Hola
Fernando Revilla explicame esto por favor.
"el teorema fundamental de la aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo mayor que 1 es un número primo o bien un único producto de números primos."
Sin embargo, cuando deben sacar los divisores propios reconocen este producto:
N = N x 1
Entonces, todos los números están formados por un producto que tiene un factor que no es número primo. Lo que si resulta en un contraejemplo válido.
Es que eso no contradice el Teorema Fundamental de la Aritmetica. Éste dice que todo número entero positivo mayor que \( 1 \) o es primo o puede ponerse de manera única como producto de primos. Por ejemplo:
\( 2=2 \)
\( 3=3 \)
\( 4=2\cdot 2 \)
\( 5=5 \)
\( 6=2\cdot 3 \)
\( 7=7 \)
\( 8=2\cdot 2\cdot 2 \)
\( 12=2\cdot 2\cdot 3 \)
Estas descomposiciones como producto de primos son únicas; por ejemplo no hay otra manera de escribir \( 12 \) como producto de números primos que no sea \( 2\cdot 2\cdot 3 \) (salvo cambio de orden, es decir, podríamos poner \( 2\cdot 3\cdot 2 \) pero son los mismos primos).
Ahora eso no impide que los números puedan descomponerse de otras formas como producto de números que ya no tienen porque ser primos. Por ejemplo:
\( 12=6\cdot 2=3\cdot 4=12\cdot 1=12\cdot 1\cdot 1 \)
Saludos.
\( 2=2\cdot 1 \)
\( 3=3\cdot 1 \)
\( 4=2\cdot 2 \)
\( 5=5\cdot 1 \)
\( 6=2\cdot 3\cdot 1 \)
\( 7=7\cdot 1 \)
\( 8=2\cdot 2\cdot 2\cdot 1 \)
La clave en tu respuesta es el "puede",
Ya que para que esté completo el producto, debes reconocer que existe un \( 1\cdot \)
y con eso se soluciona un problema que tiene el teorema... Ya que el Teorema excluye del rango al 1... El 1 no es Primo ni es no primo... Pero todo número tiene implícito en ese producto de primos, un factor que es 1. El hecho de que no sea escrito es otra cosa, pero cuando reconocen al 1 como divisor propio, están reconociendo ese factor que no escribieron... Pero para el teoréma el 1 no existe...
Si tu trabajas con Números Naturales, no invocas un número negativo...
EDITO: La
factorización prima implica expresar un número como producto de potencias de números primos siempre reducidos a su mínima expresión... Para que ese producto este completo, debe estar el factor que representa la unidad. Porque luego ese factor lo reconocerás como "
divisor propio" incluso de los números primos... Entonces forma parte del producto que conforma su expresion mínima como potencia de números primos...
Si me dices que no puedo escribirlo de esa manera
3 = 3 x 1, porque el 1 no es primo... Tendrias que decirme que el 1 no existe... De lo contrario tengo dos formas de escribir el mismo producto con los números primos... Y al no haber números que sean
compuestos está en su mínima expresión... Y es que de todas maneras el factor "x1" es tácito en tu igualdad... Lo reconoces de todas maneras... y encima luego lo usas...