dado un número natural \( D \) (dividendo) y otro \( d\neq 0 \) (divisor) existen unos únicos números naturales \( c \) (cociente) y \( r \) (resto) tales que

\( D=dc+r,\qquad r<d \).

Cuando uno vende un trocito de su alma al diablo y acepta trabajar con números enteros para simplificar las cuentas de cuestiones que en principio conciernen a los números naturales, se alegra de saber que este principio vale también para números enteros simplemente con una modificación trivial:

Principio de la división euclídea (para números enteros) Dado un número entero \( D \) (dividendo) y otro \( d\neq 0 \) (divisor) existen unos únicos números enteros \( c \) (cociente) y \( r \) (resto) tales que

\( D=dc+r,\qquad 0\leq r<|d| \).

La única variante es que, para incluir el caso en que el divisor sea negativo, pedimos que el resto sea menor que su valor absoluto.

Hasta ahora hemos introducido dos ingredientes de la prueba de Gauss sobre el UTF para exponente 3: una es la posibilidad de usar \( \omega \) para factorizar completamente \( x^3+y^3 \), y la otra es que es más fácil demostrar el UTF para enteros ciclotómicos que para enteros ordinarios. El tercer ingrediente es que los enteros ciclotómicos tienen un comportamiento mucho más parecido al de los números enteros de lo que uno podría sospechar. Y esa similitud se desprende casi exclusivamente del hecho que vamos a demostrar en esta entrega, y es que el principio de la división euclídea vale también para los enteros ciclotómicos.

A la hora de enunciarlo debidamente nos encontramos con el problema de que en principio involucra desigualdades, y no podemos hablar de desigualdades entre enteros ciclotómicos, pero, para expresar la idea de que "el resto debe ser menor que el divisor", podemos usar la norma:

Principio de la división euclídea (para enteros ciclotómicos) Dado un entero ciclotómico \( \Delta \) (dividendo) y otro \( \delta\neq 0 \) (divisor) existen enteros ciclotómicos \( \kappa \) (cociente) y \( \rho \) (resto) tales que

\( \Delta=\delta \kappa+\rho,\qquad N(\rho)<N(\delta) \).

Observemos que ahora no decimos que el cociente y el resto son únicos, pero es natural ya no tengamos la unicidad. Ello se debe a que la traducción que hemos hecho, de enteros a enteros ciclotómicos, no es literal (traduttore traditore). Para entender por qué, vamos a "retraducir" el enunciado precedente al caso de números enteros. Si "traducimos" la norma por el valor absoluto, el enunciado anterior equivale al enunciado siguiente para números enteros:

Principio de la división euclídea ("retraducido" para números enteros) Dado un número entero \( D \) (dividendo) y otro \( d\neq 0 \) (divisor) existen números enteros \( c \) (cociente) y \( r \) (resto) tales que

\( D=dc+r,\qquad |r|<|d| \).

El quid es que en el enunciado para enteros ciclotómicos hemos tenido que poner dos normas, y por eso al "retraducir" hemos puesto dos valores absolutos, y en estos términos el cociente y el resto para enteros no son únicos. Por ejemplo, aquí tenemos dos cocientes y dos restos posibles para un mismo dividendo y un mismo divisor:

\( 17=5\cdot 3+2 = 5\cdot 4 -3,\qquad |2|<|5|,\quad |-3|<|5| \)

Esto es lo que se llama división por defecto y división por exceso, y las dos cumplen los requisitos de la versión "retraducida". Vemos así que lo que hace únicos al cociente y al resto es la exigencia de que el resto sea \( r\geq 0 \), y esa exigencia no se puede incorporar al caso ciclotómico, por lo que perdemos necesariamente la unicidad de la división.

La buena noticia es que la unicidad de la división no nos hace falta para nada.

Dedicamos el resto del mensaje a demostrar el principio de división euclídea para enteros ciclotómicos. La prueba es constructiva, es decir, nos enseña a calcular (fácilmente) un cociente y un resto para cualquier dividendo y cualquier divisor dados.

Concretamente, dados dos enteros ciclotómicos \( \Delta \) y \( \delta\neq 0 \), lo primero que hacemos es calcular el cociente

\( \dfrac\Delta\delta = r+s\omega \),

que es un número ciclotómico, no necesariamente entero, es decir, que \( r \) y \( s \) son números racionales. Sabemos cómo poner el cociente en forma canónica, es decir, cómo calcular \( r \) y \( s \).

El paso siguiente es redondear \( r \) y \( s \) a los enteros más próximos, es decir, calculamos enteros \( \color{red} m \) y \( \color{red} n \) tales que

\( |r-{\color{red} m}|\leq \dfrac12,\qquad |s-{\color{red} n}|\leq \dfrac12 \)

Notemos que elegimos como \( \color{red} m \), o bien el entero siguiente a \( r \) o bien el anterior, de modo que el redondeo no exceda media unidad. Si \( r \) está justo en el punto medio entre dos enteros, tendremos libertad para elegir.

Un cociente será \( \kappa={\color{red} m}+{\color{red} n}\omega \), y el resto \( \rho = \Delta-\delta\kappa \).

Con esto ya sabemos calcular el cociente y el resto. Ahora falta probar que cumplen lo requerido. Trivialmente, por la forma en que hemos tomado \( \rho \), se cumple que \( \Delta = \delta\kappa+\rho \). Lo que falta por probar es que \( N(\rho)<N(\delta) \). Ahora bien:

\( N(\rho)=N(\Delta-\delta\kappa)=N((\dfrac\Delta\delta-\kappa)\delta)=N(\dfrac\Delta\delta-\kappa)N(\delta) \) \( = N(r+s\omega-m-n\omega)N(\delta) \)

y

\( N(r-m+(s-n)\omega)=|N(r-m+(s-n)\omega)|= \) \( |(r-m)^2-(r-m)(s-n)+(s-n)^2|\leq \)

\( |r-m|^2+|r-m||s-n|+|s-n|^2\leq (\dfrac12)^2+\dfrac12\cdot\dfrac12+(\dfrac12)^2\leq \dfrac34 \)

Por lo tanto, concluimos que \( N(\rho)\leq \dfrac34N(\delta)<N(\delta) \), como había que probar.

Hasta ahora he puesto ejemplos de todas las operaciones con números ciclotómicos que he presentado. Propongo ahora que vosotros construyáis un ejemplo a partir de la explicación precedente.

¿Podríais calcular un cociente y un resto cuando \( \Delta = 17+5\omega \) y \( \delta = 2-3\omega \)?

Como hay lectores anónimos que no se manifiestan, sería bueno que alguien escribiera la respuesta con los cálculos, para que todos puedan ver un ejemplo.

