Hola

Lanzo otra pregunta (disculpas por la insistencia):

¿Pueden encontrar algún ejemplo útil de conjunto en matemáticas donde sus elementos sean "muy diferentes" (en el sentido de poner a Napoleón por un lado, la Estatua de la Libertad y un número irracional)?

Si no los hay en las matemáticas serias (y entendiendo que la definición permite construir conjuntos así), ¿por qué permitirlo en una definición intuitiva de conjunto?

Saludos

Hola

Ya te vale. Eso se llama barrer para casa.

Tienes razón.

Pues yo diría que justo la contraria de la que tú defiendes. Puedes probar a hacer una encuesta no sesgada, a ver qué sale.

No sé cómo armar una encuesta insesgada y que le llegue a un público más amplio. Si fuera por mí, encantado de ver de los resultados.

De todas maneras me gustaría si puedes dar una opinión a lo siguiente:

Según vosotros:

Definición intuitiva de conjunto: Colección de objetos (definidos sin ambigüedad).

Según yo:

Definición intuitiva de conjunto: Colección de objetos con una propiedad en común (definidos sin ambigüedad).

Si prescindimos de las aclaraciones entre ( ) y simplificamos un poco la escritura, tenemos:

Según vosotros:

Definición intuitiva de conjunto: Colección.

Según yo:

Definición intuitiva de conjunto: Colección con una propiedad en común.

Según vosotros y visto así, un conjunto es una colección. ¿Y qué me vale entonces llamarlo "conjunto", para qué tengo que aprenderme una palabra nueva si con "colección" ya me vale? Según vosotros, "conjunto = colección", ¿y para qué entonces llamarlo "conjunto" si colección ya vale? Al agregar "con una propiedad en común" aportamos algo más a la idea intuitiva de conjunto.

Saludos

Hola

Si hay bolígrafos de distintos colores ¿formarías subconjuntos cada uno de un mismo color? ¿y que hacemos con los tamaños? Los elementos de un conjunto son entes (aquello que es, existe o puede existir). Parecería que estás intentando crear una Teoría taxonómica de conjuntos  .

Si defines la propiedad "ser bolígrafo" no importan los colores ni los tamaños. Lo mismo con "ser pelota". Tendrás dos conjuntos cada uno con elementos que comparten una propiedad en común.

Insisto que va por gustos, a mí me gusta que informalmente los conjuntos se definan así porque da la idea de que un conjunto es mucho más que una colección de objetos. (Ver la respuesta más abajo a geómetracat.)

Depende.
...
Un conjunto es un montón de cosas (objetos, ideas, sensaciones…) sobre los que se puede encontrar una relación o establecer una relación o bien no se puede hacer nada de esto. Quizá sí se puede decir que, si se da este último caso, el conjunto sólo se podrá definir por extensión, pero quizá también pueda definirse por comprensión, es difícil aseverarlo.
Así, un conjunto será cualquier cosa que tú quieras que sea un conjunto.

Gracias feriva (hace mucho no intercambiamos mensajes ).

Parece que intentas decir que la definición "incorrecta" es la que me habéis reprochado, pero recuerda que no hay definiciones correctas e incorrectas. Yo nunca negué que haya colecciones donde sus elementos cumplan más de una propiedad, pero yo no lo llamaría "conjunto", sino "colección".

Al final todo esto se resume en que estás empeñado en usar una "definición" informal de conjunto en el que no puedes mezclar cosas de distintas "especies". Pues vale, entonces un conjunto será lo que tú digas, atendiendo a tu criterio. No vale la pena seguir discutiendo esto.

Que no se interprete como que lo que yo digo pienso que es la única verdad (me ha valido "castigos" de Carlos y he aprendido de ello).

Lo que intento hacer ver es que tiene más sentido definir intuitivamente a un conjunto no meramente como una colección de objetos, sino que entre sus elementos emerja una propiedad en común.

Es como decir:

Según vosotros:

Definición intuitiva de conjunto: Colección de objetos (definidos sin ambigüedad).

Según yo:

Definición intuitiva de conjunto: Colección de objetos con una propiedad en común (definidos sin ambigüedad).

