Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Mensajes - conchivgr

Páginas: [1] 2 3 4 ... 15
1
Hola, muchisimas gracias, entendido.

Besos.  :-* :-*

2
Hola.

Trabajando con el Projective Special Linear Group $$PSL(2,\mathbb{C})$$, es decir, el grupo de matrices (transformaciones de Mobius) de la forma

$$M=\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}, ad-bc=1$$ (su determinante es 1), entiendo que dos elementos de este grupo son conjugados si y solo si sus trazas al cuadrado son iguales.

Pero al final del capitulo, el libro "se descuelga" con la afirmacion de que, en particular, $$PSL(2,\mathbb{C})$$ contiene todas las trasformaciones de la forma $$z\rightarrow{az+b}, a>0$$ y la transformacion $$z\rightarrow{-\frac{1}{z}}$$.

Me he quedado a cuadros, pensaba que habia entendido todo, pero no, no entiendo de donde sale esa afirmacion.

Besos. :-* :-*

3
Muchas gracias, lo importante aqui era llegar a la expresion:

$$\int_{\alpha}^{\beta}\frac{d\theta}{sin \theta}$$

y saber que es realmente la distancia euclidea entre dos puntos situados en la misma circunferencia.

Besos  :-* :-* :-*

4
Hola.

Demostrando que las geodesicas en el plano medio de Poncaire de la geometria hiperbolica, llego a que la distancia entre dos puntos no alineados siguiendo una camino que los une es siempre mayor que:

$$\int_{\alpha}^{\beta}\frac{d\theta}{sin \theta}$$

Resulta que el resultado es:

$$\int_{\alpha}^{\beta}\frac{d\theta}{sin \theta}=Ln\frac{cosec \beta - cotg \beta}{cosec \alpha - cotg \alpha}$$

Esa longitud entre los dos puntos en la circunferencia euclidea que los une.

Pero, alguien podria indicarme o esbozarme como se soluciona esa integral, para que de resultados en funcion de la cosecante y la cotangente?.

$$\int_{\alpha}^{\beta}\frac{d\theta}{sin \theta}$$

Besos  :-* :-* :-*

5
Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Automorfimos y Matrices
« en: 05 Septiembre, 2020, 06:32 pm »
Hola.



Citar
Supongo que es \( \lambda^2 = det(N) \). Si \( N \in GL(2, \Bbb C) \), define \( \lambda^2 = det(N) \) (toma como \( \lambda \) cualquiera de las dos raíces cuadradas). Ahora, si defines \( M = \frac{1}{\lambda}N \), tendrás que \( N = \lambda M \) y \( \lambda^2 = det(N) = \lambda^2 det(M) \), de donde \( det(M)=1 \), es decir, \( M \in SL(2, \Bbb C) \).

Creo que aqui tambien hay una errata, no?. Si definimos \( \lambda^2 = det(N) \) y \( M = \frac{1}{\lambda}N \), entonces  \( N = \lambda M \) y \( \lambda^2=det(N)=\lambda det(M) \), de donde  el determinante de $$M$$ no seria 1.

Besos.  :-* :-*

6
Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Automorfismos y Matrices
« en: 05 Septiembre, 2020, 05:34 pm »
Hola.

Muchas gracias. 

Cuando dices que identificamos dos matrices  si su resta pertenece  a $$GL(2,\mathbb{C})$$, supongo que te refieres a la composición de matrices,  que es la operación del grupo,  no a la resta.

Gracias de nuevo.

Besos.   :-* :-*

7
Matemática Aplicada / Porcentajes de porcentajes
« en: 04 Septiembre, 2020, 05:05 pm »
Hola.

En mi trabajo tengo un sistema muy sencillo, donde tengo 150 usuarios, y los usuarios hacen compras, y el sistema a final de mes me dice el numero de compras que ha hecho cada usuario. Por ejemplo:

Usuario1 - 3529 compras
Usuario2 - 2843 compras
.................................
Usuario150 - 3 compras.

En total son 7259 compras entre los 150 usuarios.

El caso es que mi jefe me pide que haga un reporte que conteste a la siguiente pregunta:

En el mes, que porcentaje de usuarios ha hecho un cierto porcentaje de compras?.