[Carlos Ivorra]

El concepto de divisibilidad entre enteros se generaliza de forma obvia al caso de los enteros ciclotómicos:

Definición: Se dice que un entero ciclotómico \( \alpha \) divide a otro \( \beta \), o que \( \beta \) es múltiplo de \( \alpha \), o que \( \beta \) es divisible entre \( \alpha \), y se representa por \( \alpha\mid \beta \), si existe un entero ciclotómico \( \gamma \) tal que \( \beta=\alpha\gamma \).

Es inmediato que la divisibilidad es reflexiva (todo entero ciclotómico se divide a sí mismo) y transitiva: si \( \alpha\mid \beta \) y \( \beta\mid \gamma \), entonces \( \alpha\mid \gamma \).

Notemos que si \( m \) y \( n \) son dos números enteros, ahora \( m\mid n \) tiene, en principio, dos significados distintos:

\( \bullet \) Si hay que entenderlo como una afirmación sobre enteros, significa que existe un entero \( a \) tal que \( n=am \).

\( \bullet \) Si hay que entenderlo como una afirmación sobre enteros ciclotómicos, significa que existe un entero ciclotómico \( \alpha \) tal que \( n=\alpha m \).

Sin embargo, ambas afirmaciones son equivalentes. Claramente la primera implica la segunda, mientras que si \( n=(a+b\omega)m=am+bm\omega \), entonces, como la expresión en forma canónica de un entero ciclotómico es única, tiene que ser \( n=am \) y \( bm=0 \). Por lo tanto, se cumple que \( m\mid n \) en el sentido usual sobre números enteros.

Así pues, no tenemos que distinguir si decimos que un entero es múltiplo de otro con cociente entero o entero ciclotómico. Si un entero es múltiplo de otro entero, aunque admitamos que el cociente sea entero ciclotómico, de hecho tiene que ser entero.

A partir del concepto de divisibilidad podemos definir el de primo, pero ¿qué es un número primo?

Probablemente, todos aprendimos lo que es un número primo cuando sólo conocíamos los números naturales, y entonces nos dijeron que un número \( p \) es primo cuando sus únicos divisores son \( 1 \) y \( p \).

Aquí habría que aclarar que, por definición, se considera que el 0 y el 1 no son primos. No todos los maestros aclaran esto y no es raro encontrar a gente convencida de que el 1 es primo. No es ese el convenio que usan los matemáticos. Hay que entender que el 5 es primo, el 6 es compuesto y el 0 y el 1 no son ni primos ni compuestos, sino que quedan al margen de esta clasificación.

Cuando los que se aventuran a estudiar los números naturales se convencen de que es más práctico trabajar con números enteros, algunos no se dan cuenta de que la definición anterior de primo deja de ser válida. En efecto, ya no es cierto que los únicos divisores de 5 sean 1 y 5, sino que, si consideramos números enteros, el 5 pasa a tener cuatro divisores:

\( 1,\quad -1, \quad 5, \quad -5 \).

Estos cuatro divisores son de dos clases distintas. Los dos primeros, el 1 y el -1, están ahí porque no pueden faltar, porque dividen a todos los números enteros, así que su presencia no dice nada sobre el 5. A la hora de generalizar la noción de primo a los enteros ciclotómicos debemos reflexionar sobre qué números son los análogos ciclotómicos al 1 y el -1 enteros. La respuesta nos la da este teorema:

Teorema Dado un entero ciclotómico \( \epsilon \), las afirmaciones siguientes son equivalentes:

• \( \epsilon^{-1} \) es un entero ciclotómico.
• \( \epsilon\mid 1 \)
• \( \epsilon \) divide a todos los enteros ciclotómicos.
• \( N(\epsilon)=1 \)

Los números que cumplen esto se llaman unidades ciclotómicas.

Antes de probar las equivalencias, notemos que todas ellas valen igualmente si cambiamos "entero ciclotómico" por "entero", y en la última ponemos \( |\epsilon|=1 \). Así pues, las unidades en los enteros son \( \pm 1 \).

Demostración

Si \( \epsilon^{-1} \) es un entero ciclotómico, entonces \( \epsilon\epsilon^{-1}=1 \) prueba que \( \epsilon\mid 1 \).

Si \( \epsilon\mid 1 \), como claramente 1 divide a todo entero ciclotómico y la divisibilidad es transitiva, concluimos que \( \epsilon \) divide a todo entero ciclotómico.

Si \( \epsilon \) divide a todo entero ciclotómico, en particular divide a 1, luego \( \epsilon\delta=1 \), para cierto entero ciclotómico \( \delta \), luego \( N(\epsilon)N(\delta)=N(1)=1 \), pero esto es una igualdad sobre números naturales, y la única solución posible es que \( N(\epsilon)=1 \).

Si \( N(\epsilon)=1 \), por definición de norma esto es lo mismo que \( \epsilon\bar\epsilon=1 \) y sabemos que el conjugado de un entero ciclotómico es un entero ciclotómico, luego \( \epsilon^{-1}=\bar\epsilon \) es un entero ciclotómico.

[cerrar]

Pero hemos calculado los enteros ciclotómicos de norma 1, así que podemos afirmar que las unidades ciclotómicas son exactamente:

\( \pm 1,\qquad \pm\omega,\qquad \pm\omega^2 \)

Recapitulando: la única unidad de los números naturales es el 1, por lo que cada número natural (que no sea 0 ni 1), como el \( 2 \), tiene al menos dos divisores, \( 1 \) y \( 2 \). En cambio, en los enteros hay dos unidades, por lo que cada número entero (que no sea ni 0 ni \( \pm1 \)), como el \( 2 \) tiene al menos cuatro divisores: \( \pm 1 \) y \( \pm 2 \). En cambio, entre los enteros ciclotómicos hay seis unidades, por lo que cada entero ciclotómico (que no sea 0 ni unidad), como el \( 2 \), tiene al menos doce divisores:

\( \pm1,\quad \pm\omega,\quad, \pm\omega^2,\quad \pm 2,\quad \pm2\omega,\quad \pm2\omega^2 \).

Por ejemplo, la factorización \( 2=(\omega)(2\omega^2) \) prueba que \( \omega \) y \( 2\omega^2 \) son divisores del \( 2 \).

Con esto ya podemos definir sensatamente el concepto de primo ciclotómico, pero antes vamos a dar nombre al segundo grupo de divisores forzados de cualquier número:

Teorema: Si \( \alpha \) y \( \beta \) son enteros ciclotómicos no nulos, las afirmaciones siguientes son equivalentes:

• \( \alpha\mid\beta \) y \( \beta\mid \alpha \)
• \( \alpha \) y \( \beta \) tienen los mismos múltiplos y los mismos divisores.
• Existe una unidad \( \epsilon \) tal que \( \alpha=\epsilon\beta \).

Cuando \( \alpha \) y \( \beta \) cumplen esto se dice que son asociados.

