[Saldiash]

Si no me equivoco, el enunciado del problema dice que la función es derivable... por lo tanto eso no hay que probarlo.

Si la función es derivable, entonces dadas las condiciones, solo puede ser lineal con término independiente nulo.

Por lo tanto queda probado.

[Landertxu]

Si no me equivoco, el enunciado del problema dice que la función es derivable... por lo tanto eso no hay que probarlo.

Si la función es derivable, entonces dadas las condiciones, solo puede ser lineal con término independiente nulo.

Por lo tanto queda probado.

Creo que el problema trata de probar eso.

[Pepe]

Pero, ¿la cuestión es averiguar f(x) para demostrar que cumple lo que se expone? Si es así, \( f(x)=nx \) \( n\in{\mathbb{R}} \). ¿Es sólo eso?

[Cantor]

Buenas noches foristas...

Alguien sabe como descargar la solución de teeteto... Me aparece punteada la mayoria de las ecuaciones que plantea 

[Tanius]

Cantor, de aquí se puede descargar bien
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=711.0;attach=1580

[Seonihil]

Mucho más fácil todavía!!!!!!   

En las hipótesis del problema basta derivar respecto de x en ambos lados para llegar a lo siguiente:
\( f^{\prime}(x/2)=f^{\prime}(x) \) y esto para todo x real. (regla de la cadena)

Pero esto sólo puede ocurrir si la derivada de f es constante.

De modo que, \( f'(x)=c_1 \) y por lo tanto \( f(x)=c_1.x+c_2 \) para ciertos c1,c2 reales.
Resta ver quienes son \( c_1 $ y $ c_2 \).
Aplicando la condición resultará obvio:

f(0)=0 entonces c2=0

El c1 no se conoce explicitamente sin embargo es obvio que, al ser constante, f´(x)=c1=f´(0)=f´(1)=... para todo x real.

De modo que se deduce lo que queríamos: f(x)=f´(0).x.

Visto así, el problema parece bastante trivial.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

En las hipótesis del problema basta derivar respecto de x en ambos lados para llegar a lo siguiente:
\( f^{\prime}(x/2)=f^{\prime}(x) \) y esto para todo x real. (regla de la cadena)

Pero esto sólo puede ocurrir si la derivada de f es constante.

Esto no es cierto. Puedes definir una función \( g \) arbitraria en el intervalo \( [1,2) \) y extendera a todo \( R^+ \) con la propiedad de que \( g(x)=g(x/2) \).

Saludos.