"En ese caso, podriamos ver, por ejemplo, que el 10% de los usuarios ha hecho el 50% de las compras".

Seguramente sea una formula sencilla, pero ni siquiera se si esa pregunta se puede responder, porque, por ejemplo, ninguno ha hecho el 100% de las compras. El primero ha hecho casi la mitad, pero entre todos los demas tambien.

Espero que se entienda.

Besos.  :-* :-* :-*

8
Variable compleja y Análisis de Fourier / Automorfismos y Matrices
« en: 03 Septiembre, 2020, 06:45 pm »
Hola.

Estoy estudiando los automorfimos en la esfera de Riemann y los grupos "especiales" que salen de varios homorfismos.

El principio lo entiendo perfectamente, es casi al final donde no logro entender

Los automorfismos de la esfera de Riemann $$Aut(\sum_{})$$ consisten en las funciones $$T(z)=\frac{az+b}{cz+d}$$ tales que $$a,b,c,d\in{\mathbb{C}}$$ y $$ad-bc\neq0$$.

Sea $$GL(2,\mathbb{C})$$ el Grupo General Lineal consistente en las matrices complejas $$2x2$$, $$M=\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}$$ tales que $$det(M)\neq0$$.

Sea ahora el homomorfismo $$\theta:GL(2,\mathbb{C})\longrightarrow{Aut(\sum_{})}$$. El kernel $$K$$ de este homomorfismo son las matrices $$M=\begin{pmatrix}{\lambda}&{0}\\{0}&{\lambda}\end{pmatrix}, \lambda \neq 0$$.

Por lo tanto, dos matrices $$M,N\in{GL(2,\mathbb{C})}$$ representan el mismo automorfismo si y solo si $$M=\lambda M$$ para algun $$\lambda\neq0$$.

Si ahora aplicamos el Primer Teorema de Ismorfismo, tenemos que $$Aut(\sum_{})\cong GL(2\mathbb{C})/K$$. El grupo $$GL(2,\mathbb{C})/K$$ se denomina Grupo General Proyectivo Lineal, $$PGL(2,\mathbb{C})$$.

Constrimos ahora el homomorfismo $$det:GL(2,\mathbb{C})\longrightarrow{\mathbb{C}-{0}}$$, el determinante. Ahora, el kernel de este homomorfismo son las matrices $$M\in{GL(2,\mathbb{C})}$$ tales que $$det(M)=1$$, y se denomina Grupo Especial Lineal $$SL(2,\mathbb{C})$$.

Aplicando de nuevo el primer teorema de isomorfismo, tenemos que $$GL(2,\mathbb{C})/SL(2,\mathbb{C})\cong \mathbb{C}-{0}$$.

(1) Este cociente no le entiendo, no se como se identifican dos matrices. El primer cociente le entiendo, pero este no.

Ahora, copio literalmente lo que pone el libro, que es lo que ya me pierdo.

(2) "Si $$N\in{GL(2,\mathbb{C})}$$, Entonces podemos escribir $$N= \lambda M$$, donde $$\lambda^2+det(N)$$ y $$M\in{SL(2,\mathbb{C})}$$". No entiendo por que el determinante de $$N$$ es lambda al cuadrado ni por que $$M$$ pertenece a $$SL(2,\mathbb{C})$$.

(3) "De forma equivalente, $$\theta$$ mapea $$SL(2,\mathbb{C})$$ en $$Aut(\sum_{})$$. Por lo tanto, $$PGL(2,\mathbb{C})$$ coincide con el Grupo Especial Proyectivo Lineal $$PSL(2,\mathbb{C})$$, que es la imagen  de $$SL(2,\mathbb{C})$$ en el grupo cociente $$PGL(2,\mathbb{C})/K$$". No he entendido nada de esto ultimo.

Con entender el cociente de (1) (2) me vale, a la ultima frase le puedo dar luego una vuelta yo.