Nuevamente, este teorema es válido igualmente para enteros ordinarios, y para números naturales. Fijándonos en la última propiedad, vemos que cada número natural no nulo sólo es asociado de sí mismo, porque no hay más unidad que 1, pero cada número entero no nulo \( n \) es asociado de \( -n \), luego los números enteros no nulos forman parejas de asociados (1 y -1, 2 y -2, 3 y -3, etc.). En cambio, cada entero ciclotómico no nulo tiene exactamente seis asociados, los que resultan de multiplicarlo por las seis unidades.

Demostración

Si \( \alpha \) y \( \beta \) se dividen mutuamente, la transitividad de la divisibilidad hace que tengan los mismos múltiplos y divisores, pues si, por ejemplo, \( \gamma \) es múltiplo de \( \alpha \), entonces \( \beta\mid \alpha\mid \gamma \), luego \( \gamma \) es múltiplo de \( \beta \), y viceversa, e igualmente con divisores en vez de múltiplos.

Si \( \alpha \) y \( \beta \) tienen los mismos múltiplos y divisores, como \( \alpha\mid \alpha \), también \( \alpha\mid \beta \), y viceversa. Tenemos, por consiguiente, que \( \alpha = \beta\epsilon \) y que \( \beta=\alpha\delta \), para ciertos enteros ciclotómicos \( \epsilon \) y \( \delta \).

Pero entonces \( \alpha = \alpha\delta\epsilon \) y, como \( \alpha\neq 0 \), podemos simplificarlo: \( \delta\epsilon=1 \), luego \( \delta \) y \( \epsilon \) son unidades. En particular tenemos la tercera condición: \( \alpha = \epsilon\beta \), donde \( \epsilon \) es una unidad.

Si \( \alpha = \epsilon\beta \), donde \( \epsilon \) es una unidad, entonces, por definición, \( \beta\mid \alpha \), pero también \( \beta=\epsilon^{-1}\alpha \), y, por ser una unidad, \( \epsilon^{-1} \) es un entero ciclotómico, luego también \( \alpha\mid \beta \).

[cerrar]

Ahora podemos afirmar, con el vocabulario que acabamos de introducir, que cada número natural no nulo ni unitario \( n \) tiene al menos como divisores a la única unidad (1) y a su único asociado (\( n \)), igualmente, cada número entero no nulo ni unitario tiene al menos como divisores a las dos unidades (\( \pm 1 \)) y a sus dos asociados (\( \pm n \)) y, análogamente, cada entero ciclotómico no nulo ni unitario tiene al menos doce divisores: las seis unidades y sus seis asociados.

Notemos que decimos "cada entero ciclotómico que no sea ni 0 ni una unidad" porque, aunque es cierto que una unidad tiene por divisores a las seis unidades y a sus seis asociados, no es cierto que sean doce divisores porque los asociados de las unidades son las unidades, luego en este caso estamos contando dos veces los mismos seis números.

Finalmente:

Definición: Un entero ciclotómico es primo si no es 0 ni una unidad, y sus únicos divisores son las unidades y sus asociados.

Así, por ejemplo, sabemos que \( 2 \) tiene los doce divisores que hemos enumerado más arriba. Aunque parezcan muchos, ahora sabemos que son los indispensables, luego afirmar que \( 2 \) es un primo ciclotómico equivale a que no haya ninguno más que esos 12. Enseguida veremos que así es.

Conviene observar un hecho elemental:

Teorema Supongamos que un entero ciclotómico no nulo factoriza como \( \alpha=\epsilon\beta \). Entonces \( \epsilon \) es una unidad si y sólo si \( \beta \) es un asociado de \( \alpha \).

Demostración

Si \( \epsilon \) es una unidad entonces \( \beta \) es asociado de \( \alpha \) porque esta es una de las caracterizaciones que hemos dado del concepto de asociado. Recíprocamente, si \( \beta \) es asociado de \( \alpha \), sabemos que \( \alpha=\delta\beta \), donde \( \delta \) es una unidad, luego \( \epsilon\beta=\delta\beta \), luego \( \epsilon=\delta \) es una unidad.

[cerrar]

En otras palabras: llamaremos factorizaciones triviales de un entero ciclotómico \( \alpha \) a las de la forma \( \alpha= \) unidad \( \times \) asociado (o asociado \( \times \) unidad). Lo que estamos diciendo es que siempre que tengamos una factorización \( \alpha = \epsilon\beta \) y uno de los dos factores sea trivial (por ser una unidad o un asociado de \( \alpha \)) entonces el otro también es trivial del tipo opuesto (unidad si el otro era asociado y viceversa).

En los enteros, las factorizaciones triviales de \( 6 \) son \( 6=1\cdot 6 = (-1)(-6) \), mientras que \( 6=2\cdot 3 \) es una factorización no trivial. Lo que hemos visto es que en los enteros ciclotómicos las factorizaciones triviales son un poco más sofisticadas, porque hay seis unidades en lugar de las meras \( \pm 1 \).

Pregunta para pillar a incautos: ¿Es trivial esta factorización?

\( -1+\omega=(1+\omega)(1+2\omega) \)

Solución

Sí que es trivial, porque \( N(1+\omega)=1 \), luego \( 1+\omega \) es una unidad (de hecho, es \( -\omega^2 \)), luego \( 1+2\omega \) es uno de los seis asociados de \( -1+\omega \). 

En la práctica, la mejor forma de comprobar si una factorización es trivial es calcular las normas de los factores. Si alguna es 1, es que es trivial.

[cerrar]

En estos términos podemos dar una caracterización útil de los primos:

Un entero ciclotómico \( \pi \) es primo si y sólo si no es 0 ni una unidad, y siempre que se descompone en un producto \( \pi=\alpha\beta \), la factorización es trivial.

En efecto, los números que aparecen en las factorizaciones \( \pi=\alpha\beta \) son simplemente los divisores de \( \pi \), luego \( \pi \) es primo (siendo no nulo ni unitario) si y sólo si en dichas factorizaciones sólo aparecen unidades y asociados, es decir, si son triviales.

Ejemplos:

\( \pi=-1+\omega \) es un primo ciclotómico.

En efecto, se cumple que \( N(\pi)=3 \), luego no es una unidad, y si tenemos una factorización \( \pi=\alpha\beta \), se cumple que \( 3=N(\pi)=N(\alpha)N(\beta) \). Y como los factores son números naturales y \( 3 \) es primo, la factoriación tiene que ser \( 1\cdot 3 \) o bien \( 3\cdot 1 \), luego uno de los dos factores \( \alpha \) o \( \beta \) es una unidad, luego la factorización es trivial.

\( 2 \) es un primo ciclotómico.

En efecto, si \( 2=\alpha\beta \), entonces \( 4=N(2)=N(\alpha)N(\beta) \), pero hemos visto que no hay enteros ciclotómicos de norma 2, luego los factores tienen que ser \( 1\cdot 4 \) o bien \( 4\cdot 1 \), luego uno de los factores \( \alpha \) o \( \beta \) es una unidad, luego la factorización es trivial.

\( 3 \) no es un primo ciclotómico.