Si prescindimos de las aclaraciones entre ( ) y simplificamos un poco la escritura, tenemos:

Según vosotros:

Definición intuitiva de conjunto: Colección.

Según yo:

Definición intuitiva de conjunto: Colección con una propiedad en común.

Según vosotros y visto así, un conjunto es una colección. ¿Y qué me vale entonces llamarlo "conjunto", para qué tengo que aprenderme una palabra nueva si con "colección" ya me vale? Según vosotros, "conjunto = colección", ¿y para qué entonces llamarlo "conjunto" si colección ya vale? Al agregar "con una propiedad en común" aportamos algo más a la idea intuitiva de conjunto.

Pero ten en cuenta que tu noción de conjunto no coincide con la noción habitual que se maneja en matemáticas, y en particular no coincide con la noción de conjunto que pretende formalizar ZFC. Insisto en que si pretendes formalizar lo que tú entiendes por conjunto es mucho mejor irse a una teoría de tipos. Que por cierto es lo que implementan en menor o mayor medida la gran mayoría de lenguajes de programación.

Yo no pretendo formalizar nada. Pretendo ponernos de acuerdo en la definición intuitiva de conjunto.

Yo pondría los bolis en un cajón y las pelotas en otro sitio, pero solo porque en mis cajones no caben pelotas de fútbol o basket.. El tamaño es importante en estos casos.

¡Excelente! Tus propiedades para formar conjuntos serán: "Ser de pequeño tamaño" y "Ser de gran tamaño". Si los quieres poner todos juntos nadie te lo impide, pero no lo llames "conjunto" sino "colección".

Saludos

Hola

Te contesté en el otro mensaje, pero de todas maneras ten en cuenta que una cosa es lo que sea útil para ciertos fines y otra lo que sea posible. Desde luego es posible mezclar pelotas y bolis en un cajón, y por tanto no sé por qué no va a serlo hacerlo en un conjunto.

Ahí está el quid. Según mi experiencia, como programador, jamás podrías mezclar pelotas y bolis porque el lenguaje te lo restringe. Ahora bien, como te contesté en el otro hilo, queda en colección, no llega a ser un conjunto [informal, de cosas que tengan alguna propiedad en común].

Pues eso, que no estamos discutiendo cuál es la mejor forma de guardar las cosas en un cajón y la encuesta va de eso. Y aun así: si pongo en el mismo cajón bolígrafos y pelotas (y no me negarás que puedo hacerlo si quiero) ¿a partir de ese momento los bolígrafos y las pelotas no tienen la propiedad común de ser "lo que está en mi cajón"?

Por definición. Las cosas de tu cajón (que pueden ser cualquier cosa) es una colección de objetos. Para poder llamarlo informalmente un conjunto, tendrías que tener sólo cosas con alguna propiedad en común, como que sean bolígrafos, o que sean papeles, pero no ambas. En programación tiene sentido que un conjunto sea definido de esta manera.

Saludos

Hola

Porque aquí no estamos discutiendo cuál es la forma más razonable de guardar las cosas en un cajón y tu encuesta va de eso. Aquí estamos discutiendo qué conjuntos existen y cuáles no.

Discutimos si intuitivamente tiene sentido agregar la restricción "tener una propiedad en común". En la formalidad estoy de acuerdo que todo es un conjunto por lo que estoy de acuerdo con esto:

\( \{(3, 4), (1, 2, 3), \sqrt 2, \mathbb R\} \)

¿Qué tienen todas esas cosas en común? Obviamente una: todo son conjuntos, pero si te vale eso, ¿a qué insistir en que antes tenías todo pares de números reales, si basta con que todo sean conjuntos? Y si no te vale, que sepas que a ZFC sí que le vale.

Saludos

Hola

Esa encuesta no tiene nada que ver con lo que hemos hablado aquí. Mi respuesta a esa encuesta es que no me decanto por ninguna opción, simplemente, la pregunta no tiene sentido o es totalmente subjetiva y arbitraria. En lo que discutimos aquí mi voto es sí.

¿Por qué no tiene nada que ver?

