Sección 4. Criterios de DivisibilidadMuchas hemos visto criterios de divisibilidad, y nos parecen reglas mágicas que permiten decir si un número dado es o no divisible por 3 o por 9 tan sólo conociendo sus cifras.
No hay nada sobrenaturales en esto, y ahora vamos a ver cómo encontrar criterios de divisibilidad para cualquier divisor \( d \).
Primero vamos a trabajar con números representados en base 10, y luego generalizaremos a una base b cualquiera.
Base 10.Sea \( d \) un
número entero positivo que supondremos fijado en lo que sigue.
Nos interesa saber si un número entero positivo \( m \) es divisible o no por \( d \), conociendo las cifras de \( m \), y sin tener que hacer la tediosa operación de dividir.Para ello, recordemos que si la representacion de \( m \) con cifras decimales es \( m = \bar c_k\barr c_{k=1}...\bar c_2\bar c_1\bar c_0 \), quiere decir que el numero tiene \( k+1 \)
cifras decimales, cada una satisfaciendo \( c_j\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \), y que su valor es igual a:
\( m=c_0 +c_1 10 +c_2 10^2+...+c_k 10^k. \)
Ahora bien, dado que \( d \) es
divisor de \( m \) si y solo si \( m\equiv_d{0} \), y dado que las operaciones aritmeticas se conservan
modulo \( d \), tenemos que para todo
numero entero \( r \) tal que \( 10\equiv_d{r} \), podemos escribir la
congruencia modulo \( d \) siguiente:
\( m \equiv_d c_0 10^0+c_1 10^1 +c_2 10^2+...+c_k 10^k \equiv_d c_0 r^0+c_1 r^1 +c_2 r^2+...+c_k r^k \)
Digamos algo mas, y es que las potencias \( r^0,r^1,r^2,... \) no pueden tener
resto siempre distinto
modulo \( d \), porque los
restos posibles son, a lo sumo, \( d \). Así que en algún momento alguno de ellos tendrá que ser repetición de alguno de los anteriores. Más aún, debido a la conservación del producto por congruencias, las sucesivas potencias tendrán que repetirse con el mismo patrón, y de esa manera los
restos modulo \( d \) de las potencias de 10 que siguen se repetirán cíclicamente.
Para saber en con qué exponente se inicia el ciclo de repeticiones de
restos, en principio tendremos que buscar a mano las sucesivas potencias hasta detectar que un par se han repetido.
No voy a entrar en mayores detalles por ahora. Quizá más adelante, si surge la inquietud en el público, se pueda ser más exacto.
Llamemos
sistema de restos modulo \( d \) a la lista ordenada de restos \( r_0,r_2,r_3,..,r_{\ell-1} \) tales que \( 10^{\alpha-1+\beta \ell+j}\equiv_d{r_j} \), donde \( \alpha \) es el exponente donde comienza el ciclo de repeticiones, \( \beta \) es cualquier
entero no negativo, y \( 0\leq j\leq \ell-1 \).
Esto permite dar un criterio de divisibilidad por \( d \).
Tenemos ahora, para el número \( m \) de arriba, lo siguiente:
\( m \equiv_d c_0 1+c_1 10^1 +c_2 10^2+...+c_{\alpha-1} 10^{\alpha-1}+c_{\alpha}r_0 +c_{\alpha+1}r_1 +...+c_{k}r_{s_k}. \)
donde \( s_k \) indica el índice \( j \) tal que \( j\equiv_\ell{k} \).
Hemos tenido que usar una
congruencia modulo \( \ell \) en el subíndice.
Interpretemos un poco la fórmula de arriba. Tiene dos partes.
La primer parte corresponde a las potencias de 10 que no han entrado aún al ciclo de potencias cuyo
resto se repite
módulo \( d \).
La segunda parte corresponde a las potencias de 10 que ya han entrado al ciclo.
Podemos, pues, escribir las cosas con un formato más acorde a estas observaciones:
\( (*)\qquad\qquad\qquad\qquad\displaystyle m \equiv_d \sum_{j=0}^{\alpha-1}c_j 10^j\quad + \sum_{\beta=0}^\infty\sum _{j=0}^{\ell-1}c_{\alpha+\beta\ell+j} \; r_j. \)
Observemos que hemos escrito una suma infinita.
En realidad esta suma es finita, porque a partir del índice \( k+1 \) en adelante, todos los dígitos de \( m \) son iguales a 0.
Luego, la escritura anterior es más compacta, y evita que tengamos que pensar cuántas cifras tiene \( m \).
Ejemplos de Aplicación a criterios conocidos de divisibilidad, y un par de casitos másEn todo lo que sigue, supondremos que \( m=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n10^n \), donde sólo una cantidad finita de las cifras \( c_n \) es distinta de 0.