En efecto, hemos visto que \( N(\pi)=3 \), luego, por definición de norma, \( 3=\pi\bar\pi = (-1+\omega)(-1+\omega^2) \), y los dos factores tienen norma 3, luego ninguno de ellos es una unidad. Se trata de una factorización no trivial que prueba que \( 3 \) no es primo.


No sé si esta entrega puede parecer más densa que las anteriores. Mi propósito ha sido explicar los conceptos de unidad, asociado y primo y mostrar que son la generalización natural de los conceptos correspondientes que todos conocemos para los números enteros. Lo que más "distorsiona" el parecido es que las factorizaciones triviales en los enteros son tan tontas como \( 5=1\cdot 5=(-1)(-5) \), mientras que en los enteros ciclotómicos tenemos seis posibilidades para el factor trivial unitario y otras seis para el factor trivial asociado (lo cual no da 36 posibilidades, sino sólo 6, porque una factorización trivial siempre es de la forma \( \alpha = \epsilon(\epsilon^{-1}\alpha) \), es decir, cada una de las seis unidades sólo puede emparejarse con uno de los seis asociados).

Planteo algunos ejercicios para que los lectores comprueben si han asimilado bien los conceptos. Si alguien tiene dificultades en hacerlos no debería dejarlos pasar o esperar a ver las respuestas de otros, sino plantear las dificultades que ha encontrado, no por el interés de los ejercicios en sí, sino para sacar a la luz posibles confusiones que convenga aclarar.

No creo que las entregas siguientes vayan a ser más complicadas que ésta, sino que en ésta, la presencia de las seis unidades ciclotómicas puede crear una cierta confusión que, una vez superada, una vez entendida la analogía entre los conceptos de "unidad" y "asociado" en los números ciclotómicos con respecto a los conceptos análogos (y triviales) en los enteros, permita ver las entregas siguientes con total naturalidad.

Ejercicios:

Calcular los seis asociados de \( \rho= 3+\omega \).

¿Son \( \rho \) y \( \bar \rho \) asociados?

¿Son \( \pi=-1+\omega \) y \( \bar \pi \) asociados?

Encontrar las seis factorizaciones triviales de \( \rho \) (con los factores en forma canónica).

¿Es \( \rho \) un primo ciclotómico?

¿Es \( 7 \) un primo ciclotómico?

¿Es 5 un primo ciclotómico? (Para responder a esto conviene mirar la figura de la respuesta #4, o bien las cuentas de pabloN en el hilo de comentarios, o la conjetura de robinlambada.)

Probar que \( \alpha=1+5\omega \) no es primo. (Pista, usar la norma para conjeturar cuáles podrían ser sus factores primos.)

[Carlos Ivorra]

En esta entrega vamos a demostrar que todo entero ciclotómico que no sea 0 ni una unidad se descompone de forma única (en un sentido que tenemos que puntualizar) como producto de factores primos. Con esto estaremos ya en condiciones de demostrar el UTF para exponente 3, aunque dedicaré una entrega más a repasar el concepto de congruencia.

Empezamos con el resultado siguiente:

Teorema Todo entero ciclotómico que no sea 0 ni una unidad es divisible entre un primo ciclotómico.

Demostración

Sea \( \alpha \) un entero ciclotómico que no sea cero ni una unidad. Entonces \( N(\alpha)>1 \). De entre todos los divisores de \( \alpha \) de norma \( >1 \) tomemos uno \( \pi \) que tenga la menor norma posible. Notemos que siempre existe un divisor en estas condiciones, pues como mínimo está el propio \( \alpha \). Basta probar que \( \pi \) es primo.

En efecto, si \( \pi=\gamma\delta \) es una factorización no trivial de \( \pi \) en enteros ciclotómicos, entonces \( N(\gamma)>1 \), pues si la norma fuera 1 entonces \( \gamma \) sería una unidad y la factorización sería trivia,l y \( 1<N(\gamma)\leq N(\gamma)N(\delta)=N(\pi) \) y \( \gamma\mid \pi\mid \alpha \). Así pues, \( \gamma \) es un divisor de \( \alpha \) de norma \( >1 \). Por la minimalidad de \( \pi \) tiene que ser \( N(\gamma)=N(\pi) \), pero entonces \( N(\delta)=1 \) y la factorización es trivial, contradicción.

[cerrar]

Teorema Todo entero ciclotómico que no sea 0 ni una unidad se descompone como producto de primos.

Demostración

Sea \( \alpha \) un entero ciclotómico que no sea 0 ni una unidad. Entonces tiene un divisor primo \( \pi_1 \), de modo que \( \alpha = \pi_1\alpha_1 \), donde \( \alpha_1\neq 0 \). Si \( \alpha_1 \) no es una unidad, tiene un divisor primo \( \pi_2 \), de modo que \( \alpha_1=\pi_2\alpha_2 \), y por lo tanto \( \alpha = \pi_1\pi_2\alpha_2 \).

Podemos continuar este proceso mientras los \( \alpha_i \) no sean unidades, pero no puede continuar indefinidamente, pues \( N(\alpha_1)=N(\alpha)/N(\pi_1)<N(\alpha) \), \( N(\alpha_2)=N(\alpha_1)/N(\pi_2)<N(\alpha_1) \), luego las normas de los enteros \( \alpha_i \) forman una sucesión decreciente de números naturales. Así pues, tras un número finito de pasos tenemos que llegar a un \( \alpha_n \) de norma 1, es decir, que sea una unidad, y así \( \alpha = \pi_1\cdots \pi_{n-1}(\pi_n\alpha_n) \), que es una descomposición en primos.

[cerrar]

Lo más delicado es demostrar que la descomposición en factores primos es única. Para ello necesitamos la caracterización siguiente de los primos ciclotómicos. La versión correspondiente a enteros usuales aparece demostrada en los Elementos de Euclides:

Teorema Sea \( \pi \) un entero ciclotómico que no sea 0 ni una unidad. Entonces \( \pi \) es primo si y sólo si cuando \( \alpha \) y \( \beta \) son enteros ciclotómicos y \( \pi\mid\alpha\beta \), entonces \( \pi\mid\alpha \) o \( \pi\mid \beta \).

Notemos que esto sería trivial si supiéramos ya que existe factorización única, pues al juntar una descomposición en primos de \( \alpha \) con una de \( \beta \) obtenemos una de \( \alpha\beta \), de donde se sigue que los factores primos de \( \alpha\beta \) son los de \( \alpha \) y los de \( \beta \). La gracia está en probarlo (como Euclides) sin usar la factorización única precisamente para demostrarla.

Demostración

Si \( \pi \) cumple la propiedad del enunciado es claramente primo, pues si \( \pi=\alpha\beta \) es una factorización de \( \pi \), entonces \( \pi\mid\pi = \alpha\beta \) y por hipótesis \( \pi \) divide a uno de los factores, por ejemplo, \( \pi\mid\alpha \). Pero entonces \( \pi\mid \alpha \) y \( \alpha\mid \pi \), luego \( \alpha \) es asociado a \( \pi \) y la factorización es trivial.

