Rincón Matemático

Revista, Técnicas, Cursos, Problemas => Problemas y Desafíos => Problema del mes => Mensaje iniciado por: teeteto en 29 Noviembre, 2003, 01:47 pm

Título: Un problemita
Publicado por: teeteto en 29 Noviembre, 2003, 01:47 pm
Bueno ya llevo mucho tiempo por aqui y aún no he propuesto nada...así que allá va uno:

Suponiendo (y es mucho suponer) que no se sabe nada de formas bilineales antisimétricas probar que toda matriz antisimétrica de tamaño impar tiene necesariamente determinante nulo.

No es difícil...pero para empezar ya esta bien :)

Saludos
Título: Re:Un problemita
Publicado por: carsecor en 08 Enero, 2004, 12:25 pm
LEMA :

Si tamaño de la matriz A impar, entonces :

det(A) =-det(-A)

DEM:

Por inducción:

si A pertenece a Mat (1x1 ,K) : A={a} --> det(A)=a
                                                               det(-A)=-a

Supongamos que se cumple para 2k-1.

Veamos que se cumple para 2k+1.

Sabemos que si desarrollamos (por det. Laplaciano) por la primera fila  :

det(A)= (-1)^2*-a_1,1*det(matriz orden 2k) +(-1)^3*-a_1,2*det(mat orden 2k) + ....+(-1)^2k+2*-a_1,2k+1*det(mat orden 2k)

Como las matrices de orden par, se cumple que det(A)=det(-A) (se demostraría por inducción análoga a esta). Por tanto :

Llamamos a cada valor del determinante de  esas mat de orden 2k de la siguiente forma : V_i,j .

Tenemos :

det(-A)=(-1)^2*a_1,1*V_1,1+(-1)^3*a1,2*V_1,2+ ...+ (-1)^2k+2*a_1,2k+1*V_1,2k+1

Es decir, justamente , det(A)=-det(-A) cuando tamaño de A es impar.  
                       c.q.d.

PROBLEMA:
Si tamaño de una matriz A antisimétrica es  impar, entonces det(A)=0.

DEM:

Demos por sabido (es elemental) que :

(1)    det(A) = det( A^t) donde A^t es la traspuesta.

Por definición de antisimétrica :

A^t = - A

Sustituyendo en (1) :

det(A)=det(-A) -- como A es de tamaño impar -->

det(A)=-det(A) lo cual solo es posible si det(A)= 0 .

c.q.d.

Aqui queda demostrado con métodos elementales.


Saludos, Carlos.


Título: Re:Un problemita
Publicado por: carsecor en 09 Enero, 2004, 12:35 am

Solo un apunte que se me había olvidado dar. En el lema, en la inducción, en lugar de recurrir a el resultado sin demostrar de las matrices de orden par, al desarrolar por la formula de laplace el determinante de A en la primera fila, puedo volver a recurrir a ella y llegar a matrices de orden 2k-1 con lo cual me situo en la hipótesis de inducción y no debo recurrir a otro resultado.

He recurrido al de las matrices de orden par por no trabajar ni poner tantos calculos.

Un saludo.