Sección 4. Criterios de Divisibilidad
Divisibilidad por 11
Aquí tenemos \( \alpha=0 \) para la fórmula (*), y que \( 10\equiv_{11} 10 \), \( 100\equiv_{11} 1 \), y luego estos restos se repiten cíclicamente.
\( m\equiv_{11} \sum_{\beta=0}^\infty \sum_{j=0}^1 c_{2\beta+j}r_j, \)
donde \( r_0=1, r_1=10 \).
Esto demuestra que \( m \) es divisible por 11 si y sólo si la suma de sus cifras pares más 10 veces la suma de sus cifras impares \( m \) es múltiplo de 11.
Este criterio puede simplificarse un poco usando números negativos.
En efecto, observemos que \( 10\equiv_{11}{-1} \). En ese caso, podemos tomar \( r_1=-1 \) en la fórmula anterior, y obtenemos el conocido criterio que dice que \( m \) es múltiplo de 11 si y sólo si lo es la suma de sus cifras pares menos la suma de sus cifras impares.
Esto mismo se puede aplicar para la divisibilidad por \( b + 1\textrm{ en base }b \):
\( m\equiv_{b+1} \sum_{\beta=0}^\infty (-1)^{\beta} c_{\beta} \)
Para nuestra aritmética habitual en base \( 10 \) esto es interesante cuando \( b = 10^k,\; k\geq{}1 \). Par \( k = 1 \) es el conocido criterio de divisibilidad por \( 11 \).
Para \( k = 2 \) tenemos un criterio de divisibilidad por \( 101\textrm{ en base }100 \), que traducido a base \( 10 \) queda en sumar y restar alternativamente las cifras del número agrupadas de dos en dos, de derecha a izquierda.
Más interesante es el caso \( k = 3 \), pues \( 1001 = 7\cdot{}11\cdot{}13 \). Para saber si un número es divisible por \( 7, 11\textrm{ o }13, \) basta agrupar sus cifras de tres en tres a partir de las unidades y sumar y restar estos grupos alternativamente. Si el resultado es divisible por \( 7, 11\textrm{ o }13, \) el número de partida también lo será. Puede pensarse que no es muy práctico, pero en ocasiones si que lo es, como por ejemplo para los años:
¿Cuál es el resto de dividir \( 2017\textrm{ entre }7, 11\textrm{ y }13 \)? Como
\( 2017\equiv_{1001}-2 + 017 = 15 \)
los restos de dividirlo por \( 7, 11,\textrm{ y }13 \) son respectivamente \( 1, 4\textrm{ y }2 \), y no es múltiplo de ninguno de ellos.
En cambio,
\( 2093\equiv_{1001}-2 + 093 = 91 = 7\cdot{}13 \)
por lo que \( 2093 \) es múltiplo de \( 7\textrm{ y }13 \), aunque no de \( 11 \). Quizás le resulte de utilidad a alguno en unas olimpíadas matemáticas del año \( 2093 \) ...
Saludos,