La implicación interesante es la contraria. Supongamos que \( \pi \) es primo y que \( \pi\mid\alpha\beta \). Consideremos todos los enteros ciclotómicos no nulos de la forma \( \delta\pi+\epsilon\alpha \), donde \( \delta \) y \( \epsilon \) son enteros ciclotómicos cualesquiera. De entre todos ellos, tomemos uno \( \eta = \delta\pi+\epsilon\alpha \) de norma mínima. En otras palabras, cualquier otro entero ciclotómico de esta forma con norma menor, tendrá que ser necesariamente 0.

Ahora realizamos la división euclídea \( \pi=\eta\kappa+\rho \), donde \( N(\rho)<N(\eta) \).

Pero entonces \( \rho =\pi-\eta\kappa = \pi-\delta\pi\kappa-\epsilon\alpha\kappa=(1-\delta\kappa)\pi-\epsilon\kappa\alpha \). Por la minimalidad de \( \eta \), tiene que ser \( \rho=0 \). Así pues, \( \pi=\eta\kappa \), luego \( \eta\mid \pi \).

Exactamente igual se prueba que \( \eta\mid\alpha \).  Ahora bien, si \( \eta\mid\pi \), como \( \pi \) es primo, o bien \( \eta \) es una unidad o bien es asociado de \( \pi \).

Si \( \eta \) es asociado de \( \pi \) entonces \( \pi\mid\eta\mid \alpha \), luego \( \pi\mid\alpha \).

Si \( \eta \) es una unidad, entonces \( \eta\beta=\delta\pi\beta+\epsilon\alpha\beta \) y \( \pi \) divide a los dos sumandos, luego \( \pi\mid \eta\beta \), luego \( \pi\mid \beta \) (porque \( \beta \) y \( \eta\beta \) son asociados).

[cerrar]

Ahora ya podemos demostrar que las factorizaciones en primos son únicas, siempre y cuando entendamos adecuadamente lo de "únicas". Pensemos en el caso de los enteros ordinarios:

\( 12=2\cdot 2\cdot 3 = (-2)\cdot 2\cdot (-3)=(-2)\cdot (-2)\cdot 3 \)

son varias factorizaciones del 12 en producto de primos, pero no consideramos que sean factorizaciones "distintas" (aunque lo son). Por el contrario, decimos que son "la misma" factorización porque todas ellas constan de dos primos asociados a 2 y un primo asociado a 3. Cuál en concreto es irrelevante.

Lo mismo pasa con los enteros ciclotómicos. Si partimos de una descomposición en factores primos, como

\( 7= (3+\omega)(2-\omega) \)

podemos convertirla en "otra" sin más que multiplicar el primer factor por \( \omega \) y el segundo por \( \omega^2 \) (de modo que en total hemos multiplicado por \( \omega^3=1 \)). El resultado es

\( 7=(3\omega+\omega^2)(2\omega^2-1)=(-1+2\omega)(-3-2\omega) \)

Si alguien ve las descomposiciones en factores primos

\( 7= (3+\omega)(2-\omega)=(-1+2\omega)(-3-2\omega) \)

y las juzga superficialmente, podría concluir que en los enteros ciclotómicos no existe factorización única, porque aquí tenemos dos factorizaciones "muy distintas" del 7. Pero no es así, no son "muy distintas", porque el primer factor de la primera es asociado al primer factor de la segunda, e igualmente con los segundos factores. La única diferencia con el caso de los enteros usuales es que en éstos se ve "a simple vista" que \( 2 \) y \( -2 \) son asociados, pero eso no es relevante.

Teorema Si un mismo entero ciclotómico \( \alpha \) se descompone en primos de dos formas:

\( \alpha = \pi_1\cdots \pi_n=\rho_1\cdots \rho_m \),

entonces \( n=m \) y, ordenando adecuadamente los factores, cada \( \pi_i \) es asociado de \( \rho_i \).

Demostración

Podemos suponer que \( n\leq m \). Como \( \pi_1\mid \rho_1\cdots \rho_m \), por el teorema anterior \( \pi_1 \) tiene que dividir a uno de los factores. Reordenándolos podemos suponer que \( \pi_1\mid \rho_1 \). Pero como \( \rho_1 \) es primo y \( \pi_1 \) tiene que ser un divisor trivial. Como no puede ser una unidad (porque es primo) tiene que ser asociado de \( \rho_1 \). Pongamos que \( \rho_1=\pi_1\epsilon_1 \), para cierta unidad \( \epsilon_1 \). Entonces

\( \pi_1\cdots \pi_n=\epsilon_1\pi_1\rho_2\cdots \rho_m \)

y simplificando:

\( \pi_2\cdots \pi_n=\epsilon_1\rho_2\cdots \rho_m \)

Ahora \( \pi_2 \) tiene que dividir a uno de los factores del miembro derecho, y no puede ser a \( \epsilon \), pues si dividiera a una unidad sería una unidad. Reordenando los factores podemos suponer que \( \pi_2\mid\rho_2 \), y como antes esto implica que \( \pi_2 \) es asociado de \( \rho_2 \), digamos que \( \rho_2=\epsilon_2\pi_2 \), para cierta unidad \( \epsilon_2 \). Simplificando,

\( \pi_3\cdots \pi_n=\epsilon_1\epsilon_2\rho_3\cdots \rho_m \)

Repitiendo el razonamiento \( n \) veces llegamos a que

\( 1=\epsilon_1\cdots \epsilon_n\rho_{n+1}\cdots \rho_m \)

Pero entonces los primos "sobrantes" dividen a 1, lo cual es imposible. Por consiguiente no hay primos sobrantes, es decir, \( n=m \), y hemos probado que cada \( \pi_i \) es asociado a \( \rho_i \).

[cerrar]

Si \( \pi \) es un primo ciclotómico y \( \alpha \) es un entero ciclotómico, llamaremos \( v_\pi(\alpha) \) al número de primos asociados a \( \pi \) que aparecen en la factorización en primos de \( \alpha \). El teorema anterior implica que es independiente de la factorización elegida. Además,

\( v_\pi(\alpha\beta)=v_\pi(\alpha)+v_\pi(\beta) \)

Esta ecuación sólo expresa que si descomponemos \( \alpha \) y \( \beta \) en primos, entonces al unir las factorizaciones obtenemos una descomposición en primos de \( \alpha\beta \) y los primos asociados a \( \pi \) que aparecerán en ella serán los que aparecían en la factorización de \( \alpha \) y los que aparecían en la factorización de \( \beta \).

El análogo para enteros usuales es que, por ejemplo, \( v_2(-40)=3 \), pues

\( -40=(-2)\cdot 2\cdot 2\cdot 5 = (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot 5 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot (-5) \),

y en cualquier descomposición en primos de \( -40 \) aparecen tres primos asociados a \( 2 \) (que no tienen por qué ser siempre los mismos tres, pero siempre son tres).