Saludos

Hola

El que quiera colaborar con la encuesta aquí está:

[Encuesta] Da tu opinión sobre lo que es un conjunto

Por favor avisar si la encuesta tiene que ver con lo que aquí discutimos: Si un conjunto se define como colección de objetos con una propiedad en común. Si no es así, avisar para corregir la encuesta.

Saludos

Hola

Imagina que tu objetivo es clasificar ciertos objetos para tener un mejor orden.

Tienes bolígrafos rojos y verdes y pelotas de básquet y de fútbol.

Si tuvieras que armar uno o varios conjuntos con esos objetos, ¿te pondrías a armar un cajón con todos los bolígrafos y las pelotas en el mismo cajón?

¿O pondrías los bolis en un cajón y las pelotas en otro?

Saludos

Hola

Yo no diría nada de "especies", y no creo que vayas a encontrar ninguna "definición intuitiva estándar". Mi respuesta tómala únicamente como mi opinión.

Reemplaza "de la misma especie" con "que tengan una propiedad en común" así no ves biólogos donde no los hay. Es lo mismo.

¿Pero con el "debe" quieres decir que se exija "de la misma especie"? No veo por qué. Tu conjunto híbrido A es el conjunto de los elementos que tienen una propiedad en común. La propiedad de ser "-1", o ser el pájaro, o ser el -3 o ser el auto azul. Eso es una propiedad que tienen en común exactamente cuatro objetos. Si no quieres verlo así, tendrás que dar una definición más precisa de "propiedad" que excluya tomar disyunciones de otras propiedades. ¿No puedo hablar de la propiedad "ser rubio o tener ojos azules"? Pues si puedo formar la disyunción de dos propiedades, puedo formar la disyunción de cuatro.

Esto se trata de definiciones, así que respeto que tú excluyas que los elementos deban "tener una propiedad en común".

Pero eso que dices podría aplicarse por ejemplo a:

\( A=\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x>y\}\cup\{(0,0)\} \) (este tipo de colecciones aparecen mucho en análisis de varias variables reales)

y perfectamente es un conjunto de hecho y derecho, pero no porque tenga una unión en el sentido a lo que dices, sino porque perfectamente \( A \) tiene elementos con una propiedad en común: las dos colecciones son pares de números reales, así que la propiedad en común entre los elementos de \( A \) es: son pares de números reales.

Llevado al caso de \( B=\{1,\text{pájaro},-3,\text{auto azul}\} \) (le cambié la letra para no confundir), aunque se pueda hacer una disyunción como dices yo no lo consideraría conjunto porque no hay ninguna propiedad en común entre un número entero y un pájaro o un auto (que suponemos son concretos, conocidos). ¿Tú sí dirías que es un conjunto?

Si efectivamente esto se tratase meramente de definiciones, me gustaría si se puede encuestar a los usuarios sobre si \( B \) se puede considerar como conjunto o no. Y ver cuál es la opción más votada. Yo pienso que ganaría el "No" porque cualquiera entendería (y más los programadores, que en el foro hay bastantes) que no sería un conjunto porque no cumple con "tener una propiedad en común" que es algo intuitivo de los conjuntos.

La respuesta no se puede decir que sea exacta, porque, si nos atenemos a ella, la colección de todos los conjuntos sería un conjunto, pero es contradictoria.

Yo respondería que la idea básica es que un conjunto es una colección de objetos, pero que eso es contradictorio, de modo que hay que restringir el concepto de "conjunto" de modo que no toda colección de objetos vale como conjunto. Y la forma de restringir el concepto no es mediante una definición, sino mediante unos axiomas que especifican las condiciones bajo las cuales se puede asegurar que ciertas colecciones de objetos forman conjuntos, así como las propiedades básicas de éstos.

Gracias por la respuesta. Voy a tener que leerlo con mucho cuidado porque me cuesta bastante entenderlo.

Saludos

Hola

No se a qué te refieres con "si la definición lo permite". Ante todo, en todo esto es fundamental que las respuestas cambian completamente si hablamos de conjuntos en ZFC o de conjuntos como concepto intuitivo.