Besos  :-* :-*

9
Muchas gracias.
Besos :-*

10
Variable compleja y Análisis de Fourier / Continuación analítica
« en: 21 Agosto, 2020, 06:06 pm »
Hola.
Estamos estudiando la continuación analítica de funciones complejas,  y nos han dado algún ejemplo,  desde alguno trivial,  a otros más difíciles.
Por ejemplo, trivial,  la función $$f(z)=\sum_{n\geq{1}}{a_nz^n}$$ sólo tiene sentido, es analítica,  en el disco centrado en cero,  de radio menor estrictamente que uno. Sin embargo,  la función $$g(z)=\frac{1}{1-z}$$ es una extensión analítica de $$f$$ a todo el plano complejo excepto para $$z=1$$.

Otro ejemplo es la extension analítica de la función z de Riemann, esta no es trivial.

Por otro lado,  nos han enseñado la teoría para extender una función dada por su serie de potencias a lo largo de un camino, consistente en ir aumentando el radio de convergencia,  pero ni nos han dado un ejemplo concreto,  específico,  ni lo encuentro googleando. Por favor,  alguien me puede enlazar o dar alguno concreto?.
Besos  :-* :-*

11
Variable compleja y Análisis de Fourier / Singularidad evitable
« en: 12 Agosto, 2020, 10:14 am »
Hola.

Me he encontrado con una proposicion y tengo alguna duda sobre ella.

Sea $$a$$ una sigularidad aislada de una funcion compleja $$f(z)$$. Si existe un $$M$$ tal que $$\left |{f(z)}\right |\leq{M}$$, entonces, todos los coeficientes $$\left |{c_{-n}}\right |=0$$ en la expansion en series de Laurent de $$f(z)$$.

Demostracion: por la desigualdad de Cauchy, $$\left |{c_{n}}\right |\leq{\frac{M}{\gamma^{n}}}$$ para $$0<\gamma<1$$. Por lo tanto, $$c_{n}=0$$ para todo $$n<0$$.

La demostracion es muy corta, pero aun asi tengo dos dudas.

La primera es, por que $$0<\gamma<1$$?. Yo creo que deberia ser $$0<\gamma<r$$, ya que $$f$$ es holomorfa en $$\{z\in{\mathbb{C}}:0<\left |{z-a}\right |<r\}$$.

La segunda, de la desigualdad de Cauchy y de que $$n<0$$, se deriva el resultado directamente?.

Es decir, si $$n<0$$, la desigualdad de Cauchy queda $$\left |{c_{-n}}\right |\leq{\frac{M}{\gamma^{-n}}}=M\gamma^n$$.

No veo como de aqui, $$\left |{c_{-n}}\right |=0$$ para todo $$n<0$$.

Besos.  :-*

12
Hola, mas sencillo, muchas gracias, entendido.

Besos.

13
Variable compleja y Análisis de Fourier / Riemann mapping theorem
« en: 04 Agosto, 2020, 03:45 pm »
Hola.

Estudiando el Riemann Mapping Theorem, tengo que probar que si $$a$$ y $$b$$ son dos numeros complejos, con $$\left |{a}\right |<1$$ y $$\left |{b}\right |<1$$, entonces:

$$\left |{\frac{a-b}{1-\overline{a}b}}\right |<1$$

Si hago $$a=re^{i\theta_1}$$, $$b=Re^{i\theta_2}$$ y $$\overline{a}=re^{-i\theta_1}$$ tenemos que $$\left |{r}\right |<1$$ y $$\left |{R}\right |<1$$ , entonces:

$$\left |{\frac{a-b}{1-\overline{a}b}}\right |=\left |{\frac{re^{i\theta_1}-Re^{i\theta_2}}{1-(re^{-i\theta_1})(Re^{i\theta_2})}}\right |=\left |{\frac{re^{i\theta_1}-Re^{i\theta_2}}{1-(rRe^{i(\theta_2-\theta_1)})}}\right |$$

Puedo seguir por ese camino o hay otro mas sencillo?.