Lo anterior es lo único que necesitamos para demostrar el UTF para exponente 3. Ahora vamos a obtener algunos resultados adicionales sobre primos ciclotómicos simplemente por hacernos una idea de "cómo funcionan", pero nada de esto va a hacer falta luego.

Todo primo ciclotómico divide a un único primo entero.

En efecto, si \( \pi \) es un primo ciclotómico, entonces \( \pi\mid \pi\bar\pi =N(\pi) \). Descomponemos la norma en factores primos: \( \pi\mid p_1\cdots p_n \), y por la caracterización que hemos dado de los primos, resulta que \( \pi \) divide a uno de los factores, es decir, a un primo entero.

Para ver que es único observamos que si \( \pi\mid p \), entonces \( N(\pi)\mid N(p)=p^2 \). Por lo tanto, \( N(\pi)=p \) o bien \( N(\pi)=p^2 \).

En resumen: la norma de un primo ciclotómico tiene que ser un primo entero o un primo entero al cuadrado, y dicho primo entero es el único al que divide.

Vamos a analizar con más detalle las dos posibilidades:

Si \( N(\pi)=p^2 \), entonces \( p \) es un primo ciclotómico asociado a \( \pi \).

En efecto, como sabemos que \( \pi\mid p \), de hecho \( p=\pi\epsilon \), y tomando normas, \( p^2=N(p)=p^2N(\epsilon) \), luego \( N(\epsilon)=1 \), luego \( \epsilon \) es una unidad, luego \( \pi \) es asociado a \( p \) que es, por tanto, primo ciclotómico.

Si \( N(\pi)=p \) entonces \( p=\pi\bar\pi \) no es primo ciclotómico, sino que se descompone en producto de dos primos ciclotómicos.

Con esto hemos probado que si vamos calculando las descomposiciones en primos de los primos enteros obtenemos (salvo asociados) todos los primos ciclotómicos: o bien un primo entero ya es primo ciclotómico, o factoriza en dos primos ciclotómicos (asociados o no) y así van saliendo todos los primos ciclotómicos.

[Carlos Ivorra]

Ya tenemos prácticamente todo lo necesario para demostrar el UTF para exponente 3. Sólo necesitamos recordar el concepto de congruencia. Lo introduzco para enteros ciclotómicos, pero la definición es idéntica a la correspondiente a enteros usuales:

Definición Dos enteros ciclotómicos \( \alpha \) y \( \beta \) son congruentes módulo un tercero \( \mu \), y se expresa \( \alpha\equiv \beta(mod\  \mu) \), si \( \mu\mid (\alpha-\beta) \).

En particular, \( \alpha\equiv 0 (mod \mu) \) es equivalente a \( \mu\mid \alpha \).

La congruencia es una relación de equivalencia:

\( \alpha \equiv \alpha (mod\ \mu) \)

Si \( \alpha\equiv \beta (mod\ \mu) \) entonces \( \beta\equiv \alpha (mod\ \mu) \)

Si \( \alpha\equiv \beta (mod\ \mu) \) y \( \beta\equiv \gamma (mod\ \mu) \) entonces \( \alpha\equiv \gamma (mod\ \mu) \)

Y lo más importante es que las congruencias son compatibles con la suma y el producto:

Si \( \alpha\equiv \alpha' (mod\ \mu) \) y \( \beta\equiv \beta' (mod\ \mu) \), entonces \( \alpha+\beta\equiv \alpha'+\beta' (mod\ \mu) \) y \( \alpha\beta\equiv \alpha'\beta' (mod\ \mu) \)

Demostración

Tenemos que \( \alpha-\alpha'=\delta\mu \),      \( \beta-\beta'=\epsilon\mu \). Entonces

\( \alpha+\beta-(\alpha'+\beta')=(\delta+\epsilon)\mu \), luego \( \alpha+\beta\equiv \alpha'+\beta' (mod\ \mu) \).

Por otra parte,

\( \alpha\beta-\alpha'\beta'=\alpha\beta-\alpha'\beta+\alpha'\beta-\alpha'\beta' \) \( = (\alpha-\alpha')\beta+\alpha'(\beta-\beta')=\delta\mu\beta+\alpha'\epsilon\mu=\mu(\delta\beta+\alpha'\epsilon) \), luego \( \alpha\beta\equiv \alpha'\beta' (mod\ \mu) \).

[cerrar]

No necesitamos nada más.

Pasamos ya a probar algunos resultados técnicos específicos para la prueba que perseguimos.

En todo lo que sigue llamaremos \( \pi = \omega-1 \), de modo que la factorización del 3 en primos ciclotómicos es \( 3=-\omega^2\pi^2 \). Notemos que, trivialmente, \( \omega\equiv 1 (mod\ \pi) \).

Es muy fácil reconocer los enteros ciclotómicos divisibles entre \( \pi \):

Lema 1 Si \( \alpha = a+b\omega \) es un entero ciclotómico, entonces \( \pi\mid \alpha \) si y sólo si \( 3\mid a+b \).

Demostración

Como \( \omega\equiv 1( mod \pi) \), también \( b\omega\equiv b (mod \pi) \), luego \( \alpha=a+b\omega\equiv a+b (mod\ \pi) \).

Por lo tanto, si \( \pi\mid \alpha \), tenemos que \( \alpha\equiv 0 (mod \pi) \), luego \( a+b\equiv 0\mod \pi \), luego \( \pi\mid a+b \), digamos \( a+b=\delta\pi \), luego \( N(a+b)=N(\delta)3 \), luego \( 3\mid N(a+b)=(a+b)^2 \), luego \( 3\mid a+b \).

Recíprocamente, si \( 3\mid a+b \), entonces \( \pi\mid a+b \), luego \( a+b\equiv 0 (mod \pi) \), luego \( \alpha\equiv 0 (mod \pi) \), luego \( \pi\mid \alpha \).

[cerrar]

Lema 2 Si \( \pi\nmid \alpha \), entonces existe una unidad \( \epsilon \) tal que \( \alpha\equiv\epsilon (mod 3) \).

Demostración

Sea \( \alpha = a+b\omega \). Todo entero es de la forma \( a=3k \), \( a=3k+1 \) o \( a=3k-1 \). Combinando estas tres posibilidades para \( a \) y \( b \) hay nueve casos posibles, pero el lema anterior nos da que \( 3\nmid a+b \), y así de las nueve opciones sólo son posibles seis, que resumimos en los tres casos siguientes, con \( e=\pm 1 \):

\( (a, b)=(3h+e, 3k),\quad (3h,3k+e),\quad (3h+e,3k+e) \)

Estamos descartando \( (a, b)=(3h, 3k),\quad (3h+1, 3k-1),\quad (3h-1, 3k+1) \), pues en todos ellos \( a+b \) sería múltiplo de 3.