Si hablamos de ZFC, no hay pájaros ni autos, y si hemos convenido en que pájaro = 0 y auto azul = 2, entonces la definición por comprensión que te he puesto antes es literalmente la misma que

\( A = \{x\mid x = 1\lor x = 0\lor x = -3\lor x = 2\} \)

Y así no tiene que parecerte forzada. Si hablamos de conjuntos intuitivos, la definición es

A es el conjunto de todos los elementos x que tienen la propiedad "x = 1 o x = pájaro  o x = -3 o x = auto azul".

Pero no sé qué definición dices que lo permite o deja de permitirlo. Lo único que te digo es que si, informalmente, quieres considerar ese conjunto, ¿qué te impide hacerlo? No es cuestión de si alguien te lo permite, sino de si algo te lo impide.

Bajo la idea "intuitiva" o informal (no la formal con la equis repetida varias veces a la derecha), justamente lo que me prohibiría considerar a la colección \( A \) como conjunto es que sus elementos no sean "de la misma especie", porque un número no tiene nada que ver con un automóvil. Entonces, ¿"de la misma especie" va o no va en la definición intuitiva o informal de conjunto?

En programación es habitual que los conjuntos o arrays NO se ¿permita? que sus elementos sean de distintos tipos. Por ejemplo en C, definir un array como 1, "hola", 3 provoca un warning:

main.c:13:18: warning: initialization of ‘int’ from ‘char *’ makes integer from pointer without a cast [-Wint-conversion]
int a[] = {1,"a",3};

O en Haskell da error directamente:

Prelude> [1,"a",3]

<interactive>:1:2: error:
    * No instance for (Num [Char]) arising from the literal `1'
    * In the expression: 1
      In the expression: [1, "a", 3]
      In an equation for `it': it = [1, "a", 3]

Ya que 1 y 3 son enteros mientras que "a" es un String. Y los números y los strings no tienen nada que ver, al igual que un entero y un automóvil no tienen nada que ver.

En ZFC no hay pájaros ni autos. Y si te refieres a conjuntos intuitivos, el único requisito es que lo que digas no sea ambiguo. Por ejemplo, hay muchos pájaros. Cuando dices "pájaro" ¿a cuál de todos te refieres? ¿Estás considerando un conjunto con cuatro elementos, uno de los cuales es un pájaro, o contiene a todos los pájaros del universo? Si "pájaro" está bien definido previamente, y con esa palabra te refieres a un bicho en concreto, y lo mismo con "auto azul", si te refieres a uno en concreto que está precisado previamente, ¿por qué no vas a poder considerar el conjunto formado por esas cuatro cosas?

Es la pregunta que hice en el párrafo anterior. Porque el libro de la universidad habla de "colección de objetos de la misma especie". Lo que pregunto es si está estandarizado decir que (y perdón la reiterancia en la pregunta), intuitivamente, un conjunto es una colección de objetos de la misma especie, porque al menos en la universidad lo definen así.

Ahora veo que en la entrada de Wikipedia en español: https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto dice:

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen.

La clave ahí está en suele. En la universidad parece que lo reemplazan por debe. ¿Cuál de las dos es la más extendida?

La frase "en ZFC se puede formalizar cualquier cosa" no es cierta al pie de la letra, pero las excepciones son muy técnicas. Se puede formalizar cualquier cosa que no exija cuantificar sobre la totalidad de los conjuntos, o sobre conjuntos arbitrariamente complejos. Pero no he mencionado las excepciones porque distan mucho de lo que estamos considerando aquí. Aparte de esto, no sé a qué contradicción te refieres.

Si te refieres a que en ZFC no se puede definir lo que es un conjunto, eso no significa que en ZFC no se pueda formalizar el concepto de conjunto, sino todo lo contrario, la teoría ZFC es toda ella una formalización del concepto de conjunto. Si te refieres a otra cosa, no la capto.

Aunque me gustaría adentrarme en las excepciones que mencionas porque soy curioso, esa parte la podemos dejar ahí.

El fin de aquella pregunta es que yo quiero saber cuando alguien (que no sea formalista) venga y me pregunte:

- Oye, ¿qué es un conjunto en matemáticas?

- Mira, informalmente te puedo decir que es una colección de objetos sin importar el orden de aparición de sus elementos con una propiedad en común, pero formalmente no se puede definir "conjunto".

¿Está bien que le responda eso o cómo le responderías tú?

Saludos

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