LEMA :
Si tamaño de la matriz A impar, entonces :
det(A) =-det(-A)
DEM:
Por inducción:
si A pertenece a Mat (1x1 ,K) : A={a} --> det(A)=a
det(-A)=-a
Supongamos que se cumple para 2k-1.
Veamos que se cumple para 2k+1.
Sabemos que si desarrollamos (por det. Laplaciano) por la primera fila :
det(A)= (-1)^2*-a_1,1*det(matriz orden 2k) +(-1)^3*-a_1,2*det(mat orden 2k) + ....+(-1)^2k+2*-a_1,2k+1*det(mat orden 2k)
Como las matrices de orden par, se cumple que det(A)=det(-A) (se demostraría por inducción análoga a esta). Por tanto :
Llamamos a cada valor del determinante de esas mat de orden 2k de la siguiente forma : V_i,j .
Tenemos :
det(-A)=(-1)^2*a_1,1*V_1,1+(-1)^3*a1,2*V_1,2+ ...+ (-1)^2k+2*a_1,2k+1*V_1,2k+1
Es decir, justamente , det(A)=-det(-A) cuando tamaño de A es impar.
c.q.d.
PROBLEMA:
Si tamaño de una matriz A antisimétrica es impar, entonces det(A)=0.
DEM:
Demos por sabido (es elemental) que :
(1) det(A) = det( A^t) donde A^t es la traspuesta.
Por definición de antisimétrica :
A^t = - A
Sustituyendo en (1) :
det(A)=det(-A) -- como A es de tamaño impar -->
det(A)=-det(A) lo cual solo es posible si det(A)= 0 .
c.q.d.
Aqui queda demostrado con métodos elementales.
Saludos, Carlos.