De los tres casos que nos han quedado, en el primero

\( \alpha = 3h+e+3\omega \equiv e (mod\ 3) \).

En el segundo:

\( \alpha = 3h+(3k+e)\omega=3h+3k\omega+e\omega\equiv e\omega (mod\ 3) \)

En el tercero:

\( \alpha = 3h+e+3k\omega+e\omega\equiv e+e\omega( mod\ 3) \)

o, lo que es lo mismo \( \alpha \equiv -e\omega^2 (mod\ 3) \).

En los tres casos \( \alpha\equiv \epsilon (mod\ 3) \), para cierta unidad \( \epsilon \).

[cerrar]

Lema 3 Si \( \pi\nmid \alpha \), entonces \( \alpha^3\equiv\pm 1 (mod 9) \).

Demostración

Por el lema anterior \( \alpha = 3\beta+\epsilon \), donde \( \epsilon \) es una de las seis unidades ciclotómicas. Por lo tanto,

\( \alpha^3=(3\beta+\epsilon)^3 = 27\beta^3+27\beta^2\epsilon+9\beta\epsilon^2+\epsilon^3 \) \( \equiv \epsilon^3 (mod\ 9) \),

y las seis unidades ciclotómicas cumplen \( \epsilon^3=\pm 1 \).

[cerrar]

Lema 4 Si dos unidades cumplen \( \epsilon_1\equiv \epsilon_2 ( mod\ 3) \), entonces \( \epsilon_1=\epsilon_2 \).

La prueba de este último lema la dejo como ejercicio con indicaciones:

Indicaciones

Si  \( 3\mid \epsilon_1-\epsilon_2 \) entonces, tomando normas,  \( 9\mid N(\epsilon_1-\epsilon_2) \). Sólo hay que comprobar para todos los pares de unidades distintas que esto no sucede nunca. Por lo que la única opción es que sean la misma unidad.

En principio hay 36 casos a considerar, si quitamos los 6 correspondientes a pares de la misma unidad quedan 30, por simetría sólo 15, y si se agrupan bien los casos se pueden reducir a 9. Quedo a la espera de vuestras habilidades ciclotómicas.

[cerrar]

En la próxima entrega empezaremos ya la demostración del UTF para exponente 3.

[Carlos Ivorra]

Pasamos ya a probar el UTF para exponente 3.

Empezamos aplicando una de las ideas que hemos comentado: en lugar de demostrar que la ecuación \( x^3+y^3+z^3=0 \) no tiene soluciones enteras no triviales (es decir, con todas las variables no nulas), demostraremos que no tiene soluciones enteras ciclotómicas no triviales. Según hemos explicado, demostrar este caso más general será más fácil que demostrar el caso particular.

La demostración es por reducción al absurdo. Suponemos que existen enteros ciclotómicos no nulos \( \alpha, \beta, \gamma \) tales que

\( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \)

y vamos a llegar a una contradicción.

Sea \( \delta \) el máximo común divisor de \( \alpha \), \( \beta \) y \( \gamma \), de modo que

\( \alpha = \delta\alpha',\quad \beta =\delta\beta',\quad \gamma =\delta\gamma' \),

donde ahora \( \alpha', \beta', \gamma' \) no tienen ningún divisor primo en común (si tuvieran un divisor primo en común \( \rho \), entonces \( \delta\rho \) dividiría a los tres números iniciales, con lo que \( \delta \) no sería el máximo común divisor).

Entonces \( \delta^3\alpha'^3+\delta^3\beta'^3+\delta^3\gamma'^3=0 \), luego

\( \alpha'^3+\beta'^3+\gamma'^3=0. \)

Con esto hemos probado:

Si la ecuación de Fermat (con exponente 3) tiene una solución no trivial, entonces tiene una en la que los tres números carecen de divisores primos comunes.

Así pues, no perdemos generalidad si partimos de una solución no trivial

\( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \)

con esta condición adicional de ausencia de divisores primos comunes. Más aún, esto implica que los tres números son primos entre sí dos a dos. En efecto, si, por ejemplo, \( \alpha \) y \( \beta \) no son primos entre sí, es que tienen un divisor primo, digamos \( \rho \), pero entonces \( \rho\mid \alpha^3 \) y \( \rho\mid \beta^3 \), luego, por la ecuación, \( \rho\mid -\gamma^3 \) y, como si un primo divide a un producto divide a un factor, \( \rho\mid \gamma \), y así \( \rho \) es un divisor común de los tres números, cosa que estamos suponiendo que no existe.

Así pues:

Si la ecuación de Fermat (con exponente 3) tiene una solución no trivial, entonces tiene una en la que los tres números son primos entre sí dos a dos.

A una solución \( (\alpha, \beta, \gamma) \) con los tres números no nulos y primos entre sí dos a dos la llamaremos solución primitiva. Bajo el supuesto de que existe una solución no trivial de la ecuación, hemos probado que existe una primitiva.

Ahora nos fijamos en el primo ciclotómico \( \pi=\omega-1 \):

Si \( \color{blue} (\alpha,\beta, \gamma) \) es una solución primitiva de la ecuación de Fermat, entonces \( \color{blue} \pi \) divide a una de sus componentes (y sólo a una, porque son primas entre sí dos a dos).

Por reducción al absurdo, suponemos  que \( \pi\nmid \alpha \), \( \pi\nmid \beta \), \( \pi\nmid \gamma \). Por el Lema 3 del mensaje anterior,

\( \alpha^3\equiv e_1(mod\ 9),\quad \beta^3\equiv e_2(mod\ 9),\quad \gamma^3\equiv e_3(mod\ 9), \)

donde cada \( e_i=\pm 1 \). Pero entonces, sumando las tres congruencias, queda que

\( 0\equiv e_1+e_2+e_3(mod\ 9) \),

pero esto es imposible: no se puede conseguir un múltiplo de 9 (ni siquiera el 0) sumando tres números \( \pm 1 \).

Por simetría, no perdemos generalidad si suponemos que \( \pi\mid\alpha \).

Nuestra estrategia para probar el UTF para exponente 3 será un descenso infinito. Concretamente, vamos a probar lo siguiente:

Si existe una solución primitiva \( \color{blue} (\alpha, \beta, \gamma) \) con \( \color{blue} \pi\mid\alpha \), existe otra \( \color{blue} (\alpha',\beta',\gamma') \), también con \( \color{blue} \pi\mid \alpha' \), tal que \( \color{blue} v_\pi(\alpha')<v_\pi(\alpha) \).     (*)

Es decir, vamos a encontrar otra solución primitiva en la que la componente divisible entre \( \pi \) es divisible entre \( \pi \) menos veces. Esto es un absurdo, porque repitiendo el proceso podríamos obtener una sucesión de soluciones primitivas

\( (\alpha_0, \beta_0,\gamma_0), \quad (\alpha_1, \beta_1,\gamma_1),\quad (\alpha_2, \beta_2,\gamma_2),\ldots \)

tal que \( v_\pi(\alpha_0)>v_\pi(\alpha_1)>v_\pi(\alpha_2)>\cdots \)

y así tendríamos una sucesión estrictamente decreciente de números naturales.

