[minkowski]

Editado
Problema del mes- Febrero de 2005

Sea \( f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \) una función derivable tal que \( f\left(\displaystyle\frac x2\right)=\displaystyle\frac{1}{2}f(x)\;\forall x\in \mathbb R \).
Probar que \( f(x)=f^\prime(0)\,\cdot x \quad\forall x\in \mathbb R \)

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Primero de todo hola a todo el mundo,

Espero que la demostración sea del agrado y comprensión de todos.
Os agradeceré cualquier comentario al respecto,
gracias.

[narun]

Saludos Minkowski.
Tengo una duda respecto de la prueba. ¿Por qué debo suponer que f(x) es un polinomio?. El enunciado sólo dice "función derivable", e imponer que sea un polinomio es una restricción muchísimo más fuerte ¿no?.

Un abrazo
Narun

[minkowski]

Saludos Narun,
tienes razón respecto a la restricción que yo mismo impongo. No me había dado cuenta del enunciado así que gracias por hacerme caer en eso. Os adjunto una revisión a la demostración que creo que servirá para toda función derivable.

Una vez más agradeceré toda crítica respecto a la demostración.
Saludos

[narun]

Lo siento, pero ahora........¿por qué racional?.
Yo lo he intentado pero necesitaría asegurar que f' es continua, si no no me sirve.
Las funciones pueden llegar a ser muy pero que muy extrañas
Seguiremos buscando.

[teeteto]

Bueno, aunque meterse en una conversación ajena es de mala educación, les adjunto mi solución. En ella, si es correcta, no necesito que f sea de ningún tipo concreto ni la continuidad de f'.
Un saludo.

[narun]

intento descargarla y me pide de nuevo la contraseña y demás (como si aun no lo hubiese hecho) ¿alguien sabe por qué puede ser?

[minkowski]

Hola.
Me ha gustado mucho esa forma de resolverlo, muy elegante. De todas formas me gustaria saber si mi demostración sería válida aproximando cualquier función por su desarrollo por potencias, aunque un poco rudimentaria. Tengo interés en saber dónde estaría el fallo,
gracias.

[teeteto]

Para emplear la serie de potencias necesitas que tu función sea derivable infinitas veces,  y esa hipótesis no la tenemos. Además también hay que pedir una cierta condición de acotación sobre los valores de las derivadas.
Saludos.

[administrador]

intento descargarla y me pide de nuevo la contraseña y demás (como si aun no lo hubiese hecho) ¿alguien sabe por qué puede ser?

Lo siento, parece tratarse de un bug de SMF, que no estaba en la versión antigua de estos foros (YaBB SE)

Probá con alguna de las siguientes cosas, siempre de lo menos cruento a lo más cruento.

a) Click en el botón de Incio, y luego volvé a la discusión, intentando descargar el pdf.

b) Si fracasa lo anterior, ir a las Preferencias de tu navegador, y si éste te lo permite, borrá la(s) cookie(s) que te haya metido Rincón Matemático

c) Si no podés borrar solamente las cookies del Rincón, hacé algo más brutal: borrá todas las cookies (eso no trae ningún peligro)

Por favor, teneme al tanto de tus resultados y, de haber tenido éxito, decime cuál de las opciones te resultó.
Gracias

[xhant]

Me parece que es la siempre temible combinacion de IE y no tener correctamente configuradas las cookies. Consejo: si podés usá FireFox.