Hola.

Sea \( F \) un campo, \( p(x)\in F[x] \) y de grado positivo. Demostrar que \( p(x) \) es irreducible en \( F[x] \), si y solo si, dado cualquier polinomio \( f(x)\in F[x] \), \( p(x)|f(x) \) o \( p(x) \) es primo relativo con \( f(x) \).

Alguna idea para demostrarlo? Gracias.

Hola.

Llevo algunas horas pensando en el siguiente problema: dado el anillo \( R=\mathbb{Z}[x] \) y el ideal \( I=\left<{2,x^2}\right> \) de \( R \), determinar si \( R \) es un dominio de integridad y listar los elementos de \( R/I \), ¿es tal cociente finito?

Respecto a la segunda pregunta, para utilizar el primer teorema de isomorfismos y tener más o menos idea de lo que es \( R/I \), se me ocurrió definir el homomorfismo \( \phi\colon R\to\mathbb{Z}[\sqrt{2}] \) tal que \( \phi[p(x)]=p(\sqrt{2}) \), pero esto no está bien definido. ¿Qué sugerencias me pueden dar?

Gracias.

Me encuentro pensando en el siguiente problema: Si \( \rho\colon G\times M\to M \) es una acción de grupo continua de \( G \) sobre el espacio topológico \( M \) (i.e. que \( \forall_{g\in G}\;\rho_g\colon M\to M \) es continua, donde \( \rho_g(p)=\rho(g,p) \)), demostrar que la condición que para todo \( p, q \in M \) tales que \( q \) está por fuera de la órbita de \( p \), existen abiertos \( U, V \subseteq M \) con \( p \in  U, q \in V \) de modo que \( \rho_g(U)\cap V =\emptyset \), para todo \( g \in  G \), es equivalente a que el espacio topológico cociente \( M/G \) es Hausdorff. Hice una demostración, pero no sé si es correcta, entonces me gustaría saber sus opiniones o sugerencias:

\( \Rightarrow \): Supóngase que la condición de la acción se cumple. Para demostrar que el espacio cociente \( M/G \) es Hausdorff, tómese \( \pi(p),\pi(q)\in M/G \) t.q. \( \pi(p)\neq\pi(q) \), donde \( p,q\in M \) y \( \pi\colon M \rightarrow M/G \) es la proyección canónica. Esto significa que \( q \) no está en la órbita de \( p \), lo que implica que existe un abierto \( U \) alrededor de \( p \) y un abierto \( V \) alrededor de \( q \) tal que \( \rho_g(U) \cap V = \emptyset \) para todo \( g \in G \).

Considerando \( \pi(U),\pi(V)\subseteq G/M \), estas imágenes son abiertas en \( G/M \) al ser \( \pi \) un mapa abierto. Nótese que por el literal anterior (donde demuestro que la proyección canónica es un mapa abierto): \[ \pi^{-1}(\pi(U))\cap\pi^{-1}(\pi(V))=\bigcup_{g\in G}\rho_g(U)\cap gV=\emptyset, \] al ser \( \rho_g(U) \cap V = \emptyset \) para todo \( g \in G \), y como \( \pi^{-1}(\pi(U)\cap\pi(V))=\pi^{-1}(\pi(U))\cap\pi^{-1}(\pi(V))=\emptyset \), entonces \( \pi(U)\cap\pi(V)=\emptyset \), demostrando que en efecto \( M/G \) es Hausdorff.

\( \Leftarrow \): Tómese dos puntos \( p,q\in M \) tal que \( q \) está fuera de la órbita de \( p \), i.e. que \( \pi(p)\neq\pi(q) \).

Suponiendo que \( M/G \) es Hausdorff, existen conjuntos abiertos disjuntos \( X \) y \( Y \) en \( M/G \) que contienen a \( \pi(p) \) y \( \pi(q) \) respectivamente. Nótese que existen \( U \) y \( V \) abiertos de \( M \) de manera tal que \( \pi(U)=X \) y \( \pi(V)=Y \). Luego: \[ \emptyset=\pi^{-1}(X\cap Y)=\pi^{-1}(\pi(U))\cap\pi^{-1}(\pi(V))=\bigcup_{g\in G}\rho_g(U)\cap gV, \] donde en particular se satisface que para cualquier \( g\in G \), \( \rho_g(U)\cap V=\emptyset \).

Demostrando así la equivalencia requerida.

Tengo una duda que puede parecer trivial, pero la verdad no he terminado de comprender muy bien, así que espero de su ayuda.

El Corolario 1.3.6 (p. 23) del libro de David Marker, Model Theory: An Introduction, dice que no es posible definir \( (\mathbb{R},+,\cdot,0,1) \) a partir del campo de los números complejos \( (\mathbb{C},+,\cdot,0,1) \). Para eso se utiliza un resultado anterior, la Proposición 1.3.5 (p. 23) que dice: Sea \( \mathcal{M} \) una \( \mathcal{L} \)-estructura. Si \( X\subseteq M^n \) es \( A \)-definible, entonces todo \( \mathcal{L} \)-automorfismo de \( \mathcal{M} \), digamos \( h \), tal que \( h(x)=x \) para todo \( x\in A \), entonces \( h(X)=X \).

La demostración procede de la siguiente manera: Si \( \mathbb{R} \) fuera definible a partir de \( \mathbb{C} \), entonces existiría un conjunto finito de parámetros \( A\subseteq\mathbb{C} \) que define a \( \mathbb{R} \). Elíjanse \( r,s\in\mathbb{C} \) tales que \( r\in\mathbb{R} \) y \( s\notin\mathbb{R} \) y que sean algebraicamente independientes sobre \( A \). Existe un automorfismo \( h \) de \( \mathbb{C} \) tal que \( h \) restringido a \( A \) es la identidad y \( h(r)=s \). Así, \( h(\mathbb{R})\neq\mathbb{R} \).

Mis dudas respecto a tal demostración surgen en los siguientes puntos: ¿para qué se necesita la independencia algebraica, porque es necesario decir \( r,s \) son algebraicamente independientes? Además, según la definición de independencia algebraica, ¿no es necesario que \( A \) sea un subcampo de \( \mathbb{C} \) para que se pueda hablar de independencia algebraica sobre \( A \)? Por último, ¿en virtud de qué resultado puede decirse que dicho automorfismo \( h \) con las condiciones que se mencionan allí existe?

Gracias por su respuesta.

Me encuentro estudiando del libro de Análisis del profesor de Carlos Ivorra, y me pregunto si estudiando tanto el capítulo II de Topología como el III de Compacidad, Conexión y Completitud, ¿se estaría estudiando en esencia lo mismo que en un curso de topología general, obviamente esperando que se salten varias temáticas? Porque he revisado el libro de Topología de Mukres, y el libro del profesor Ivorra aborda hasta lo teoremas esenciales que se abordan en el Munkres, como son por ejemplos el teorema de Tychonoff y el lema de Urysohn. Entonces me preguntaba si estudiando del de Análisis de Ivorra, estaría cubriendo los temas fundamentales de un curso de topología general.

Gracias por la atención.