Divisibilidad por 2Aquí tenemos \( \alpha=1 \) para la fórmula (*), y que \( 10\equiv_2 0 \), y en general \( 10^j\equiv_2{0} \), para \( j\geq1 \). Se sigue que:
\( m\equiv_2 c_0+\sum_{\beta=0}^\infty c_{1+\beta}\cdot 0\equiv_2{c_0} \)
Esto demuestra que \( m \) es divisible por 2 si y sólo si la última cifra de \( m \) es divisible por 2.
Divisibilidad por 3Aquí tenemos \( \alpha=1 \) para la fórmula (*), y que \( 10\equiv_3 1 \), y en general \( 10^j\equiv_3{1^j}=1 \), para \( j\geq1 \). Se sigue que:
\( m\equiv_3 c_0+\sum_{\beta=0}^\infty c_{1+\beta}\cdot 1\equiv_3\sum_{n=0}^\infty c_n \)
Esto demuestra que \( m \) es divisible por 3 si y sólo si la suma de las cifras de \( m \) es múltiplo de 3.
Si al sumar las cifras de \( m \) se obtiene un número grande, se le vuelven a sumar las cifras a este último número, y así sucesivamente hasta llegar a algo "pequeño" que ya nos permita decidir.
Divisibilidad por 4Aquí tenemos \( \alpha=2 \) para la fórmula (*), y que \( 10\equiv_4 2 \), \( 100\equiv_4{0} \)y en general \( 10^j\equiv_4{0} \), para \( j\geq2 \). Se sigue que:
\( m\equiv_4 c_0+c_1 \cdot 2+\sum_{\beta=0}^\infty c_{2+\beta}\cdot 0\equiv_4 c_0+2c_1. \)
Esto demuestra que \( m \) es divisible por 4 si y sólo si la suma de su útlima cifra más el doble de su penúltima cifra es múltiplo de 4.
Divisibilidad por 5Aquí tenemos \( \alpha=1 \) para la fórmula (*), y que \( 10\equiv_5 0 \), y en general \( 10^j\equiv_5{0} \), para \( j\geq1 \). Se sigue que:
\( m\equiv_5 c_0+ \sum_{\beta=0}^\infty c_{1+\beta}\cdot 0\equiv_5 c_0. \)
Esto demuestra que \( m \) es divisible por 5 si y sólo si la última cifra de \( m \) es múltiplo de 5.
Divisibilidad por 6Aquí tenemos \( \alpha=1 \) para la fórmula (*), y que \( 10\equiv_6 4 \), y en general \( 10^j\equiv_6 4 \), para \( j\geq1 \). Se sigue que:
\( m\equiv_6 c_0+ \sum_{\beta=0}^\infty c_{1+\beta}\cdot 4\equiv_6 c_0+4\sum_{\beta=0}^\infty c_{1+\beta}. \)
Esto demuestra que \( m \) es divisible por 6 si y sólo si la suma de última cifra más 4 veces la suma de las restantes cifras de \( m \) es múltiplo de 6.
Este criterio es algo complicado. Se puede simplificar observando que 6 es el producto de 2 y 3.
Así que si la última cifra de \( m \) es par, y la suma de las cifras de \( m \) es múltiplo de 3, entonces \( m \) es múltiplo de 6.
Divisibilidad por 7Aquí tenemos \( \alpha=0 \) para la fórmula (*), y que \( 10^0\equiv_7 1 \), \( 10\equiv_7 3 \), \( 10^2\equiv_7 2 \), \( 10^3\equiv_7 6 \), \( 10^4 \equiv_7 4 \), \( 10^5\equiv_7 5 \), \( 10^6\equiv_7 1 \), y en general \( 10^{6n+j}\equiv_7 r_j \), para \( 0\leq j<6 \), siendo \( (r_0,r_1,...,r_5)=(1,3,2,6,4,5) \) el sistema de restos de las potencias de 10 módulo 7. Se sigue que:
\( m\equiv_7 \sum_{\beta=0}^\infty\sum_{j=0}^5 c_{\beta 6+ j} r_j. \)
Esto da un criterio complicado de divisibilidad por 7, pero ciertamente funciona.
Divisibilidad por 8Aquí tenemos \( \alpha=3 \) para la fórmula (*), y que \( 10\equiv_8 2 \), \( 100\equiv_8{4} \), \( 1000\equiv_8{0} \), y en general \( 10^j\equiv_8{0} \), para \( j\geq3 \). Se sigue que:
\( m\equiv_8 c_0+c_1 \cdot 2+c_2\cdot 4+\sum_{\beta=0}^\infty c_{3+\beta}\cdot 0\equiv_8 c_0+2c_1+4c_2. \)
Esto demuestra que \( m \) es divisible por 8 si y sólo si la suma de su útlima cifra más el doble de su penúltima cifra más el cuádruple de su antepenúltima cifra es múltiplo de 8.