Besos.  :-*

14
Muchas gracias,  entendido.
Besos  :-* :-*

15
Hola. Me piden calcular la siguiente integral usando la Fórmula Integral de Cauchy, y me surgen dos dudas al final:

Calcular $$\int_{C}\frac{e^z}{z-2}dz$$. Dependiendo de la curva $$C$$, por la Fórmula Integral de Cauchy, tenemos que, si $$R$$ es la región encerrada por la curva:

$$\int_{C}\frac{e^z}{z-2}dz=2ie^2\pi$$ si $$2\in{R}$$
$$\int_{C}\frac{e^z}{z-2}dz=0$$ si $$2\not\in{R}$$

Pero, qué ocurre si $$2\in{C}$$?. Qué ocurre si el punto está en la propia curva?.

Por otro lado, se incide en que la Fórmula Integral de Cauchy permite saber los valores de la función dentro de la región $$R$$, si se conocen los valores de la función en la propia curva.

A qué se refiere con esto?. A que en el integrado el numerador $$f(z)$$ se evalúa en puntos de la propia curva?.

Besos.  :-* :-* :-*





16
Muchas gracias, entendido.

Besos.

17
Hola.

Perdon, me he liado.

La proposicion dice que si $$\gamma_2\circ{\theta}=\gamma_1$$, con $$\theta$$ el difeomorfismo de $$[a,b]$$ en $$[c,d]$$ entonces

$$\int_{\gamma_2}f=\int_{c}^{d}(f\circ{\gamma_2})\gamma'_2=\int_{a}^{b}(f\circ{\gamma_2\circ{\theta}})(\gamma'_2\circ{\theta})\theta'=\int_{a}^{b}(f\circ{\gamma_1})\gamma'_1=\int_{\gamma_1}f$$

Lo que no entiendo es la segunda igualdad:

$$\int_{c}^{d}(f\circ{\gamma_2})\gamma'_2=\int_{a}^{b}(f\circ{\gamma_2\circ{\theta}})(\gamma'_2\circ{\theta})\theta'$$

Besos.

18
Hola.

Estudiando la integracion de funciones complejas, me gustaria demostrar que la integral no depende del camino elegido entre dos puntos, cumpliendose las condiciones de suavidas, mediante un difeomorfismo. Es decir,

Supongamos que tenemos dos parametrizaciones distintas de dos caminos que van del punto $$z_1$$ al punto $$z_2$$, $$\gamma_1(t)$$ y $$\gamma_2(t)$$.
Queremos probar que $$\int_{\gamma_1}f(z)dz=\int_{\gamma_2}f(z)dz$$.

Tenemos un difeomorfismo que lleva un camino a otro, es decir, $$\theta:\gamma_1\longrightarrow{\gamma_2}$$, es decir, $$\theta(\gamma_1)=\gamma_2$$

Entonces:

$$\int_{\gamma_2}f(z)dz=\int_{z_1}^{z_2}f(\gamma_2)\gamma_2'dt=\int_{z_1}^{z_2}f(\theta(\gamma_1))\theta'(\gamma_1)dt=\int_{z_1}^{z_2}f(\theta(\gamma_1))\theta'(\gamma_1)\gamma'_1dt$$

Voy bien?

Como llego a $$\int_{z_1}^{z_2}f(\gamma_1)\gamma_1'dt$$?.

Besos.

19
Estructuras algebraicas / Re: Isomorfismo complejos
« en: 16 Julio, 2020, 10:02 pm »
Entendido,  muchas gracias.
Besos  :-*

20
Estructuras algebraicas / Isomorfismo complejos
« en: 16 Julio, 2020, 09:18 pm »
Hola.

Sabemos que si $$F$$ es un cuerpo, tenemos que $$F[X]/(x^2+1)$$ es un cuerpo isomorfo al cuerpo de los números complejos $$\mathbb{C}$$. Pero, en que sentido?.

Es decir, el cuerpo $$F[X]/(x^2+1)$$ es isomorfo a $$F(X)$$, por el Primer Teorema de Isomorfismo, cada elemento se escribe de la forma $$ax+b$$ con $$a$$ y $$b$$ reales.

Identificamos cada punto del plano complejo con cada punto del plano real, pero

cual es el isomorfismo y en que sentido son isomorfos?.

Es decir, los números complejos son un cuerpo, pero los puntos del plano real no.

Besos.


Páginas: [1] 2 3 4 ... 15