Con esto termina el planteamiento de la demostración: si demostramos (*), el UTF para exponente 3 estará demostrado, no sólo para números enteros, sino de hecho para enteros ciclotómicos.

Empezamos probando que no sólo \( \pi\mid \alpha \), sino que incluso \( \color{blue} \pi^2\mid\alpha \).

En efecto, en principio sabemos que \( \pi\mid \alpha \), por lo que \( \pi^3\mid\alpha^3 \), y por la ecuación de Fermat \( \pi^3\mid \beta^3+\gamma^3 \). Equivalentemente, \( \beta^3+\gamma^3\equiv 0( mod\ \pi^3) \).

Por otra parte \( \pi\nmid\beta \) y \( \pi\nmid \gamma \), luego el Lema 3 del mensaje anterior nos da que

\( \beta^3\equiv e (mod\ 9),\qquad \gamma^3\equiv f (mod\ 9) \),

donde \( e, f=\pm 1 \).

Sabemos que \( \pi^2\mid 3 \), luego \( \pi^4\mid 9 \). En particular \( \pi^3\mid 9 \), luego las dos congruencias anteriores son válidas también módulo \( \pi^3 \) (por la propia definición: si \( 9 \) divide a la diferencia de los dos miembros, \( \pi^3 \) también lo hace). Sumando las congruencias:

\( 0\equiv \beta^3+\gamma^3\equiv e+f (mod\ 9) \).

Pero \( 9 \) sólo puede dividir a \( e+f \) si \( e+f=0 \) (las otras alternativas para la suma son \( \pm 2 \)). Así pues:

\( -\alpha^3=\beta^3+\gamma^3\equiv e+f=0 (mod\ 9). \)

Por lo tanto, \( 9\mid \alpha^3 \), luego \( \pi^4\mid\alpha^3 \), y esto implica que \( \pi^2\mid\alpha \), pues si \( \pi \) dividiera a \( \alpha \) sólo una vez, entonces \( \alpha^3 \) sólo sería divisible entre \( \pi \) tres veces en vez de cuatro.

Ahora echamos otro ingrediente a la sartén:

\( \color{blue} -\alpha^3=\beta^3+\gamma^3=(\beta+\gamma)(\beta\omega+\gamma\omega^2)(\beta\omega^2+\gamma\omega) \).

Se trata de la factorización (1) que discutimos en el segundo mensaje. Definimos

\( \color{blue} \eta_1=\beta+\gamma,\quad \eta_2=\beta\omega+\gamma\omega^2,\quad \eta_3=\beta\omega^2+\gamma\omega \).

De este modo:

\( \color{blue} -\alpha^3=\eta_1\eta_2\eta_3 \)   y   \( \color{blue} \eta_1+\eta_2+\eta_3=0 \)

En efecto, al introducir la factorización observamos que la suma de los factores era nula. Vamos a ver que la ecuación de la derecha es el "germen" de la nueva solución primitiva que vamos a obtener y que probará el descenso infinito.

Como \( \omega\equiv 1 (mod\ \pi) \) (y por lo tanto \( \omega^2\equiv 1 (mod\ \pi) \)), observamos que

\( \eta_2=\beta\omega+\gamma\omega^2\equiv \beta+\gamma =\eta_1(mod \pi) \),

e igualmente sucede con \( \eta_3 \), es decir:

\( \eta_1\equiv \eta_2\equiv \eta_3 (mod\ \pi) \).

Esto implica que si \( \pi \) divide a un \( \eta_i \), éste es congruente con 0 módulo \( \pi \), luego los demás también, luego todos son múltiplos de \( \pi \). Ahora bien, esto sucede, porque \( \pi\mid -\alpha^3=\eta_1\eta_2\eta_3 \), y si un primo divide a un producto divide a un factor. En conclusión:

\( \color{blue} \eta_1=\pi\eta'_1,\quad \eta_2=\pi\eta'_2,\quad \eta_3=\pi\eta'_3, \)

para ciertos enteros ciclotómicos \( \eta'_i \).

Así, llamando \( \color{blue} \eta=-\alpha/\pi \), ahora tenemos:

\( \pi^3\eta^3=\pi^3\eta'_1\eta'_2\eta'_3,\qquad \pi\eta'_1+\pi\eta'_2+\pi\eta'_3=0 \)

luego

\( \color{blue} \eta^3=\eta'_1\eta'_2\eta'_3,\qquad \eta'_1+\eta'_2+\eta'_3=0 \)

Este factor \( \pi \) que hemos eliminado es el que nos dará que la nueva solución que vamos a encontrar satisfará la desigualdad del descenso infinito. Observemos que todavía \( \pi\mid \eta \), porque habíamos visto que \( \pi \) divide al menos dos veces a \( \alpha \), y al pasar a \( \eta \) sólo le hemos quitado un factor \( \pi \).

Ahora necesitamos probar que \( \eta'_1, \eta'_2, \eta'_3 \) son primos entre sí dos a dos (y luego probaremos que son cubos, con lo que la ecuación de la derecha se convertirá en una solución primitiva de la ecuación de Fermat).

Supongamos que \( \eta'_1 \) y \( \eta'_2 \) no son primos entre sí, con lo que ambos son divisibles entre un mismo primo \( \rho \). Entonces \( \pi\rho\mid \eta_1 \), \( \pi\rho\mid\eta_2 \).

Ahora, mirando las definiciones de los \( \eta_i \), formamos combinaciones lineales para eliminar uno de los dos términos:

\( \pi\rho\mid \eta_2-\omega^2\eta_1=\beta(\omega-\omega^2)=-\omega\beta\pi \),  \( \pi\rho\mid \eta_2-\omega\eta_1=\gamma(\omega^2-\omega)=\omega\gamma\pi \),

luego \( \rho\mid \gamma \) y \( \rho\mid \beta \), cuando \( \beta \) y \( \gamma \) son primos entre sí.

Ejercicio 1 Comprobar que también  \( \eta'_1 \) y \( \eta'_3 \), así como  \( \eta'_2 \) y \( \eta'_3 \), son primos entre sí.

Ejercicio 2 Probar que si \( n_1, n_2, n_3 \) son enteros primos entre sí dos a dos y \( n_1 n_2 n_3=m^3 \) , para cierto entero \( m \), entonces cada \( n_i \) es un cubo.

La cuestión siguiente está relacionada con el próximo paso de la demostración:

Cuestión ¿Es cierto también el ejercicio 2 si en lugar de enteros consideramos enteros ciclotómicos? Equivalentemente, ¿podemos asegurar que  \( \eta'_1 \),  \( \eta'_2 \) y  \( \eta'_3 \) son cubos?