Hola.

Dada una matriz \( A_{mxn} \) con entradas no negativas, y un \( k<min\left\{{m,n}\right\} \), tenemos que encontrar matrices \( B_{mxk} \) y \( C_{kxn} \) tal que se minimice \( ||A-BC||_{F} \), donde \( ||.|| \) es la norma de Frobenius, es decir, \( ||A||_{F}=\sqrt[ ]{traza(A^{T}A)} \).

Me piden demostrar que el problema es equivalente a que dada una matriz \( A_{mxn} \) con entradas no negativas y un \( k<min\left\{{m,n}\right\} \), encontrar matrices de rango 0 ó 1 con entradas no negativas \( M_{1},\ldots,M_{k} \in{\mathbb{R^{nxn}}} \) tal que se minimice \( ||A-(M_{1}+\ldots+M_{k})||_{F} \).

Besos.

Hola.

Las matrices estocásticas son matrices cuadradas no negativas tales que la suma de los elementos de cada fila es 1.

El espectro de una matriz cuadrada es el conjunto de los autovalores de la matriz.

Tengo que demostrar que el conjunto de las matrices cuyo espectro tiene como valor máximo 1 (radio espectral 1) son las matrices estocásticas.

Hacia un lado, ya lo he demostrado, es decir, dada una matriz estocástica, su radio espectral es 1.

Tengo que demostrar ahora hacia el otro lado, es decir, dada una matriz con radio espectral 1, demostrar que es estocástica.

Sea \( A \) una matriz con radio espectral 1, es decir, tiene a 1 como autovalor.

Sea también el vector \( u > 0 \), por el Teorema de Perron-Frobenius, el único autovector asociado al autovalor 1, positivo y de norma 1.

Sea la matriz diagonal \( D \) cuya diagonal son las entradas del vector \( u \) en el mismo orden.

Me dicen que demuestre que la matriz \( B = D^{-1}AD \) es una matriz con el mismo espectro que \( A \) y que es estocástica, es decir, que la suma de las entradas de cada fila es 1.

Besos.

Las fórmulas matemáticas deben ponerse siempre en \( \LaTeX \), corregido por moderador

Hola.

Para probar un resultado sobre el Teorema de los Números Primos, necesito saber si la siguiente integral tiende a 0, cuando x tiende a infinito:

$$\int_0^x \frac{\pi(t)}{t}dt$$

donde \( \pi(t) \) es la función que cuenta el numero de primos menores o iguales a \( t \).

Lo que quiero calcular es:

$$\lim_{x\to +\infty}\int_0^x \frac{\pi(t)}{t}dt$$

Besos.

Hola.

Demostrar que 4 divide a la suma de todos los divisores de los números de la forma 4k+3, SIN usar aritmética modular.

Besos.