Divisibilidad por 9Aquí tenemos \( \alpha=1 \) para la fórmula (*), y que \( 10\equiv_9 1 \), y en general \( 10^j\equiv_9{1^j}=1 \), para \( j\geq1 \). Se sigue que:
\( m\equiv_9 c_0+\sum_{\beta=0}^\infty c_{1+\beta}\cdot 1\equiv_9\sum_{n=0}^\infty c_n \)
Esto demuestra que \( m \) es divisible por 9 si y sólo si la suma de las cifras de \( m \) es múltiplo de 9.
Divisibilidad por 10Aquí tenemos \( \alpha=1 \) para la fórmula (*), y que \( 10^j\equiv_{10} 0 \) para \( j\geq1 \). Se sigue que:
\( m\equiv_{10} c_0+\sum_{\beta=0}^\infty c_{1+\beta}\cdot 0\equiv_{10} c_0 \)
Esto demuestra que \( m \) es divisible por 10 si y sólo si la última cifra de \( m \) es múltiplo de 10.
Pero esto sólo ocurre si la última cifra de \( m \) es 0.
Divisibilidad por 11Aquí tenemos \( \alpha=0 \) para la fórmula (*), y que \( 10\equiv_{11} 10 \), \( 100\equiv_{11} 1 \), y luego estos restos se repiten cíclicamente.
\( m\equiv_{11} \sum_{\beta=0}^\infty \sum_{j=0}^1 c_{2\beta+j}r_j, \)
donde \( r_0=1, r_1=10 \).
Esto demuestra que \( m \) es divisible por 11 si y sólo si la suma de sus cifras pares más 10 veces la suma de sus cifras impares \( m \) es múltiplo de 11.
Este criterio puede simplificarse un poco usando números negativos.
En efecto, observemos que \( 10\equiv_{11}{-1} \). En ese caso, podemos tomar \( r_1=-1 \) en la fórmula anterior, y obtenemos el conocido criterio que dice que \( m \) es múltiplo de 11 si y sólo si lo es la suma de sus cifras pares menos la suma de sus cifras impares.
Divisibilidad por otros númerosNo lo voy a hacer, pero es de esperar que en la mayoría de los casos se obtengan criterios de divisibilidad complicados, similares al obtenido para la división por 7.
Base b.Sea \( b \) un
entero positivo mayor que 1.
Dado un
número entero positivo \( m \) podemos representarlo en base \( b \), con los dígitos \( 0, 1, 2, ..., b-1 \), de forma única, tal que la siguietne identidad se satisface:
\( m=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{c_n b^n} \)
Aquí, sólo una cantidad finta de cifras \( c_n \) es distinta de 0.
Lo único que hay que cambiar en todo esto es la base 10 por la base \( b \), y el desarrollo matemática será el mismo.
Así, tendremos una fórmula como esta:
(*) \( \displaystyle m \equiv_d \sum_{j=0}^{\alpha-1}c_j b^j\quad + \sum_{\beta=0}^\infty\sum _{j=0}^{\ell-1}c_{\alpha+\beta\ell+j} \; r_j. \)
Aquí \( \alpha \) es el primer exponente tal que las potencias \( b^j \) comienzan a repetir sus
restos módulo \( d \).
Asimismo, \( r_0, r_1,...,r_{\ell-1} \) es el
sistema de restos de las potencias \( b^{\alpha+j} \)
módulo \( d \).
Veamos un par de ejemplos.
Criterio de divisibilidad en base 2 de divisibilidad por 15.Tenemos:
\( 2^0\equiv_{15} {1} \)
\( 2^1\equiv_{15} {2} \)
\( 2^2\equiv_{15} {4} \)
\( 2^3\equiv_{15} {8} \)
\( 2^4\equiv_{15} {1} \)
y a partir de aquí se repiten los
restos módulo 15.
Así que tenemos \( \alpha=0 \) y \( \ell=4 \). También el sistema de restos es en este caso \( (r_0,r_1,r_2,r_3)=(1,2,4,8) \).
Aplicando la fórmula:
\( (*)\qquad\qquad\qquad\displaystyle m \equiv_d \sum_{\beta=0}^\infty\sum _{j=0}^{3}c_{4\betal+j} \; r_j \equiv_d \sum _{j=0}^{3} 2^j \sum_{\beta=0}^\infty c_{4\betal+j}. \)
El criterio de divisibilidad no es muy simple de expresar verbalmente, pero parece fácil de aplicar en un cálculo.
Se debe separar las cifras binarias del número en 4 grupos, sumar los dígitos de cada grupo y multiplicar por la potencia adecuada de 2.
Si el resultado es múltiplo de 15, ya estamos...
Criterio de divisibilidad en base 27 de divisibilidad por 54.Tenemos:
\( 27^0\equiv_{54} {1} \)
\( 27^1\equiv_{54} {27} \)
\( 27^2\equiv_{54} {27} \)
y a partir de aquí se repite lo mismo para las siguientes potencias.
El criterio de divisibilidad es muy simple. Se suma la primer cifra a 27 veces la suma de las restantes, y se verifica si el resultado es múltiplo de 54.
Que se diviertan dividiendo...